Конечна брзина

Конечна брзина или терминална брзина - највисоката брзина која може да ја достигне едно тело паѓајќи низ флуиди. Доколку збирната сила на телото е 0, тогаш и забрзувањето на телото ќе биде 0.

Надолната сила на гравитацијата (F_g) е еднаква на силата на отпор (F_d). Збирната сила која делува на објектот тогаш е нула, па резултат на тоа е брзината на објектот останува константна.

Кај флуидите телото се движи со конечна брзина,доколку брзината на телото е постојана.

Како што се зголемува брзината на едно тело, така се зголемува и силата на отпорот која што дејствува на истото тело, која зависи исто така и од супстанцата низ која поминува на пример (вода или воздух). При некоја брзина, силата на отпорот ќе биде еднаква на гравитациската привлечна сила која дејствува на телото (пловноста се разгледува подоцна). Во оваа точка телото повеќе не забрзува и почнува да паѓа со постојана брзина, односно конечна брзина. Телото, движејќи се надолу побрзо од конечната брзина, ќе успори сè додека не ја достигне конечната брзина. Тело со голема проектирана површина во однос на неговата маса, има пониска конечна брзина отколку тело со мала проектирана површина во однос на неговата маса, како што е случајот со куршумот.

Примери

Врз основа на воздушниот отпор, конечната брзина на падобранец при слободен пад (пред отворање на падобранот) изнесува 195 км/ч. Оваа брзина е асимптотски ограничена вредност на брзината, а силите кои делуваат на објектот сè повеќе се изедначуваат до достигнување на конечната брзина. Во овој пример, брзина од 50% од конечната брзина се достигнува за 3 секунди, додека за 8 секунди за достигнува брзина од 90%, а за 15 секунди се достигнува брзина од 99% од конечната брзина, итн.

Поголема брзина може да биде достигната доколку падобранецот ги собере своите екстремитети, односно се склупчи. Во тој случај, конечната брзина се зголемува до 320 км/ч. Според студија на артилеријата на армијата на САД од 1920 година, истата конечна брзина може да се достигне со 30-06 куршум кој паѓа надолу откако е испукан по вертикална линија или е пуштен од некоја зграда.

Физика

Користејќи математички термини, конечната брзина, без притоа да се земат предвид пловните ефекти, е претставена како:

$V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}$

Каде:

• $V_{t}$ - е кинетичка брзина
• $m$ - е масата на телото кое паѓа
• $g$ - е гравитациското забрзување
• $C_{d}$ - е коефициентот на отпор
• $\rho$ - е густината на флуидот низ кој телото паѓа
• $A$ - е проектираната површина на телото.

Во реалноста, телото стигнува до конечната брзина асимпттотски. Промените на конечната брзина кај телото се должат на масата на флуидот и телото. Густината на воздухот се зголемува со намалување на надморската височина, за околу 1% на секои 80 м. За објекти кои паѓаат низ атмосферата, конечната брзина се намалува за 1% на секои 160 м пад.

Изведување на конечна брзина

$F_{net}=ma=mg-{1 \over 2}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }$

При рамнотежа, збирната сила е нула (F = 0)

$mg-{1 \over 2}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }=0$

За решавање на v:

$v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{\mathrm {d} }}}}$

Конечна брзина на притаен проток

За многу бавното движење на флуидите и инертната сила на флуидот се занемарливи, во споредба со другите сили. Таквите текови се нарекуваат притаени текови и условот кој треба да биде исполнет за тие да станат притаeни текови е Рејнолдсовиот број, $Re\ll 1$. Равенката на движење за притаен проток е:

$\nabla p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }$

Каде:

• ${\mathbf {v} }$ - е вектор на брзина на флуидот
• $p$ - е притисокот на флуидот
• $\mu$ - е вискозност на флуидот

Аналитичкo решение за притаeн тек околу сфера првично бил претставен од страна на Стоукс во 1851 година. Според Стоуксовите тврдења, привлечната сила што дејствува на сферата може да се добие како:

$\quad (6)\qquad D=3\pi \mu dV\qquad \qquad {\text{or}}\qquad \qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}$

каде што Рејнолдсовиот број, $Re={\frac {1}{\mu }}\rho dV$. Кога вредноста на $C_{d}$ е заменета со формулата (5), се добива равенката:

$V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right)$

Наоѓање на конечната брзина кога коефициентот на отпор не е познат

Во принцип не се знае однапред дали да се примени решение притаен тек или она што се користи за коефициентот на отпор, бидејќи коефициентот зависи од брзината. Она што може да се направи во оваа ситуација е да се пресмета производот на коефициентот на отпор и на квадратот на Рејнолдсовиот број:

$C_{d}\mathrm {Re} ^{2}={\frac {mgD^{2}}{A\rho \nu ^{2}}}$

каде ν е кинематска вискозност која е еднаква на μ / ρ. Овој производ е во функција на Рејнолдсовиот број кој може да се консултира со графиконот на Cd наспроти Re и да се најде каде, по должината на кривата на производот, постигнува правилната вредност. За сферичен објект, горенаведените производи можат да се поедностават:

$C_{d}\mathrm {Re} ^{2}={\frac {4mg}{\pi \rho \nu ^{2}}}$

Преку ова може да се види дека режимот и коефициентот на отпор зависат само од тежината на сферата и својствата на флуидите. Постојат три принципи кои се претставени во долунаведената табела:

Режим	Опсег на Рејнолдсовиот број	Опсег на CdRe2	Опсег на тежина во вода	Опсег на тежина во воздух
Притаен проток	Непрецизно до 0,3	До 7,2	До 000,058 mgf (570,000 nN)	До 000,017 mgf (170,000 nN)
Cd помеѓу 0,4 и 0,5	1000 до 200000	500000 до 2×1010	40 mgf (0.39 mN) до 1.6 kgf (16 N)	11 mgf (0.11 mN) до 470 gf (4.6 N)
Cd помеѓу 0,1 и 0,2	преку 400000	преку 1,6×1010	преку 13 kgf (130 N)	преку 375 gf (3.68 N)

Конечна брзина во присуство на пловна сила

Кога пловните ефекти се земени предвид, телото паѓајќи низ флуидот под дејство на својата тежина може да достигне конечна брзина при што нето силата која дејствува на телото е еднаква на нула. Кога конечната брзина ќе ја достигне, тежината на телото е во рамнотежа со нагорните пловни и сили на отпор. Тоа е:

$\quad (1)\qquad W=F_{b}+D$

Каде:

• $W$ - е тежината на телото
• $F_{b}$ - е пловната сила на телото
• $D$ - е силата на отпор која дејствува на телото

Доколку телото кое паѓа е во сферична форма, изразот за трите сили е:

${\begin{aligned}\quad &(2)\qquad &W&={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho _{s}g\\\quad &(3)\qquad &F_{b}&={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho g\\\quad &(4)\qquad &D&=C_{d}{\frac {1}{2}}\rho V^{2}A\end{aligned}}$

Каде:

• $d$ - е пречник на сферичното тело
• $g$ - е гравитациско забрзување
• $\rho$ - е густина на флуидот
• $\rho _{s}$ - е густина на телото
• $A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}$ - е проектирана површина на сферата
• $C_{d}$ - е коефициент на отпор
• $V$ - е карактеристична брзина

Со замена на равенките (2-4) во равенката (1) и со решавање по конечната брзина, $V_{t}$ се добива следниот израз:

$\quad (5)\qquad V_{t}={\sqrt {{\frac {4gd}{3C_{d}}}\left({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}\right)}}$

Надворешни врски

• Terminal Velocity Архивирано на 23 февруари 2009 г. - NASA site
• Onboard video of Space Shuttle Solid Rocket Boosters rapidly decelerating to terminal velocity on entry to the thicker atmosphere, from 2,900 miles per hour (Mach 3.8) at 5:15 in the video, to 220 mph at 6:45 when the parachutes are deployed 90 seconds later—NASA video and sound, @ io9.com.