Тежиште (релативистичко)

Во физиката, релативистичко тежиште се однесива на математичките и физичките концепти кои го дефинираат тежиштето како систем од честички во релативистичката механика и релативистичката квантна механика.

Вовед

Во нерелативистичката физика постои определен и точно дефиниран поим за тежишниот вектор, односно тридимензионален вектор (скратено: "3-вектор"), во изолирам систем од масивни честички во внатрешноста на 3-просторот на инерцијалните системи на Галилеевиот време-простор. Сепак, во специјалната теорија на релативноста не постои таква дефиниција, за внатрешноста на 3-просторот на инерцијалните системи од Минковскиев простор.

Во било која цврст ротирачки систем (вклучувајќи го и специјалниот случај за инерцијалниот систем на Галилеј) со координати $(t,x)$, Њутновото тежиште со N честички $m_{i}$ и 3-позициите ${\vec {x}}_{i}(t)$ е всушност 3-векторот

${\vec {x}}_{(nr)}(t)={\frac {\sum _{i=1}^{N}\,m_{i}\,{\vec {x}}_{i}(t)}{\sum _{i=1}^{N}\,m_{i}}}$

подеднакво и за слободните и за инерцијалните честички.

Во специјалната теорија на релативноста инерцијалните системи од Минковскиевиот простор со четири вектор координати $x^{\mu }=(x^{0},x)$ не постои колективна променлива со сите својства на Њутновото тежиште. Примарните својства на нерелативистичкото тежиште се:

а) заедно со вкупниот импулс формираат каноничен пар,

б) се трансформира при ротација во 3-вектор, и

в) тоа е позиција поврзана со просторната распределба на масата на составните делови.

Интересно е дека овие три својства за релативистичкото тежиште се појавуваат во литературите од минатиот век земајќи ги поединечно сите 3 својства:

1. Центарот на ротација или каноничното тежиште на Њутн-Вигнер-Прајс , ( класичен дупликат на Њутн–Вигнеровиот квантен позициски оператор). Тоа е 3-вектор ${\vec {\tilde {x}}}$ кој ги задоволува истите канонични услови како и Њутновото тежиште, имено со исчезнување на Poisson заградите $\{{\tilde {x}}^{i},{\tilde {x}}^{j}\}=0$ во фазниот простор. Сепак, не постои 4-вектор ${\tilde {x}}^{\mu }=({\tilde {x}}^{o},{\vec {\tilde {x}}})$ земајќи го како просторен дел, кој не идентификува патна линија, само псевдо-патна линија, зависно од избраниот инерцијален систем.
2. Центарот за инерција на Фокери Прајс ${\vec {Y}}$. Тоа е просторен дел од 4-вектор $Y^{\mu }=(Y^{0},{\vec {Y}})$ ,што идентификува патна линија, но не е канонична, на пр. $\{Y^{i},Y^{j}\}\not =0$.
3. Молеровиот центар на енергија ${\vec {R}}$, дефиниран како Њутновото тежиште заедно со мировните состојби $m_{i}$ на честичките заменети со нивните релативистички енергии. Ова не канонично, пр. $\{R^{i},R^{j}\}\not =0$, ниту просторниот дел на 4-векторот, односно идентификува само псевдо патна линија. Овие три колективни променливи ја имаат истата константна 3-брзина и сите тие се распаѓаат во Њутновото тежиште во нерелативистика граница. Во 1970год. имало голема дебата во врска со овој проблем, без никакви конечни заклучоци.

Групна теоретска дефиниција

Во нереативистичката механика изразот на фазниот простор на 10-те генератори од Галилеевата група на изолиран систем од N честички со 3-позиции ${{\vec {x}}_{i}(t)}$, 3-моменти ${{\vec {p}}_{i}(t)}$ и маси $m_{i}(i=1..N)$ во инерцијална рамка со координати $(t,x)$ се $(V(t)=V({\vec {x}}_{i}(t)-{\vec {x}}_{j}(t))$ потенцијалот меѓу честичките потенцијал)

$E_{G}=\sum _{i=1}^{N}\,{\frac {{\vec {p}}_{i}^{2}(t)}{2m_{i}}}+V(t),\qquad {\vec {P}}_{G}=\sum _{i=1}^{N}\,{\vec {p}}_{i}(t),$

${\vec {J}}_{G}=\sum _{i=1}^{N}\,{\vec {x}}_{i}(t)\times {\vec {p}}_{i}(t),\qquad {\vec {K}}_{G}={\vec {P}}\,t-\sum _{i=1}^{N}\,m_{i}\,{\vec {x}}_{i}(t).$

Тие се константи на движењето генерирајќи ги трансфомациите поврзувајќи ги инерцијалните системи. Затоа, за $t=0$ групна теоретска дефиниција за Њутновото тежиште е

${\vec {x}}_{(nr)}=-{\frac {{\vec {K}}_{G}}{M}},M=\sum _{i=1}^{N}m_{i}$

Во специјалната теорија за релативноста инерцијалните системи се поврзани со трансформациите генерирани од Поанкареова група. Формата на 10-те генератори $P^{\mu },J^{\mu \nu }$ за изолиран систем со N честички со акција-интеракција на растојание е многу комплицирана, зависи од тоа како честичките се параментирани во фазниот простор и се потполно познати само за одредени класи на интеракции ,. Сепак 10-те количини $P^{\mu },J^{\mu \nu }$ се константни на движењето и, кога $P^{\mu }$ е време како 4-вектор, една може да ги дефинира двете Касимир инваријанта од даденато претставување на Поанкареова група. Овие две константи на движењето ја идентификуваат инваријнтната маса $M$ и мирувачката состојба ${\vec {S}}$ на изолираниот систем. Релативистичката енергија–момент релација е:

$M^{2}c^{2}=(P^{0})^{2}-{\vec {P}}^{2},$

каде $P^{0}$ е нулта компонента од четирите импулси, вкупната релативистичка енергија на системот од честии, и Паул–Лабанскиот псевдовектор е:

$W^{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \kappa \lambda }P_{\nu }J_{\kappa \lambda }$

${\vec {W}}|_{{\vec {P}}=0}=Mc{\vec {S}},$

$W^{2}=M^{2}c^{2}S^{2}$

Може да се покаже , дека во инерцијален систем со координати $x^{\mu }=(x^{0},{\vec {x}})$ претходните три колективни променливи 1), 2), and 3) се единствените кои можат да се претстават во однос на $P^{\mu },J^{\mu \nu },M$ и ${\vec {S}}$ со

$J^{i}={\frac {1}{2}}\,\sum _{jk}\,\epsilon ^{ijk}\,J^{jk},K^{i}=J^{0i}$

за $x^{0}=0$:

${\vec {R}}=-{\frac {\vec {K}}{Mc}}$

${\vec {\tilde {x}}}=-{\frac {\vec {K}}{\sqrt {M^{2}c^{2}-{\vec {P}}^{2}}}}+{\frac {{\vec {J}}\times {\vec {P}}}{{\sqrt {M^{2}c^{2}-{\vec {P}}^{2}}}(Mc+{\sqrt {M^{2}c^{2}-{\vec {P}}^{2}}})}}+{\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {P}}\,{\vec {P}}}{Mc\,{\sqrt {M^{2}c^{2}-{\vec {P}}^{2}}}(Mc+{\sqrt {M^{2}c^{2}-{\vec {P}}^{2}}})}}$

${\vec {Y}}={\frac {(Mc+{\sqrt {M^{2}c^{2}-{\vec {P}}^{2}}})\,{\vec {\tilde {x}}}-Mc\,{\vec {R}}}{\sqrt {M^{2}c^{2}-{\vec {P}}^{2}}}}$

Бдејќи Поанкареовите генератори зависат од сите компоненти на изолираниот систем дури и кога се на големи растојанија, овие резултати покажуваат дека релативистичките колективни променливи се глобални (не локални дефинирани) количини. Затоа, сите од нив се немерливи количини, барем со локални мерења. Ова предложува дека може да има проблем со мерењата на Њутновото тежиште со локални методи.

Трите колективни променливи како 4-количини во системот во мирување

Инерцијалниот систем за мирување во изолираниот систем може да биде геометриски дефиниран како инерцијален систем во кој 3-просторите се ортогонални во конзервираното време како 4-импулси во системот: се разликуваат само за изборот на потеклото на инерцијалниот набљудувач на 4-координатите $x^{\mu }$. Еден го одбира Фокер-Прајсовиот центар на инерција на 4-векторот $Y^{\mu }$како почетен бидејќи е 4-вектор, затоа тоа е единствената колективна променлива која може да се користи како инерцијален набљудувач. Ако $\tau$ е одредено време на атомскиот часовник носен од страна на инерцијалниот набљудувач и ${\vec {\sigma }}$ 3-координатите во мирувачкиот 3-просторите ${\vec {\Sigma }}_{\tau }$, време-простор локациите во овие 3-простори може да биде опишан во произволниот инерцијален систем со вградувања,

$z_{W}^{\mu }(\tau ,{\vec {\sigma }})=Y^{\mu }(\tau )+\sum _{r=1}^{3}\epsilon _{r}^{\mu }({\vec {h}})\sigma ^{r},$

каде ${\vec {h}}={\vec {P}}/Mc$. 4-векторот за време $h^{\mu }=P^{\mu }/Mc$ и трите просторни 4-вектори $\epsilon _{r}^{\mu }({\vec {h}})$ се колони на Вигнерското зголемување за временските орбити од Поинкарската група. Како последица на 3-координатите ${\vec {\sigma }}$ го дефинира Вигнеровата ротација-1 на 3-векторите кои се трансформираат при Вигнеровите ротации кога ќе направи Лоренцова трансформација. Притоа,поради оваа Вигнерова коваријанса, овие привилигирани 3-простори во мирување (наречени Вигнерови 3-простори $\Sigma _{(W)\tau }$) може да биде суштински дефинирана и да не зависат на инерцијалниот набљудувач како ги опишува. Овозможуваат опис на релативистички врзани состојби без присуство на релативно време на неговите составни делови,чии возбудувања никогаш не биле набљудувани во спектроскопијата.

Во оваа рамка возмжно е да се опише 3 колективни променливи со 4-количини ${\tilde {x}}^{\mu }(\tau ),Y^{\mu }(\tau ),R^{\mu }(\tau )$, како $\tau =h_{\mu }{\tilde {x}}^{\mu }(\tau )=h_{\mu }Y^{\mu }(\tau )=h_{\mu }R^{\mu }(\tau )$. Може да се види дека тие ги имаат следните изрази со $\tau ,{\vec {z}}=Mc{\vec {\tilde {x}}}(0)$ (Јакобски податоци за $\tau =0$ за канонично тежиште), ${\vec {h}},M$ и ${\vec {S}}$

${\begin{aligned}{\tilde {x}}^{\mu }(\tau )&=\left({\tilde {x}}^{0}(\tau );{\tilde {\vec {x}}}(\tau )\right)=\left({\sqrt {1+{\vec {h}}^{2}}}(\tau +{\frac {{\vec {h}}\cdot {\vec {z}}}{Mc}});{\frac {\vec {z}}{Mc}}+(\tau +{\frac {{\vec {h}}\cdot {\vec {z}}}{Mc}}){\vec {h}}\right)\\&=z_{W}^{\mu }(\tau ,{\tilde {\vec {\sigma }}})=Y^{\mu }(\tau )+\left(0,{\frac {-{\vec {S}}\times {\vec {h}}}{Mc(1+{\sqrt {1+{\vec {h}}^{2}}})}}\right)\\\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}Y^{\mu }(\tau )&=\left({\tilde {x}}^{0}(\tau );{\vec {Y}}(\tau )\right)=\left({\sqrt {1+{\vec {h}}^{2}}}(\tau +{\frac {{\vec {h}}\cdot {\vec {z}}}{Mc}});{\frac {\vec {z}}{Mc}}+(\tau +{\frac {{\vec {h}}\cdot {\vec {z}}}{Mc}}){\vec {h}}+{\frac {{\vec {S}}\times {\vec {h}}}{Mc(1+{\sqrt {1+{\vec {h}}^{2}}})}}\right)\\&=z_{W}^{\mu }(\tau ,{\vec {0}})\end{aligned}},$

${\begin{aligned}R^{\mu }(\tau )&=\left({\tilde {x}}^{0}(\tau );{\vec {R}}(\tau )\right)=\left({\sqrt {1+{\vec {h}}^{2}}}(\tau +{\frac {{\vec {h}}\cdot {\vec {z}}}{Mc}});{\frac {\vec {z}}{Mc}}+(\tau +{\frac {{\vec {h}}\cdot {\vec {z}}}{Mc}}){\vec {h}}-{\frac {\ {\vec {S}}\times {\vec {h}}}{Mc{\sqrt {1+{\vec {h}}^{2}}}(1+{\sqrt {1+{\vec {h}}^{2}}})}}\right)\\&=z_{W}^{\mu }(\tau ,{\vec {\sigma }}_{R})=Y^{\mu }(\tau )+\left(0;{\frac {-{\vec {S}}\times {\vec {h}}}{Mc{\sqrt {1+{\vec {h}}^{2}}}}}\right)\end{aligned}}$

Локациите на привилигираните Вигнер мировни 3-простори на каноничното тежиште и на центарот на енергија се:

${\tilde {\vec {\sigma }}}={\frac {-{\vec {S}}\times {\vec {h}}}{Mc(1+{\sqrt {1+{\vec {h}}^{2}}})}}$

и

${\vec {\sigma }}_{R}={\frac {-\,{\vec {S}}\times {\vec {h}}}{Mc{\sqrt {1+{\vec {h}}^{2}}}}}$.

Псевдо-патната линија на каноничното тежиште е секогаш поблиску до центарот на инерцијата отколку до центарот на енергијата.

Молерова патна цевка на не-коваријанса

Молер покажал дека произволниот инерцијален систем ги повлекува сите псевдо-патна линија на ${\tilde {x}}^{\mu }(\tau )$ и $R^{\mu }(\tau )$ поврзана за сите можни инерцијални системи, потоа потполнуваат патна цевка околу 4-векторот $Y^{\mu }(\tau )$со попречен инвариантен Молер-полупречник $\rho =|{\vec {S}}|/Mc$ детерминиран од двете Касмири на изолираниот систем. Оваа патна цевка го опишува регионот на не-коваријанса на релативистичките колективни променливи и дава теоретски лимимт на локализацијата на релативистичките честички. Ова може да се види преку разликата помеѓу $Y^{\mu }(\tau )$ или $R^{\mu }(\tau )$ или ${\tilde {x}}^{\mu }(\tau )$. Во двата случаи разликата има само просторна компонента нормална на двата ${\vec {S}}$ и ${\vec {h}}$ и големина почнувајќи од нула до Молерскиот полупречник како 3-брзина на изолираниот систем во произволниот инерцијален систем може да биде од 0 кон c. Бидејќи разликата има само просторна компонента евидентирана е дека волуменот одговара на не-коверијантната патна цевка околу Фокер-прајсовиот 4-вектор $Y^{\mu }(\tau )$.

Од молерскиот полупречник е од редот на Комптон бранова должина на изолираниот систем, не е возможно да се истражува внатрешноста без да создаде парови, имено без да земе во обзир релативистичата квантна механика.Згора на тоа,патната цевка е остатокот од енергиските состојби генералната релативност во решението на Миковски : Ако материјално тело има материјален полупречник помал од Молеровиот полупречник,тогаш во некои појдовни системи, густината на енергијата на телото не е дефинирана позитивно иако вкупната енергија е позитивна.

Разликата помеѓу трите релативистички колективни променливи и не-кооваријантни се глобални (не локално дефинирани) ефектни индуцирани од Лоренцовиот закон од Миковскиот време-простор и исчезнува нерелативистички лимит.