Геометриска средина
Геометриската средина претставува облик на средна вредност со која се изедначуваат релативните или пропорционалните разлики во вредностите на белегот[1][2][3]. Геометриската средина е корисна во пресметување на просек од проценти, индекси или стапки на растеж. Геометриската низа е таква низа каде што секој член после првиот е добиен со мултиплицирање на претходниот член со некоја константа q ( q≠0).
- q=a2/a1 =a3/a2 =⋯=an/a(n-1)
Каде што:
- q - константа
- a1 - прв член
- a2 - втор член
- a3 - трет член
- a(n-1) - член пред последниот n –ти член
- an - последен n член
Односно :
a1,a1 q,a1 q^2,....a1 q(n-1),a1 qn
За да се најде n –ти член од низата се користи формулата:
an= aq (n-1)
Геометриската средина е често користена кога се врши споредување на различни членови односно да се најде една средина помеѓу членовите - кога секој член има повеќе својства кои имаат различни бројчени движења. При нејзино пресметување може да се добијат само позитивни броеви. Геометриската средина е секогаш помала или еднаква со аритметичка средина но никогаш не е поголема од неа. Таа се употребува за: растот на човечката популација, заинтересираноста за финансиски инвестиции и сл. Геометриската средина што се пресметува од негрупирани податоци се нарекува проста геометриска средина. Се пресметува според формулата :
- Mg=N√(x1∙x2∙…∙xn )
Каде што :
- Mg -Геометриска средина
- x1 -Првиот податок
- xn -Последниот податок
- N -Број на податоци
Со логаритмирање на формулата се добива:
- logMg=1/N (logx1+logx2+⋯+logxN )=(∑ logxi )/N
Со антилогаритмирање:
- Mg=anti log(log Mg)
Пример 1 : Да се одреди просечниот пораст на продадени автомобили во Македонија со податоците од следнава табела:
| Година | Број на продадени(000)автомобили(xi) | Log xi |
|---|---|---|
| 2009 | 238 | 2,376 |
| 2010 | 324 | 2,510 |
| 2011 | 498 | 2,697 |
| Вкупно | - | 7,583 |
logMg=(∑ logxi )/N= 7,583/3=2,528 ,
Mg= anti log(logMg)= 337,29
Објаснување: Просечниот број на продадени автомобили е 337,29.
Доколку сакаме да пресметаме просечен растеж тогаш користиме Верижни индекси или Среден годишен релативен растеж.
Геометриската средина пресметана од групирани податоци се нарекува геометриска пондерирана средина. Се пресметува со формулата:
- Mg=N√(x(f1 )∙x(f2 )∙… ∙x(fn ) )
Каде што:
- Mg - Геометриска средина
- x1 - Првиот податок
- xn - Последниот податок
- f(1,2,3…n) - Број на честоти
- N - Број на податоци
Со логаритмирање се добива:
- logMg=(∑k(i=1) fi ∙logxi )/N
Со антилогаритмирање:
- Mg= anti log(logMg)
Пример 2 : Определи ја просечната плата на работниците во 2012 година. Податоците се дадени со следнава табела:
| Плата на работници во 000 ден.( xi) | Број на работници(fi) | Средина на xi | Log xi | fi∙logxi | |
|---|---|---|---|---|---|
| 10-15.9 | 70 | 12,95 | 1,1123 | 77,861 | |
| 16-21.9 | 66 | 37,9 | 1,5786 | 104,188 | |
| 22-27.9 | 59 | 24,95 | 1,3970 | 82,423 | |
| Вкупно | - | - | - | 264,472 |
logMg=(∑k(i=1) fi ∙logxi )/N= 264,472/3= 88,157
Mg= anti log(logMg )= anti log88,157=1.435