Придушувачки однос

Во инженерството, придушувачкиот однос е бездимензоинална мерка која опишува како осцилациите во еден систем се распаѓаат п нивно нарушување. Многу системи поседуваат осцилаторно однесување кога се кога се поместени од нивната позиција на статична рамнотежа. A mass обесена на пружина, на пример, може, ако е потегната па пуштена, да отскокнува горе-долу. Со секое отскокнување, системот се „обидува“ да се врати на својата рамнотежна позиција, но претерува. Понекогаш загубите (на пр. триење) го придушуваат системот и можат да предизвикаат постеоено да се распаѓаат во амплитудата накај нула или да слабеат. придушувачкиот однос е исто така мерка која опишува колку брзо осцилациите се распаѓаат од еден отскок кон друг.

Однесувањето на осцилаторните системи е често проучуван од голем број дисциплини како контролно инженерство, машинско инженерство, структурно инженерство, и електрично инженерство. Физичката количина која осцилира често варира, и може да биде нишањето на висока зграда при ветер, или брзината на електричен мотор, но нормализиран, или бездимензионализиран пристап може да биде соодветен при опишување чести аспекти на однесување.

Случаи на осцилација

Премалку-придушен систем прижина-маса со ζ<1

Кога системот пружина-маса е комплетно без загуби, масата би осцилирала бесконечно, и секој одскик би бил ист на претходниот. Овој хипотетички случај се вика непридушен.
Ако системот содржи големи загуби, на пример ако се наоѓа во вискозна течност, масата може полека да се врати на мирна позиција без да претера. Овој случај се вика препридушен.
Често, масата ја преминува својата почетна позиција, и потоа се враќа, повторно претерувајќи. Со секое преминување, некоја енергија од системот е изгубена, и осцилациите застануваат накај нула. Овој случај се вика премалку придушен.
Помеѓу препридушените и премалку придушените случаи , постои одредено ниво на придушеност каде што системот едноставно нема да успее да ја премине целта и нема да направи ни една осцилација. Овој случај се вика критично придушување. Клучната разлика помеѓу случаите е дека, при критично придушување, системот се враќа на рамнотежната состојба во минимално време.

Дефиниција

Ефектот на варијабилен придушен однос на систем од втор ред.

Придушувачкиот однос е параметар, обично обележан со ζ (зета),^[1] што го карактеризира одговорот на честотата на диференцијална равенка од втор ред. Ова е многу важно во проучувањето на теоријата на контрола. Исто е важно кај хармонскиот осцилатор.

Придушувачкиот однос има математички начин на изразување на нивото на придушеност во системот поврзан со критичко придушување. За придушен хармонски осцилатор со маса m, придушувачки коефициент c, и константата k, може да биде дефинирано како однос на придушувачкиот коефициент во диференцијалната равенка на системот со коефициентот на критично придушување:

\zeta ={\frac {c}{c_{c}}},

\zeta ={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},

каде системската равенка на движење е

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0

и соодветниот коефициент на критично придушување е

c_{c}=2{\sqrt {km}}

или

c_{c}=2m\omega _{n}

Придушувачкиот однос е бездимензионален, и е однос од два коефициенти со еднакви мерни единки.

Изведување

Користејќи ја природната честота на хармонскиот осцилатор $\omega _{n}={\sqrt {k/m}}$ и дефиницијата на придушувачкиот однос, ова межеме да го запишеме како:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{n}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{n}^{2}x=0.

Оваа равенка моње да се реши следниот пристап.

x(t)=Ce^{st},\,

Каде C и s двете се комплексни константи. Тој пристап презема решение кое е осцилаторно и се напалува експоненционално. Користејќи го на ODE дава сосотојба на честотата на придушените осцилации ,

s=-\omega _{n}(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}).

Непридушено: Е случајот кога $\zeta \to 0$ одговара со непридушениот прост хармонски осцилатор ,и во тој случај решението изгледа вака $\exp(i\omega _{n}t)$ , како очекувано.
Премалку придушено: Ако s е комплексен број, тогаш решението е распаѓачка есопненцијала комбинирана со осцилаторски дел и изгледа вака $\exp(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t)$ . Овој случај се случува за $\zeta <1$ , и се вика Премалку придушено.
Препридушено: Акоs е реален број, тогаш решението е просто распаѓачка експоненционала без осцилација. Овој случај се случува за $\zeta >1$ , и се вика Препридушено.
Критично придушено:Случајот кога $\zeta =1$ е границата помеѓу премалкуд придушен и препридушен случај, и се вика критично придушување. Тоа излегува дека е посакуваниот исход во многу случаи каде инженерскиот дизајн на придушен осцилатор е потребен (на пр., механизам за затворање врата).

↑ Alciatore, David G. (2007). Introduction to Mechatronics and Measurement Systems (3. изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-296305-2.

[1] Alciatore, David G. (2007). Introduction to Mechatronics and Measurement Systems (3. изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-296305-2.

[1]