Тангенсна теорема

Тангенсна теорема – во тригонометријата претставува однос на два агли на триаголник и должината на спротивната страна.

Триаголник

На сликата $a,b,c$ се должини на страните на триаголникот, а $\alpha ,\beta ,\gamma$ се аглите наспроти трите страни.

Тангенсната теорема или формула гласи:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\operatorname {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Иако тангенсната теорема не е позната како синусната или косинусната теорема, таа е еквивалентна на синусната теорема и може да се користи ако се познати должините на две страни и аголот помеѓу нив, како и ако се познати два агла и должината на една страна. Тангенсната теорема кај сферните триаголници ја опишал во XIII век персискиот математичар Насир ал-Дин ал-Туси (1201-1274), кој исто така ја дефинирал и синусната теорема на триаголник.

Доказ

Tангенсната теорема може да се изведе од синусната теорема. Знаеме дека

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}=2R.$

од каде $a=2R\sin \alpha \,$ и $b=2R\sin \beta \,.$

Следи:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2R\sin \alpha -2R\sin \beta }{2R\sin \alpha +2R\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.$

Користејќи ја формулата за трансформација на збир и разлика од синуси во производ, добиваме:

$\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;$

Следи:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\frac {\sin {\frac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}{\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}}}={\frac {\operatorname {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\operatorname {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad$

Како алтернатива на користењето на функција на збир или разлика на два синуса, исто така може да се користи овoj тригонометриски идентитет:

$\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}$

Примена

Со помош на тангенсната теорема може да се пресмета непозната должина на страна на триаголник и аглите на триаголник кај кој се познати две страни $a$ и $b$ и аголот меѓу нив.

Од

$\operatorname {tg} \left[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right]={\frac {a-b}{a+b}}\operatorname {tg} \left[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right]={\frac {a-b}{a+b}}\operatorname {ctg} \left[{\frac {\gamma }{2}}\right]$

преостанатата страна $c$ може да се пресмета преку синусната теорема.

Пред електронските калкулатори, овој начин на пресметување се користел почесто од косинусната теорема, бидејќи при директна примена на формулата од теоремата било потребно дополнително користење на логаритамски таблици за пресметување на квадратен корен.

Тангенсна теорема за полуагли

Тангенсната теорема е врска помеѓу тангенсите на полуаглите изразени со помош на страните на триаголникот и полупречникот на впишаната кружница во дадениот триаголник.

Теорема 1

Тангенсот од половината на агол во триаголник е еднаков на количникот на полупречникот на впишаната кружница и разликата на полуобемот и спротивната страна, т.е.

$\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {r}{s-a}},\;\qquad \operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}={\frac {r}{s-b}},\;\qquad \operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}={\frac {r}{s-c}},$

каде $\alpha ,\beta ,\gamma$ се агли на триаголникот $ABC$, $r$ e полупречник на впишаната кружница, $s={\frac {a+b+c}{2}}$ e полуобем, a страните $a=y+z,\;b=x+z,\;c=x+y,$ се наспроти темињата $A,B,C$ соодветно, како на сликата десно.

Доказ

Да повлечеме симетрали на внатрешните агли на триаголникот $ABC$. Од центарот на впишаната кружница $O$ на дадениот триаголник спуштаме нормали ${\overline {OD}}$, ${\overline {OE}}$, ${\overline {OF}}$ на страните на триаголникот, по следниов редослед ${\overline {CA}}=b$, ${\overline {AB}}=c$, ${\overline {BC}}=a\,.$ Секоја од тие нормали има должина еднаква на рaдиусот на впишаната кружница $r$. За така добиените триаголници важат релациите за складност $\Delta AOD\cong \Delta AOE,\;\Delta BOE\cong \Delta BOF,\;\Delta COF\cong \Delta COD.$ Добиваме:

$\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {r}{\overline {AE}}},\;\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}={\frac {r}{\overline {BF}}},\;\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}={\frac {r}{\overline {DC}}}\,.$

Сега да ги изразиме ${\overline {AE}},\;{\overline {BF}},\;{\overline {DC}}$ со помош на страните на триаголникот. Најпрвин, имаме $a=y+z,\;b=z+x,\;c=x+y,$ каде $x={\overline {AE}}={\overline {AD}},\;y={\overline {BF}}={\overline {BE}},\;z={\overline {CD}}={\overline {CF}}$ се делови на страната до допирните точки на впишаната кружница. Со собирање на овие равенки добиваме

$\ a+b+c=2(x+y+z),$ или $x+y+z={\frac {1}{2}}(a+b+c)=s\,.$

Со одземање на секоја од претходните од последната равенка, следи $s-a=x={\overline {AE}},\;s-b=y={\overline {BF}},\;s-c=z={\overline {DC}}$. Со замена во почетната равенка ги добиваме изразите кои требаше да се докажат со што доказот е завршен.

Со замена на полупречникот на впишаната кружница со соодветни изрази за страните на дадениот триаголник, може да добиеме позгодни формули за истата теорема.

Теорема 2

За триаголникот $ABC$ важат равенките:

$\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}},\;\quad \operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}},\;\quad \operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}},$

каде $a,b,c$ се страните на триаголникот $ABC$ наспроти истоимените темиња, a $s$ е полуобемот.

Доказ

Тргнувајќи од претходната теорема 1 и Хероновата формула за плоштина на триаголник $P_{\Delta }={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},$ и од изразот $\ P_{\Delta }=r\cdot s,$ добиваме: $r={\frac {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$,

од каде следат равенките.

Поврзано

• Тригонометрија
• Планиметрија
• Триаголник
• Синусна теорема
• Косинусна теорема
• Котангенсна теорема
• Решавање на триаголник