Рамномерна непрекинатост

Дефиниција

Функцијата $f:X\rightarrow \mathbb {R}$, каде $X\subseteq \mathbb {R}$, а функцијата е непрекината во множеството $X$, се нарекува рамномерно (униформно) непрекината во тоа множество, ако за секое $\varepsilon >0$, може да се најде позитивно $\delta$, така што за секои две точки од нејзиниот домен кои се наоѓаат на растојание помало од $\delta$, важи $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$.

Односно, условот за рамномерна непрекинатост на функцијата $f$ во множеството $X$ може да се запише како:

$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x_{1},x_{2}\in X)(|x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon )$.

Дискусија на дефиницијата

Оправданоста на оваа дефиниција, покрај дефиницијата на самата непрекинатост на функција потекнува од тоа – за да функција биде непрекината во секоја точка од својот домен $X$, потребно е да се најде најмалото $\delta =\delta _{0}$ од сите околини на секоја точка на доменот, за кои тогаш би важело:

$(\forall x,x_{0}\in X)(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ).$

Ако множеството $X$ е конечно, тоа може да се направи. Меѓутоа, кога $X$ не е конечно, не постои гаранција дека воопшто ќе постои такво најмало $\delta =\delta _{0}$. Со тоа е оправдано постоењето на наведената дефиниција за рамномерна непрекинатост.

Критериум за одредување рамномерна непрекинатост

Главна статија: Канторов став за рамномерна непрекинатост

Општиот критериум за одредување на рамномерна непрекинатост на функции го дава Канторовиот став за рамномерна непрекинатост.

Теоремата може да се докаже со користење на Борел-Лебеговата лема за покривачите и потпокривачите.

Теорема

Ако функцијата $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ е непрекината во интервалот $[a,b]$, таа е и рамномерно непрекината во него.

Доказ

Од дефиницијата за непрекинатост имаме дека функцијата $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ е непрекината во интервалот $[a,b]$ (дадено како услов за теоремата), тогаш за произволна точка $x$ од тој сегмент постои некоја околина $U(x)=(x-\delta ,x+\delta )$ и за сите точки $x_{1}\in U(x)$ важи: $|f(x)-f(x_{1})|<{\frac {\varepsilon }{2}})$.

Да избереме 2 точки, $x_{1},x_{2}\in U(x)$. Тогаш имаме:

$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq |f(x)-f(x_{1})|+|f(x)-f(x_{2})|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

Сега да избереме околина со двојно помал полупречник, $U'(x)=(x-{\frac {\delta }{2}},x+{\frac {\delta }{2}})$. Ако таквата околина ја конструираме за секоја точка на сегментот $[a,b]$, ќе добиеме множество отворени интервали кои очигледно го прекирваат целиот сегмент $[a,b]$, па множеството на тие интервали твори покривач на сегментот $[a,b]$. Од Борел-Лебеговата лема имаме дека постои конечен потпокривач на тој интервал, т.е. дек постојат точките $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ така што нивните околини $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$ образуваат потпокривач на сегментот $[a,b]$. Бидејќи точки $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ има конечно многу, меѓу нивните околини може да се најде најмалата ${\frac {\delta _{i}}{2}}$ и ја означуваме со $\delta$.

Да избереме сега некоја точка $x'$ од интервалот $[a,b]$ кој му припаѓа на некој од интервалите $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$, кое го запишуваме: $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$.

Да избереме и точка $x''$ од интервалот $[a,b]$ која се наоѓа во $\delta$-околинат на точката $x'$, т.е. $|x'-x''|<\delta$. Тоа може да го направиме по дефиниција, затоа што функцијата е непрекината во целиот сегмент, а пошто е $\delta \leq {\frac {\delta _{i}}{2}}$, тогаш сигурно е и $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$.

Сега од $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ и $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ имаме дека:

$|x_{i}-x''|\leq |x'-x_{i}|+|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}+{\frac {\delta _{i}}{2}}=\delta _{i},$

т.е. двете точки, и $x'$ и $x''$, припаѓаат на околината $\delta _{i}$-на точката $\delta _{i}$, односно, двете се наоѓаат во некоја околина $(x-\delta _{i},x+\delta _{i})$, па тогаш имаме дека $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$, што и требаше да се докаже.

Поврзано

• Непрекината функција
• Борел-Лебегова лема
• Канторов став за рамномерна непрекинатост

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.