Разлика помеѓу преработките на „Е (број)“

Додадени 36 бајти ,  пред 10 години
с
Бот Додава: gan:E (數學常數); козметички промени
с (Бот Менува: la:Numerus e)
с (Бот Додава: gan:E (數學常數); козметички промени)
{{lowercase}}
[[СликаПодатотека:Exp derivative at 0.svg|right|frame|''e'' е единствен број ''a'', чијашто вредност на изводот (наклонетоста на тангентата) на експоненцијалната функција ''f'' (''x'') = ''a<sup>x</sup>'' (сината крива) во точката ''x''&nbsp;=&nbsp;0 е точно 1. За споредба, функциите 2<sup>''x''</sup> (точкастата крива) и 4<sup>''x''</sup> (испрекинатата крава) се привидни; тие не се тангента на наклонетата линија во точката на ординатата со кордината 1 (црвената права).]]
 
[[Математичка константа|Математичката константа]] '''''e''''' е единствен [[реален број]], чијашто функција ''e<sup>x</sup>'' има иста вредност на [[извод|наклонот на тангентата]] за сите вредности на ''x''.<ref>Keisler, H.J. [http://www.vias.org/calculus/08_exp-log_functions_03_01.html Derivatives of Exponential Functions and the Number e]</ref> Појасно, единствените функции, кои се еднакви на сите свои [[извод]]и се во облик ''Ce<sup>x</sup>'', каде ''C'' е константа.<ref>Keisler, H.J. [http://www.vias.org/calculus/08_exp-log_functions_06_01.html General Solution of First Order Differential Equation]</ref> Функцијата ''e<sup>x</sup>'' е наречена [[експоненцијална функција]] и нејзината [[инверзна функција]] е [[природен логаритам|природниот логаритам]] или логаритам со [[основа (математика)|основа]] ''e''. Бројот ''e'' обично е дефиниран како '''основа на природниот логаритам''' (дефиницијата со примена на [[интеграл]] се користи подоцна) како [[гранична вредност на низа|гранична вредност]] на секоја [[низа]] или како збир на сите [[ред (математика)|редови]] (видете [[#Прикажување на е|прикажување на е]]).
 
Бројот ''e'' е еден од најважните броеви во математиката,<ref>{{цитирана книга | title = An Introduction to the History of Mathematics | author = Howard Whitley Eves | year = 1969 | publisher = Holt, Rinehart & Winston | url = http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ&q=%22important+numbers+in+mathematics%22&dq=%22important+numbers+in+mathematics%22&pgis=1 }}</ref> паралелно со додатните и мултипликативни идентитети [[0 (број)|0]] и [[1 (број)|1]], константата [[пи|&pi;π]] и [[имагинарна единица|имагинарната единица]] ''i''.
 
Бројот ''e'' понекогаш се нарекува '''Ојлеров број''', по името на [[Швајцарија|швајцарскиот]] [[математичар]] [[Леонард Ојлер]]. (''e'' не треба да се меша со γ – [[Ојлер-Маскерониева константа|Ојлер-Маскерониевата константа]] - понекогаш наречена ''Ојлерова константа''.)
Бројот ''e'' е [[трансцендентен број|трансцендентен]] и поради тоа [[ирационален број|ирационален]], односно неговата вредност не може да се пресмета во ограничен број на децимали или, пак, во децимали кои се повторуваат. Нумеричката вредност на ''e'', заокружена на 20 [[децимален број|децимали]] е {{nowrap|2,71828 18284 59045 23536…}}.
 
== Историја ==
Првите знаци за појавата на бројот се појавиле во 1618 во табелата со додатоци од работа на логаритмите од страна на [[Џон Непер]].<ref name="OConnor">O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; ''The MacTutor History of Mathematics archive'': [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html "The number ''e''"]; University of St Andrews Scotland (2001)</ref> И покрај тоа, ова не ја содржело константата, туку едноставно листа на природни логаритми пресметани од константата. Се смета дека табелата била напишана од [[Вилијам Отред]]. „Откривањето“ на константата му се препишува на [[Јакоб Бернули]], кој се обидел да ја најде вредноста на следниот израз (што всушност е ''e''):
 
[[Јакоб Бернули]] ја открил константа, анализирајќи го прашањето за [[сложена камата|сложената камата]].
 
Еден прост пример е пресметката, која започнува со $1,00, за кој се плаќа 100% камата годишно. Ако каматата се плаќа еднаш на крајот од годината, тогаш сумата која треба да се плати е $2,00; но ако каматата се пресметува два пати во годината, сумата од еден $1 се множи два пати со 1,5, односно $1,00&times;100×1,5²&nbsp;=&nbsp;$2,25. Доколку камата се пресметува квартално, тогаш $1,00&times;100×1,25<sup>4</sup>&nbsp;=&nbsp;$2,4414…, а ако тоа се пресметува секој месец, $1,00&times;00×(1,0833…)<sup>12</sup>&nbsp;=&nbsp;$2,613035….
 
Бернули открил дека граничната вредност на низата ([[сложена камата|сложени камати]]) за се помали интервали расте со помал интензитет. Вкаматувањето неделно изнесува $2,692597…, додека дневно $2,714567…. Доколку бројот на интервали на вкаматувањето е ''n'', со камата од 1/''n'' во секој интервал, тогаш граничната вредност е број кој е еднаков на ''e'', односно со ''континуиранаелно'' вредноста којашто се достигнува е $2,7182818…. Поедноставно, доколу вкаматувањето започува од $1, а се враќаат (1+''R'') долари со проста камата, тогаш со континуелно вкаматување ќе се пресметаат ''e''<sup>''R''</sup> долари.
 
=== Асимптотска анализа ===
Бројот ''e'' природно се појавува во поврзаноста со многу проблеми, вклучувајќи ги и оние во [[асимптотска анализа|асимптотската анализа]]. Познат пример е [[Стирлингова формула|Стирлинговата формула]] за пресметување на [[факториел]] на многу големи броеви, во која се употребуваат и бројот ''e'' и [[пи|&pi;π]]:
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n}.</math> Од ова следува дека
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.</math>
 
== ''e'' во анализата ==
[[СликаПодатотека:Ln+e.svg|рамка|десно|200px|Природниот логаритам од е, ln(e) е еднаков на 1]]
 
Основно образложение за воведување на бројот ''e'' во [[математичка анализа|математичката анализа]] е за да може да се олесни пресметувањето на [[извод]]и и [[интеграл]]и од [[експоненцијална функција|експоненцијални функции]] и [[логаритам|логаритми]].<ref>See, for instance, Kline, M. (1998) ''Calculus: An intuitive and physical approach'', Dover, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions."</ref> Типичната експоненцијална функција ''y''=''a''<sup>''x''</sup> има извод, претставен како [[Асимптотска вредност на функција|асимптотска вредност]]:
:<math>e = \lim_{x\to 0} \left( 1 + x \right)^{1/x}</math>
 
[[СликаПодатотека:hyperbola E.svg|мини|десно|Површината под кривата ''y'' = 1/''x'' е еднаква на 1 над интервалот 1 &le; ''x'' &le; ''e''.]]
 
4. Бројот ''e'' е збир на [[ред (математика)|редови]]
:<math> x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} </math>
 
конвергира само ако ''e''<sup>&minus;''e''</sup> ≤ ''x'' ≤ ''e''<sup>1/''e''</sup>, според теоремата на [[Леонард Ојлер]].
 
=== Теорија на броеви ===
Реалниот број ''e'' е [[ирационален број|ирационален]] (видете [[доказ дека e е ирационален број]]) и [[трансцедентален број|трансцедентален]] ([[Линдеман-Ваерштрасова теорема]]). Тоа е првиот број за кој се докажало дека е трансцедентален без да биде разложуван за таа цел (споредба со [[лиувилов број|Лиувиовиот број]]); доказот бил направен од страна на [[чарлс Хермит]] во 1873. Бројот е хипотетичкии е [[нормален број|нормален]].
 
=== Комплексни броеви ===
 
[[експоненцијална функција|Експоненцијалната функција]] ''e''<sup>''x''</sup> може да биде запишана и со примена на [[Тејлоров ред|Тејлоровиот ред]]
Многу други редови, низи, бесконечни дропки и бесконечни производи како претставувања на ''e'' биле развиени.
 
=== Стохастички претставувања ===
Покрај детерминистичките аналитички изрази за претставувањето на ''e'', кои се опишани погоре, постојат неколку схоластички протоколи за пресметување на ''e''. Во еден таков протокол, случајните примери <math>X_1, X_2, ..., X_n</math> од n од [[непрекината рамномерна прераспределба|непрекинатата рамномерна прераспределба]] на (0, 1) се применуваат за пресметување на ''e''. Ако
 
|}
 
== Информатичка технологија ==
Во современата [[интернет култура]], поединци и организации имаат почит кон бројот ''e''.
 
* [http://www.ginac.de/CLN/ Class Library for Numbers] (part of the [[GiNaC]] distribution) includes example code for computing ''e'' to arbitrary precision.
* The [[SOCR]] resource provides a [http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/SOCR_EduMaterials_Activities_Uniform_E_EstimateExperiment hands-on activity] and an [http://socr.ucla.edu/htmls/SOCR_Experiments.html interactive Java applet (Uniform E-Estimate Experiment)] for computing ''e'' using a simulation based on [[uniform distribution (continuous)|uniform distribution]].
{{Избрана}}
 
[[Категорија:Математички константи]]
[[Категорија:Броеви]]
[[Категорија:Математика]]
{{Избрана}}
 
[[an:Numero e]]
[[fi:Neperin luku]]
[[fr:E (nombre)]]
[[gan:E (數學常數)]]
[[gl:Número e]]
[[he:E (קבוע מתמטי)]]