Седумнаесетаголник

Седумнаесетаголник — многуаголник со седумнаесет темиња и седумнаесет страни.

Правилен седумнаесетаголник
Правилен седумнаесетаголник
Вид	правилен многуаголник
Рабови и темиња	17
Шлефлиев симбол	{17}
Коксетер–Динкинови дијаграми
Група на симетрија	диедарска (D17), ред 2×17
Внатрешен агол	≈158.82°
Својства	испакнат, впишан, рамностран, изогонален, изотоксален

Правилен седумнаесетаголник

Правилниот седумнаесетаголник е седумнаесетаголник кај кого сите страни се со еднакви должини и сите внатрешни агли се еднакви.

Внатрешните агли на правилен седумнаесетаголник имаат по 158° (степени) и 49 ’ (минути), а збирот на сите внатрешни агли на кој било седумнаесетаголник изнесува 2700°.

Ако основната страна на правилниот седумнаесетаголник е со должина $a\,\!$, неговата плоштина ќе биде дадена со формулата:
$P={\frac {17a^{2}}{4}}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{17}}\approx 22{,}7355a^{2}$.

Плоштината може да се пресмета и со:
$P={\frac {17}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{17}}=17r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{17}}$

каде
$R$ - е полупречник на опишаната кружница, а
$r$ - е полупречник на впишаната кружница.

Периметарот на седумнаесетаголник чија страна е со должина $a\,\!$ е еднаков на $17a\,\!$.

Конструкција

Правилен седумнаесетаголник може да се конструира со помош на линијар и шестар што го докажал Гаус во 1796 година. Според една анегдота, толку бил одушевен од откритието што побарал на надгробната плоча да му се исклепа правилен седумнаесетаголник, но каменорезецот го одбил велејќи дека самата конструкција е комплицирана и дека седумнаесетаголникот нема да се разликува од круг.

Од конструктибилноста на седумнаесетаголникот следува дека тригонометриските функции од аргумент 2π/17 може да се изрази со помош на основните аритметички операции и коренување. Во Гаусовата книга Disquisitiones Arithmeticae (Аритметички истражувања, 1801) може да се најде следнава еднаквост, која овде е запишана со користење на современа нотација:

$\operatorname {cos} {2\pi \over 17}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right).$

Првата конструкција на седумнаесетаголник која се состои од 64 чекора ја објавил Јоханес Ерхингер неколку години после Гаусовото откритие. На следната слика може да се види анимиран приказ на Ерхингеровата конструкција.

Анимиран приказ на конструкција на седумнаесетаголник со помош на шестар и линијар

Поврзано

• Многуаголник
• Правилен многуаголник

Надворешни врски

• Седумнаесетаголник на Mathworld