Растојание

Растојание (оддалеченост или далечина) — степенот или мерата на оддалеченоста меѓу две точки. Во физиката или секојдневната употреба, под поимот се подразбира должина или проценка според други критериуми. Бидејќи просторното поимување е богат извор на концептуални метафори во човековата мисла, поимот честопати се користи преносно за да се означи разликата помеѓу слични објекти (на пр. статистичко растојание помеѓу веројатносни распределби или уредувачко растојание помеѓу низи текст), или пак степен на раздалеченост (на пр. оддалеченоста меѓу луѓето во една друштвена мрежа). Поимувањето на растојанието е формализирано во математиката користејќи метрички простор.

Растојанието помеѓу две точки $d(A,B)$ е должината на најкратката врска од $A$ до $B$

Во општествените науки, оддалеченоста е квалитатнвна мерка за одделеност, како на пример друштвено растојание или психолошка оддалеченост.

Растојанија во физиката и геометријата

Растојанието меѓу две физички места се дефинира на различни начини во разни полиња.

Праволиниско или Евклидово растојание

Главна статија: Евклидово растојание

Растојанието меѓу точки во физички простор е должината на правата меѓу нив, која е најкусата можна патеа. Ова е вообичаеното поимување на растојанието во класичната физика, вклучувајќи ја Њутновата механика.

Праволиниското растојание се формализира математички како Евклидовото растојание во дво- или тридимензионален простор. Во Евклидовата геометрија, растојанието меѓу две точки A и B се означува со $|AB|$. Во координатната геометрија, Евклидовот орастојание се пресметува со Питагоровата теорема. Растојанието меѓу точките (x₁, y₁) и (x₂, y₂) на рамнината ќе биде:

$$d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$$

Слично на тоа, земајќи ги точките (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) во тридимензионален простор, растојанието меѓу нив ќе биде:

$$d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.$$

This idea generalizes to higher-dimensional Евклидови простори.

Мерење

Главна статија: Мерење на растојание

Постојат многу начини за мерење на праволиниски растојанија. На пример, можат да се измерат непосредно со линијар или посредно со радар (за долги растојанија) или интерферометрија (за многу кратки растојанија). Скалата на вселенските растојанија претставува збир од начини на изразување на крајно долги растојанија.

Растојание по најкратка патека на закривена површина

Авионите на линијата Лос Анџелес - Токио патуваат по голема кружница кога одат на запад, но ја следат млазната струја кога одат на исток. Најкраткото растојание личи на крива наместо права линија поради закривеноста на Земјата.

Праволиниското растојание помеѓу две точки Земјината површина не е корисно за највеќето цели бидејќи не можеме да пробиеме тунел низ Земјата. Наместо тоа обично се мери најкратката патека долж Земјината површина, по воздушна линија. Ова математички се воопштува како ортодрома на сферата.

Поопшто земено, најкратката патека помеѓу две точки долж закривена површина се нарекува геодезиска линија. Лачната должина на една геодетска линија е начин на изразување на растојанието од гледиштето на една мравка или друго безлетно суштество што живее на таа површина.

Ефекти на релативноста

Во теријата за релативноста, поради појави како контракција на должината и релативноста на едновременоста, растојанијата меѓу предметите зависат од избраниот инерцијален појдовен систем. Во галактички и поголеми размери, мерењето на растојание е засегнато и од ширењето на вселената. За убројчување на таквите растојанија се користат разни мерки во космологијата.

Други просторни растојанија

Менхетнско растојание на решетка

Понеобичните дефиниции за растојанието можат да бидат корисни за моделирање на извесни физички ситуации, но се користат и во теоретската математика:

• Почесто во практика луѓето сакаат да го знаат растојанието меѓу две точки долж патишта наместо по воздушна линија. Кај планските улици правени по решеткаст план, патното растојание се изразува како менхетнското растојание: бројот на блокови исток-запад и север-југ кои треба да се поминат за да се стаса до точката.
• Шаховничкото растојание, формализирано како Чебишово растојание, е најмалиот број на потези што мора да ги направи кралот на една шаховска табла за да пропатува од едно до извесно друго поле.

Растојанија во преносна смисла

Многу апстрактни поими за растојание кои се користат во математиката, науката и инженерството претставуваат степен на разлика или одвоеност помеѓу слични објекти. Еве некои примери.

Статистички растојанија

Во статистиката и информациската геометрија, статистичките растојанија ја изразуваат различноста на веројатносни распределби. Постојат многу видови на статистички растојанија, обично формализирани како разидувања (дивергенции); овие овозможуваат веројатносните распределби да се поимуваат како геометриски објект наречен „статистичко многуобразие“. Најосновото е квадрираното Евклидово растојание, кое се минимализира со методот на најмали квадрати; ова е најосновното Бергманово разидување. Најважното во теоријата на информациите е релативната ентропија (Кулбак-Лајблерово разидување), кое овозможува аналогно изучување на процената на максимална веројатност по геометриски пат; ова е истовремен пример за f-разидување и Бергманово разидување (единствениот таков). Статистичките многуобразија кои одговараат на Бергманови разидувања се рамни многуобразија во соодветната геометрија, давајќи аналогот на Питагоровата теорема (која важи за квадрирано Евклидово растојание) да се користи за линеарен обратен проблем изведувајќи според теоријатата за оптимизацијата.

Други поважни статистички растојанија е Махаланобисовото и енергетското растојание.

Уредувачки растојанија

Во информатиката, растојанието на уредување или низна мерка помеѓу две низи изразува колку тие се различни. На пример, зборовите „леб“ и „лен“ се разликуваат само во една буква, и затоа се поблиски од „леб“ и „вода“, кои немаат ниедна заедничка буква. Оваа идеја наоѓа примена во правописниците (проверувачките алатки) и во теоријата на кодирањето, и математички се формализира на различни начини, меѓу кои се Левенштејновото, Хеминговото, Лиевото и Џаро-Винклеровото растојание.

Растојание во теоријата на графовите

Главна статија: Растојание (теорија на графовите)

Кај еден граф, растојанието помеѓу две темиња се изразува како должината на најкратката рабна патека помеѓу нив. На пример, ако графот претставува друштвена мрежа, тогаш идејата за шест степени одвоеност може математички да се протолкува како исказ дека растојанието меѓу било кои две темиња изнесува највеќе шест. Слично на ова, Ердешовиот број — бројот на соработници помеѓу едно лице и плодотворниот математичар Пал Ердеш — се растојанија во графовите чии рабови претставуваат математички или уметнички соработки.

Во општествените науки

In психологијата, човечката географија и општествените науки, растојанието (или оддалеченоста) не се третира како објективна бројчена мерка, туку како квалитативен опис на субјективно доживување. На пример, психолошкото растојание се начините на кои објектот е одвоен од нешто според време, простор, друштвено растојание и хипотетичност. Во социологијата, друштвеното растојание ја опишува одвоеноста помеѓу поединците или општествена група во едно општество по димензии како општествена класа, раса/етничка припадност, род (биологија) или сексуалност.

Математичка формализација

Главна статија: Метрички простор

Највеќето претстави за растојанието помеѓу две точки или два предмета опишани погоре се примери за математичката идеја за метрика. Метрика или функција на растојание е функција d која зема парови од очки или објекти од реални броеви и ги задоволува следниве правила:

1. Растојанието помеѓу објектот и самиот себеси секогаш е нула.
2. Растојанието меѓу одделни објекти секогаш е позитивно.
3. Растојанието е симетрично: растојанието од x до y секогаш е исто со растојанието од y до x.
4. Растојанието ја задоволува нееднаквоста на триаголникот: ако x, y иz се три објекти, тогаш
   $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$$

Како исклучок од ова, многу од разидувањата (дивергенциите) во статистиката не претставуваат метрики.

Растојание помеѓу множества

Растојанијата помеѓу овие три множества не ја задоволуваат нееднаквноста на триаголникот:

$$d(A,B)>d(A,C)+d(C,B)$$

Постојат повеќе начини за изразување на физичкото растојание помеѓу предмети сочинети од повеќе од една точка:

• Можеме да го измериме растојанието помеѓу претставителни точки како тежиштето; ова се користи кај астрономските растојанија како растојанието помеѓу Земјата и Месечината.
• Можеме да го измериме растојанието помеѓу најблиските точки на двата предмета; во оваа смисла, надморската висина на едно летало како неговото растојание од Земјата. Истата смисла за растојание во Евклидовата геометрија го дефинира растојанието од точка до линија, од точка до рамнина, и повоопштено, нормално растојание помеѓу афини потпростори.

Уште поопшто, оваа идеја може да послужи за определување на растојанието меѓу подмножества на еден метрички простор. Растојанието меѓу множествата A и B е инфимумот на растојанијата помеѓу било кои од нивните точки:

$$d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).$$

Ова не определува метрика за множеството на такви подмножества: растојанието помеѓу преклопени множества изнесува нула, и тоа растојание не ја задоволува нееднаквоста на триаголникот за било кој метрички простор со две или повеќе точки (на пр. тројката од две одделни множества и нивниот пресек).

• Хаусдорфовото растојание помеѓу две подмножества на еден метрички простор може да се изрази како тоа колку се далеку од целосен преклоп. Малку поуточнето, Хаусдорфовото растојание помеѓу A и B е или растојанието од A до најдалечната точка на B, или растојанието на B до најдалечната точка на A — она кое е поголемо. (Тука „најдалечна точка“ мора да се толкува како супремум.) Хаусдорфовото растојание определува метрика за множеството од компактни подмножества на еден метрички простор.

Поврзани идеи

Повеќе информации: Должина

Зборот растојание се применува и кај поврзаните концепти кои не се опфатени со описот „бројчено изразена раздалеченост на точки или објекти“.

Поминато растојание

Поминатото растојание на некој предмет е должината на дадената патека помината помеѓу две точки, како растојанието кое го изодуваме кога бараме излез од лавиринт. Ова може да биде дури и премостено растојание долж затворена крива кое почнува и завршува во истата точка, како на пр. топка фрлена право нагоре, или кога Земјата исполнува на една орбита. Ова математички се формализира како лачната должина на кривата.

Поминатото растојание може да се претстави и со знак: растојание „напред“ како позитивно, и „назад“ како негативно.

Кружното растојание е она растојание поминато од една точка на обиколката на тркало, што е корисно при осмислувањето на возила или запченици. Обиколката на тркалото е 2π × полупречник; ако полупречникот изнесува is 1, секој вртеж на тркалото прави возилото да помине 2π радијани.

Поместување и насочено растојание

Поместување наспроти растојание долж пат. Ецклидовото растојание е должината на векторот на поместување.

Главна статија: Поместување (вектор)

Поместувањето во класичната физика ја изразува промената во положбата на еден предмет за даден временски интервал. Додека растојанието е скаларна величина, поместувањето е векторска, и има и величина и правец. Векторот кој ја изразува разликата меѓу две положби (релативната положба) се нарекува насочено растојание. На пример, насоченото растојание од црквата „Св. Благовештение“ во Прилеп до Прилепската пиварница:

• Почетна точка: црковниот трем
• Крајна точка: главна капија на пиварницата
• Насока: 36,31°
• Оддалеченост: 1,00 км

Поврзано

• Аголно растојание
• Жаришно растојание
• Проксемика