Клероова равенка

Клероова равенка – во математиката, поконкретно во математичката анализа е диференцијална равенка во облик:

$y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)$

каде f е континуално диференцијабилна. Таа е специјален случај од Лагранжовата диференцијална равенка.

Оваа равенка го добила името според францускиот математичар Алекси Клеро, кој ја вовел во 1734 година.

Дефиниција

За да се реши Клероовата равенка, се диференцира по x:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$

па

$\left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0.$

Оттука се добива:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$

или

$x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0.$

Во претходниот случај, C = dy/dx за некоја константа C. Заменувајќи во Клероовата равенка, се добива фамилија на функции дадени со

$y(x)=Cx+f(C),\,$

што е општо решение на Клероовата равенка.

Втората еднаквост,

$x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,$

има само едно решение y(x), кое се нарекува сингуларно решение, чиј графикон е анвелопа на сите графикони на општите решенија. Сингуларното решение обично се запишува во параметарски облик (x(p), y(p)), каде p = dy/dx.

Примери

Следниве криви ги претставуваат решенијата на двете Клероови равенки:

• 
  $f(p)=p^{2}$
• 
  $f(p)=p^{3}$

Во секој од случаите, општите решенија се означени во црна боја, додека сингуларното решение е дадено во виолетова боја.

Проширување

Со проширување, парцијалната диференцијална равенка од прв ред во облик:

$\displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})$

е исто така позната како „Клероова равенка“.

Литература

• Clairaut, Alexis Claude (1734), „Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée.“, Histoire de l'Académie royale des sciences: 196–215.

• Kamke, E. (1944), Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (германски), 2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine gesuchte Funktion, Akad. Verlagsgesell.

• Rozov, N. Kh. (2001), „Clairaut equation“, Во Хацевинкел, Михил (уред.), Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104.