Лема на Ван дер Корпут (хармониска анализа)

Во математиката, во областа на хармониската анализа, Лемата на Ван дер Корпут е проценка за осцилаторните интеграли именувана по холандскиот математичар Јоханес ван дер Корпут.

Следниот резултат го наведува Елијас Стајн:

Да претпоставиме дека реалната функција $\phi (x)$ е монотона во отворениот интервал $(a,b)$, и тоа $|\phi ^{(k)}(x)|\geq 1$ за сите $x\in (a,b)$. Да претпоставиме дека или $k\geq 2$, или дека $k=1$ и $\phi '(x)$ е монотон за $x\in \mathbb {R}$. Постои константа $c_{k}$, што не зависи од $\phi$, таква што

${\Big |}\int _{a}^{b}e^{i\lambda \phi (x)}{\Big |}\leq c_{k}\lambda ^{-1/k},$

за секоја $\lambda \in \mathbb {R}$.

Проценки на множество на подниво

Лемата на Ван дер Корпут е тесно поврзана со проценките на множеството на подниво (види на пример ), кои ја даваат горната граница на мерката на множеството каде што функцијата зема вредности не поголеми од $\epsilon$.

Да претпоставиме дека реалната функција $\phi (x)$ е монотона на конечен или бесконечен интервал $I\subset \mathbb {R}$, и тоа $|\phi ^{(k)}(x)|\geq 1$ за сите $x\in I$. Постои константа $c_{k}$, што не зависи од $\phi$, таква што за кој било $\epsilon \geq 0$ мерката на множеството на подниво $\{x\in I:|\phi (x)|\leq \epsilon \}$ е ограничена со $c_{k}\epsilon ^{1/k}$.