Дуална импеданса

Дуална импеданса и дуална мрежа — поими кои се користат во анализата на електричната мрежа. Дуалната импеданса $Z\,\!$ е алгебарска реципрочна вредност $Z'={\frac {1}{Z}}$ . Треба да се напомене дека $Z\,$ и $Z'\,$ се конјугационо комплексни, односно тие се реципрочни. Ова е причината зошто дуалната импеданса често се нарекува инверзна импеданса. Мрежа со дуална импеданса е мрежа чија импеданса е $Z'\,\!$. Во случај мрежата да има повеќе од една влезна импеданса, ако се земе предвид секој од влезовите, таа мора да биде дуална во исто време.

Друг начин да се изрази ова е да се каже дека дуална на $Z\,\!$ е адмитансата $Y=Z\,\!$ .

Ова е во согласност со дефиницијата за дуалност за кола чии напони и струи се заменливи. Бидејќи $Z={\frac {V}{I}}$ и $Z'={\frac {1}{Z}}={\frac {I}{V}}$

Урамнотежени и нормализирани дуали

Во пракса е пожелно да се најде дуална импеданса во однос на некоја номинална или карактеристична импеданса. За да се направи ова, Z и Z' пропорционално се поставуваат спрема номиналната импеданса Z₀ така што;

${\frac {Z'}{Z_{0}}}={\frac {Z_{0}}{Z}}$

Z₀ обично се смета за чисто реален број R₀, така што Z ' се менува само со реалниот фактор R₀². Со други зборови, дуалот останува квалитативно истото коло, но сите вредности на компонентите мора квантитативно пропорционално да се променат за R₀². Компонентата R₀² се изразува во облик Ω². Од ова следи дека на константата 1 во непропорционален израз треба да ѝ се додели вредност Ω² во која било димензионална анализа.

Дуалност на основните елементи на колото

Елемент	Z	Дуал	Z'
Отпорник R	$R\,\!$	Спроводник G = R	${\frac {1}{R}}$
Спроводник G	${\frac {1}{G}}$	Отпорник R = G	$G\,\!$
Придушница L	$i\omega L\,\!$	Кондензатор C = L	${\frac {1}{i\omega L}}$
Кондензатор C	${\frac {1}{i\omega C}}$	Придушница L = C	$i\omega C\,\!$
Серија на импеданси Z = Z1 + Z2	$Z_{1}+Z_{2}\,\!$	Паралелни адмитанси Y = Z1 + Z2	${\frac {1}{Z_{1}+Z_{2}}}$
Паралелни импеданси 1 / Z = 1 / Z 1 + 1 / Z 2	$Z={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}$	Серија на адмитанси 1 / Y = 1 / Z 1 + 1 / Z 2	${\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}$
Напонски генератор V		Струен генератор I = V
Струен генератор I		Напонски генератор V = I

Графички метод

Постои графички метод за да се добие дуална мрежа кој често е полесен за употреба од математичките изрази на импеданса. Почнувајќи со предметниот дијаграм на мрежното коло, Z, следните чекори се изведуваат на дијаграмот за да се добие Z 'со исцртување на дијаграмот Z. Најчесто Z’ се црта со друга боја заради полесно разликување од оригналот и користење CAD, Z’ може да се нацрта на вториот слој.

1. Генераторот А се поврзува со секој влез од оригиналната мрежа. Целта на оваа постапка е да се спречи „губење“ на влезот во процесот на инверзија. Ова се случува затоа што влезот што е оставен отворен во колото ќе доведе до краток спој и ќе исчезне.
2. Точката А се црта во средината на секоја подмрежа на мрежата Z. Овие точки ќе станат јазли на колото Z '
3. Се црта спроводник кој целосно ја опфаќа мрежата Z. Овој спроводник исто така станува јазол за Z '.
4. За секој елемент од колото Z, неговиот дуал се црта меѓу јазлите во центарот на подмрежата на секоја страна од Z. Кога Z е на работ на мрежата, еден од овие јазли ќе биде сеопфатен спроводник од претходниот чекор.

Ова го комплетира цртежот Z '. Овој метод исто така служи за да покаже дека дуалната подмрежа се трансформира во јазол и дека дуалот на јазолот се трансформира во подмрежа. Подолу се дадени два корисни примери, двата примери го илустрираат процесот и даваат дополнителни примери на дуални мрежи.

Пример - мрежа во облик на ѕвезда

Мрежа со индуктор намотка во форма на ѕвезда, каква што може да се најде на трифазен трансформатор.	Прицврстување на генераторот на три приклучоци.	Мрежни двојни компоненти.
Дуални мрежни компоненти	Дуална мрежа со отстранет оригиналниот цртеж и малку редизајниран за да се направи топологијата појасна.	Дуална мрежа со отстранет генератор

Сега е јасно дека дуалната мрежа на калеми во облик на ѕвезда е еднаква на триаголникот на мрежата кондензатори. Ова дуално коло не е исто како и триаголната трансформација на коло во облик на ѕвезда (Y - (∆). Трансформацијата Y - ∆ води до еквивалентно коло, а не до дуално коло.

Пример - Кауерова мрежа

Филтри направени со користење на Кауерова топологија во првиот нацрт се нископропусни филтри кои се состојат од скалеста мрежа од низа спроводници и паралелни кондензатори

Нископропусен филтер внесен во Кауеровата топологија

Врзување на генераторот на влезните и излезните приклучоци

Мрежни дуални јазли

Компоненти на дуалната мрежа

Дуална мрежа каде што оригиналот е отстранет и цртежот е малку преработен за да се направи топологијата појасна

Сега може да се види дека дуал на Кауеровиот нископропусен филтер и понатаму е Кауеров нископропусен филтер филтер на Кауер. Не се трансформира во високопропусен филтер како што може да се очекува. Сепак, треба да се забележи дека првиот елемент сега е паралелна компонента наместо серија компоненти.

Поврзано

• Топологија (електрични кола)