Брзиност

Во релативноста, брзината најчесто се користи како мерка за релативистичка брзина. Математички, брзината може да се дефинира како хиперболичен агол што разликува две рамки на референца во релативно движење, каде секоја рамка е поврзана со координати на растојанието и времето.

За едно-димензионални движења, брзиностите се собираат додека брзините мора да бидат комбинирани со Ајнштајновата формула за собирање на брзините. За ниска брзина, брзиноста и брзината се пропорционални, но за високи брзини, брзиноста има поголема вредност, односно брзиноста на светлината е бесконечна.

Со користење на инверзна хиперболична функција artanh, брзиноста w одговара на брзината v е w = artanh(v / c) каде што c е брзината на светлината. За мали брзини, w е приближно v / c. Бидејќи во релативитетот било која брзина v е ограничена на интервалот −c < v < c односот v / c го задоволува −1 < v / c < 1. Инверзната хиперболична тангента има единица интервал (−1, 1) за својот домен и целата вистински линија за неговиот опсег, па така интервал −c < v < c се поврзува на −∞ < w < ∞.

Историја

Во 1908 Херман Минковски објасни како Лоренцовите трансформации може да се видат како едноставна хиперболична ротација на просторно-временските координати, односно, ротација преку имагинарен агол. Овој агол затоа претставува (во една просторна димензија) едноставен собирок на брзината помеѓу рамки. Тоа е користено од страна на Варичак (1910 година) и од Витакер (1910). Именуван е како "брзиност" од Алфред Роб (1911) и овој термин е усвоен од страна на многу од следните автори, како што се Варичак (1912 Година), Силберштајн (1914), Морли (1936) и Риндлер (2001). Развојот на теоријата на брзиност главно се должи на Варичак во дела од 1910 година до 1924 година.

Област на хиперболичен сектор

На квадрирањето на хиперболата xy = 1 од Грегоар де Сент-Винсент го воспостави природниот логаритам како област на хиперболичен сектор, или еквивалентно област против асимптота. Во теоријата за простор-време, поврзаноста на настани од светлината го дели универзумот во Минатото, Иднината, или на Друго место врз основа на Овде и Сега. На секоја линија во просторот, светлосен зрак може да биде насочен лево или десно. Земете ја x-оската како настани донесени од страна на десниот зрак и y-оската како настаните од левиот зрак. Функцијата за времето е паралелно со дијагоналата x = y. Правоаголната хипербола xy = 1 може да се користи за да се измери брзината (во првиот квадрант). Нултата брзина одговара на (1,1). Било која точка на хиперболата има координати $(e^{w},\ e^{-w})$ каде w е брзинoст, и е еднаква на областа на хиперболичниот сектор од (1,1) до овие координати. Многу автори ја користат единицата хипербола $x^{2}-y^{2},$ каде се зема брзиноста за параметар, како во стандардните просторно-временски дијаграми. Таму оските се мерат од страна на часовник и метаричен-стап, повеќе семејни одредници, и основата на просторо-временската теорија. Па определувањето на брзиноста, како хиперболичен параметар на зрак-простор е референца на седумнаесеттиот век кој е потекло на нашите скапоцени трансцендентални функции, и додаток на дијаграмирањето на простор и време.

Во една просторна димензија

Брзиноста w произлегува од линеарната застапеност на Лоренцовото зголемување како производ на вектор и матрица

${\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}$.

Матрицата Λ(w) е од типот ${\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}$ каде p и q го задоволуваат условот p² - q² = 1, така што (p, q) се наоѓаат на единицата хипербола. Ваквите матрици ја формираат неопределената ортогонална група О(1,1) со едно-димензионална Lie алгебра која се протега на анти-дијагонала единица матрица, покажува дека брзината е координирање на оваа Lie алгебра. Оваа акција може да биде прикажана во просторно-временски дијаграм. Во експоненцијална нотација на матрицата, Λ(w) може да се изрази како $\mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}$, каде што Z е анти-дијагоналната матрица единица

$\mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Не е тешко да се докаже дека

$\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})$.

Оваа утврдува корисен собирок на брзиноста: ако A, B и C се рамки на повикување, а потоа

$w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}$

каде w_PQ ја означува брзинoста на референтна рамка Q во однос на референтна рамка P. Едноставноста на оваа формула се контрира со комплексноста на соодветната формула за собирање на брзини.

Како што можеме да видиме од Лоренцовата трансформација погоре, Лоренцовиот фактор се идентификува со cosh w

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w$,

така брзиноста w е имплицитно користена како хиперболичен агол во изразите од Лоренцовата трансформација користејќи ги γ и β. Ако ги споредиме брзиностите со формулата за собирање на брзините

$u=(u_{1}+u_{2})/(1+u_{1}u_{2}/c^{2})$

со препозанвање

$\beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}$

и така

${\begin{aligned}\tanh w&={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}\\&=\tanh(w_{1}+w_{2})\end{aligned}}$

Соодветното забрзување (забрзување кое 'се чувствува" од објектот кога е забрзан) е стапка на промена на брзиноста во однос на соодветно време (време како што се мери од страна на објект во процес на забрзување за себеси). Затоа, брзиноста на еден објект во дадена рамка може да се гледа како на брзината на тој објект како ќе се пресметуваат нерелативистички од инерцијално воден систем кој се наоѓа на самиот објект, ако е забрзан од остатокот на таа рамка до дадената брзина.

Производ на β и γ се појавува често, и е од горенаведените аргументи

$\beta \gamma =\sinh w\,.$

Експоненцијални и логаритамски односи

Од горенаведените изрази имаме

$e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}},$

и така

$e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}.$

или експлицитно

${\displaystyle }$:$w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,.$

На Doppler-shift фактор поврзан со брзинoст w е $k=e^{w}$.

Во повеќе од една просторна димензија

Релативистичната брзина ${\boldsymbol {\beta }}$ асоцира на брзиноста$\mathbf {w}$ на објектот преку

${\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},$

каде на векторот $\mathbf {w}$ се мисли како на Декартови координати на 3-димензионални subspace на Lie алгебра ${\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)$ на Лоренцовата група опфатена од страна на генератори за зголемување $K_{1},K_{2},K_{3}$ – во целосна аналогија со едно-димензионалниот случај ${\mathfrak {o}}(1,1)$ дискутиран погоре – и брзината и просторот е претставена од страна на отворена топка $\mathbb {B} ^{3}$ со полупречник $1$ од $|\beta |<1$. Вториот што следува од тоа $c$ е ограничување на брзината во релативноста (со единиците во кои $c=1$).

Општата формула за составот на брзиностите е

$\mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2},$

каде ${\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}$ се однесува на релативистичко собирање на брзините и ${\boldsymbol {\hat {\beta }}}$ е едининичен вектор во насока на ${\boldsymbol {\beta }}$. Оваа операција не е комутативна ниту асоцијативна. Брзиностите $\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}$ со насоки склони на агол $\theta$ имаат резултантна норма $w\equiv |\mathbf {w} |$ (обична Евклидова должина) дадена од страна на хиперболичениот закон за косинус,

$\cosh w=\cosh w_{1}\cosh w_{2}+\sinh w_{1}\sinh w_{2}\cos \theta .$

Геометријата на брзиноста и просторот е наследена од хиперболична геометрија на брзина и простор преку поврзаните изјави. Оваа геометрија, пак, може да се заклучи од прилог закон на релативистичките брзини. Брзината во две димензии на тој начин може да биде корисно визуелизирана со користење на Пионкаревиот диск. Геодезиката одговара на стабилни забрзувања. Брзиноста и просторот во три димензии може на ист начин да се стави во изометрија со хиперболидниот модел (еднаквоста на 3-димензионалниот Пионкарев диск (или топка)). Ова е детализирано во геометријата на Минковскиев простор.

Собирањето на две брзиности резултира, не само во нова брзиност; целосна резултантна трансформација е составот на трансформација која одговара на брзиноста дадена погоре и ротација параметрирана од страна на вектор ${\boldsymbol {\theta }}$,

$\Lambda =e^{-i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }e^{-i\mathbf {w} \cdot \mathbf {K} },$

каде физичката конвенција за експоненцијално поврзување е вклучено. Ова е последица на комутативното правило

$[K_{i},K_{j}]=-i\epsilon _{ijk}J_{k},$

каде $J_{k},k=1,2,3,$ се генератори на ротација. Ова е поврзано со појава на феноменот Томас прецесија. За пресметување на параметарот ${\boldsymbol {\theta }}$, има поврзано посебна статија.

Во експериментална физика на честички

Енергијата E и скаларниот моментум |p| на честички на не-нулта (во мирување) маса m се дадени со:

$E=\gamma mc^{2}$

$|\mathbf {p} |=\gamma mv.$

Со дефинирање на w

$w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}},$

и на тој начин со

$\cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma$

$\sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma ,$

енергијата и скаларниот моментум може да се запишат како:

$E=mc^{2}\cosh w$

$|\mathbf {p} |=mc\,\sinh w.$

Така брзиноста може да биде пресметана од измерената енергија и мементумот со

$w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}$

Сепак, физичарите често користат изменето дефинирање на брзиноста во однос на носечка оска

$y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}}$

каде p_z е компонента на моментум по должината на носечка оска. Ова е брзиноста на зголемување на должината на носечка оска која е набљудувач од лабораторијална рамка до рамка во која честичката се движи само нормално на зракот. Во врска со ова е концептот на псевдобрзиност.

Поврзано

• Бонди к-калкулус
• Лоренцови трансформација
• Псевдобрзиност
• Соодветна брзина
• Теорија на релативноста

Забелешки и препораки

• Varićak V (1910), (1912), (1924) See Vladimir Varićak#Publications
• Whittaker, E. T. (1910). „A history of the theories of aether and electricity“: 441. Посетено на 22 January 2016.
• Robb, Alfred (1911). Optical geometry of motion, a new view of the theory of relativity. Cambridge: Heffner & Sons.
• Borel E (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
• Silberstein, Ludwik (1914). The Theory of Relativity. London: Macmillan & Co.
• Vladimir Karapetoff (1936)"Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities", American Mathematical Monthly 43:70.
• Frank Morley (1936) "When and Where", The Criterion, edited by T.S. Eliot, 15:200-2009.
• Wolfgang Rindler (2001) Relativity: Special, General, and Cosmological, page 53, Oxford University Press.
• Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations, v. 1, page 229, Academic Press ISBN 0-12-639201-3.
• Walter, Scott (1999). „The non-Euclidean style of Minkowskian relativity“ (PDF). Во J. Gray (уред.). The Symbolic Universe: Geometry and Physics. Oxford University Press. стр. 91–127. Архивирано од изворникот (PDF) на 2013-10-16. Посетено на 2018-11-05.(see page 17 of e-link)
• Rhodes, J. A.; Semon, M. D. (2004). „Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession“. Am. J. Phys. 72: 93–90. arXiv:gr-qc/0501070. Bibcode:2004AmJPh..72..943R. doi:10.1119/1.1652040.
• Jackson, J. D. (1999) [1962]. Classical Electrodynamics. Chapter 11 (3d. изд.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-30932-X.