Опишана кружница

Опишана кружница (круг опишан околу многуаголник) – во геометријата кружница кој поминува низ сите темиња на многуаголник. Центарот на оваа кружница се наоѓа во пресекот на симетралите на страните, а нејзин полупречник е растојанието од центарот до кое било теме на многуаголникот.

Многуаголникот кој има опишана кружница се нарекува тетивен многуаголник. Сите триаголници и сите правоаголници се тетивни како и останатите правилни многуаголници (петаголник, шестаголник, осумаголник)

Опишаната кружница се смета за најмала кружница која во целост го содржи многуаголникот. Секој многуаголник нема опишана кружница, бидејќи не секогаш сите темиња на многуаголникот лежат на кружница, но секој многуаголник има единствена минимална гранична кружница, која може да се конструира со алгоритам во линеарно време Дури и ако многуаголникот има опишана кружница, не мора да значи дека ќе се поклопи со минималната гранична кружница. На пример, кај тапоаголен триаголник, минималната гранична кружница како пречник ја има најдолгата страна и не поминува низ останатите темиња.

Опишана кружница C, и центарот на опишаната кружница O, на тетивниот многуаголник P

Кружница опишана околу триаголник

Сите триаголници се тетивни, односно околу секој триаголник може да се опише кружница.

Теорема за центарот на опишана кружница

Симетралите на страните на триаголник се сечат во една точка.

Доказ

Нека $S$ е заедничка точка на симетралата $s_{1}$ на страната $BC$ и симетралата $s_{2}$ на страната $AC$ на триаголникот $ABC$. Се заклучува следното: како $S$ е точка на симетралата $s_{1}$, важи еднаковста $BS=CS$. Меѓутоа, заради $S\in s_{2}$ и $CS=AS$, па следи и $AS=BS$. Значи, триаголникот $ABS$ е рамнокрак, па точката $S$ ѝ пришаѓа и на симетралата на отсечката $AB$. Значи, $S$ е заедничка точка на симетралите на трите страни на триаголникот. Освен тоа, како $SA=SB=SC$, кружницата со центар во $S$ и полупречник $SA$ ги содржи сите темиња, па таа е опишана кружница на триаголникот $ABC$.

Рамнострани, рамнокраки и правоаголни триаголници

Рамностран триаголник

Полупречникот на опишана кружница околу рамностран триаголник е еднаков на ${\frac {2}{3}}$ од висината на тој триаголник.

$R_{0}={\frac {2}{3}}h$ или $R_{0}={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$

Површината на опишаниот круг е $P=R_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}$.

Рамнокрак триаголник

Кај рамнокракиот триаголник центарот на опишаната кружница се наоѓа на висината која одговара на основата. Должината на полупречникот на опишаната кружница околу рамнокрак триаголник е еднаква на половина од висината на основата.

$h_{a}={\sqrt {b^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}$

Површината на опишаниот круг е $P=\left({\frac {h_{a}}{2}}\right)^{2}{\boldsymbol {\pi }}$

Правоаголен триаголник

Центар на опишаната кружница околу правоаголен триаголник е средината на хипотенузата. Должината на полупречникот на опишаната кружница е еднаква на половина од должината на хипотенузата.

$R_{0}={\frac {1}{2}}c$

Површината на опишаниот круг е $P=\left({\frac {c}{2}}\right)^{2}{\boldsymbol {\pi }}$

Положба во однос на триаголникот

Положбата на центарот на опишана кружница зависи од видот на триаголникот:

• Ако триаголникот е остроаголен (сите агли се помали од прав агол), центарот на опишаната кружница се наоѓа во внатрешноста на триаголникот.
• Ако триаголникот е тапоаголен (има еден агол кој е поголем од прав агол), центарот на опишаната кружница лежи вон триаголникот.
• Ако триаголникот е правоаголен, центарот на опишаната кружница се наоѓа на средината на хипотенузата. Ова го потврдува и Талесовата теорема.

Опишана кружница околу остроаголен, тапоаголен и правоаголен триаголник.

Барицентрични координати

Центарот на кружницата има барицентрични координати $a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$,, каде $a,b,c$ се должини на страните ($BC,CA,AB$) на триаголникот.

Во однос на внатрешните агли на триаголникот $\alpha \,$,$\beta \,$,$\gamma \,$, барицентричните координати на опишаната кружница се :

$\sin 2\alpha \,:\sin 2\beta \,:\sin 2\gamma \,$.

Примена на синусната и косинусната теорема

Страните на триаголникот се пропорционални на синусите на спротивните агли. Односот на должините на страните и синусот на спротивниот агол е константа и е еднаков на должината на пречникот на кружмницата опишана околу триаголникот.

Доказ

Нека $\kappa (O,R_{0})$ е кружница опишана околу триаголникот $ABC$.

Ако $CA_{1}$ е пречникот, тогаш од правоаголниот триаголник $A_{1}BC$ имаме $\sin \alpha \,_{1}={\frac {a}{2R_{0}}}$.

Аглите $\alpha \,$ и $\alpha \,_{1}$ се еднакви или суплементни, како периферни агли над ист лак $BC$ , па е и $\sin \alpha \,=\sin \alpha \,_{1}$, значи следи $\sin \alpha \,={\frac {a}{2R_{0}}}$

Кружница опишана околу четириаголник

Тетивен четириаголник

Четириаголниците може да имаат опишана кружница ако и само ако симетралите на сите четири страни се сечат во една точка и тие имаат посебни особни, вклучувајќи го и фактот дека спротивните агли се дополнуваат (збирот на спротивните агли е еднаков на рамен агол).

Околу некои четириаголници како што се квадратот, правоаголникот или рамнокракиот трапез можно е да се опише кружница, додека околу паралелограмот, ромбот или трапезот во општ случај тоа не е можно затоа што симетралите на спротивните страни се паралелни.

Четириаголниците околу кои може да се опише кружница се нарекуваат тетивни. Името доаѓа од тоа што страните на таквите четириаголници се тетиви на опишана кружница.

Дефиниција 1. Четириаголникот е тетивен ако неговите темиња ѝ припаѓаат на една кружница.

Се наметнуваат две прашања:

• 1. Што е тоа што предизвикува четириаголникот да биде тетивен?
• 2. Ако четириаголникот е тетивен тогаш кои особини ги поседува?

Некои од одговорите се наоѓаат во следните тврдења.

Тврдење 1. Четириаголникот е тетивен ако и само ако симетралите на неговите три страни се сечат во една точка.

Следните две тврдења се најпознати и тие се неопходен и доволен услов за тетивност на четириаголник.

Тврдење 2. Четириаголникот е тетивен ако и само ако збирот на секои два спротивни агли е еднаков на 180̊.

Тврдење 3. Четириаголникот е тетивен ако и само ако надворешниот агол кај едно теме е согласен со внатрешниот агол на неговото дијагонално теме.

Тврдење 4. Четириаголникот е тетивен ако и само ако секоја страна се гледа од преостанатите две темиња се согласни агли.

Кружница опишана околу квадрат, правоаголници и рамнокрак трапез

Квадратот има впишана и опишана кружница кои имаат заеднички центар (т.н. центар на квадратот) во пресекот на дијагоналите. Должината на полупречникот на опишаната кружница околу квадратот е еднаква на должината на половина дијагонала.

$R_{0}={\frac {1}{2}}d$

Површината на опишаниот круг е $P=\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}{\boldsymbol {\pi }}$.

Со користење на Питагорината теорема дијагоналата може да се изрази преку страните на квадратот $a^{2}=\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}$, $a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$, math>d^2=2{a}^2</math>, $d={\sqrt {2a^{2}}}$.

Кај правоаголникот центарот на опишаната кружница се наоѓа во пресекот на дијагоналите. Должината на полупречникот на опишаната кружница е половина од должината на дијагоналата.

$R_{0}={\frac {d}{2}}$ каде дијагоналата може да се изрази преку страните на правоаголникот: $d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Површината на опишаниот круг е $P=\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}{\boldsymbol {\pi }}$.

Кај трапезот должината на полупречникот на опишаната кружница се одредува преку складност на триаголници.

H- висина на трапезот

R- полупречник на опишаната кружница

AB- половина од поголемата основа

DM- половина од помалата основа

Од складноста следи:

$x^{2}-Hx+AB*DM=0$.

Ако оваа квадратна равенка се реши и кога x е познато, лесно може да се пресмета полупречникот R преку Питагорината теорема:

$R_{0}^{2}=AB^{2}+x^{2}$.

Литература

• Kadelburg, Zoran; Miličić, P.; и др. (2007). Udžbenik za prvi razred gimnazije. Beograd: Krug.
• Mitrović, Milan; Ognjanović, S.; и др. (1998). Geometrija za prvi razred Matematičke gimnazije. Beograd: Krug.