Разлика помеѓу преработките на „Векторски простор“

с
нема опис на уредувањето
с (IW)
с
 
За множеството <math>V</math> се вели дека е векторски простор над полето <math>F</math> ако и само ако се задоволени следниве осум аксиоми, т.е. својства:
* '''С1 (комутативност на собирањето):''' <math>\ x + y = y + x</math>, за секои <math>x, y</math> \in <math>V</math>;
* '''С2 (асоцијативност на собирањето):''' <math>\ ( x + y ) + z = x + ( y + z )</math> за секои <math>x, y, z</math> \in <math>V</math>;
* '''С3 (постоење на нула-вектор):''' постои <math>O</math> \in <math>V</math> така што: <math>\ x + O = O + x = x</math>, за секој <math>x</math> \in <math>V</math>;
* '''С4 (постоење на инверзен елемент):''' за секој <math>x</math> \in <math>V</math>, постои <math>w</math> \in <math>V</math> така што <math>\ x + w = w + x = O</math>;
 
* '''М1:''' <math>a</math> · <math>( x + y ) = a</math> · <math>x + a</math> · <math>y</math>, за секое <math>a</math> \in <math>F</math> и секои <math>x, y</math> \in <math>V</math>;
* '''М2:''' <math>( a + b )</math> · <math>x = a</math> · <math>x + b</math> · <math>x</math>, за секое <math>x</math> \in <math>V</math> и секои <math>a, b</math> \in <math>F</math>;
* '''М3:''' <math>a</math> · <math>( b</math> · <math>x ) = ( a</math> · <math>b )</math> · <math>x</math>, за секое <math>x</math>\in ∈ <math>V</math> и секои <math>a, b</math> \in <math>F</math>;
* '''М4 (постоење на неутрален елемент):''' постои <math>e</math> \in <math>F</math> така што <math>e</math> · <math>x = x</math> · <math>e = x</math>, за секој <math>x</math> \in <math>V</math>;
 
Доколку се исполнети '''сите''' овие аксиоми, само тогаш <math>V</math> е векторски простор и тогаш пишуваме: <math>V ( F )</math> (читај: „V над F“ или „V е векторски простор над полето F“). Често пати наместо векторски простор се вели само простор. Ако полето на просторот е полето [[реален број|реални броеви]] <math>R</math>, тогаш за просторот велиме дека е ''реален (векторски) простор'', а ако полето на просторот е полето [[комплексен број|комплексни броеви]] <math>C</math>, тогаш за просторот велиме дека е ''комплексен (векторски) простор''.
=База и димензија на векторски простор=
 
Да избереме неколку вектори од векторскиот простор <math>V</math> и од нив да формираме множество <math>S</math>. Нека <math>S=(</math>v<sub>1</sub>,v<sub>2</sub>,...,v<sub>n</sub><math>)</math> каде што со v<sub>1</sub>,v<sub>2</sub>,...,v<sub>n</sub> се означени векторите кои сме ги избрале. За множеството <math>S</math> се вика дека е '''генератор (генераторно множество) за векторскиот простор''' <math>V</math> ако секој вектор од просторот може да се запише како [[Линеарна зависност|линеарна комбинација]] од векторите од множеството <math>V</math>, т.е. ако постојат скалари a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,...,a<sub>n</sub> \in <math>F</math> такви што за произволен вектор <math>x</math> \in <math>V</math> точно е:
: x = a<sub>1</sub>·v<sub>1</sub> + a<sub>2</sub>·v<sub>2</sub> + ... + a<sub>n</sub>·v<sub>n</sub>
Поедноставно, ако сите вектори од <math>V</math> може да ги претставиме преку вектортите од множеството <math>S</math>, тогаш за <math>S</math> се вели дека е генератор за <math>V</math>.
 
=Векторски потпростори=
Слично како што во однос на ''множеството'' се разгледува ''подмножество'', така во однос на ''векторскиот простор'' се разгледува ''векторски потпростор''. Бидејќи самиот векторски простор е множесвто, логички се наметнува заклучокот дека потпросторот е негово подмножество; но не било какво подмножество. Имено потпросторот мора да е '''сам за себе простор''', односно за сите елементи од подмножеството да важат аксиомите за векторски простор. Само тогаш може да се каже дека едно подмножество е векторски потпростор. И потпросторите од еден векторски простор не се еднозначно определени. Од друга страна, бидејќи потпросторот ги „наследува“ операциите од просторот, доволно е да покажеме дека, за секои <math>x</math>, <math>y</math> \in <math>W</math> и секои <math>a</math>, <math>b</math> \in <math>F</math> векторот: <math>a</math>·<math>x</math> + <math>b</math>·<math>y</math> \in <math>W</math>, каде со <math>W</math> е означено подмножество од просторот <math>V</math> за кое испитуваме дали е векторски простор. Релацијата „''е векторски потпростор од''“ се бележи со знакот ≤. Така, ако <math>W</math> е потпростор од <math>V</math> пишуваме: <math>W</math> ≤ <math>V</math>.
 
Бидејќи и самите потпростори се векторски простори, тие имаат база и димензија. Се јавува следнава поврзаност: потпросторот е подмножество од просторот, па соодветно: базата на потпросторот е подмножество од базата на просторот. Како точно се покажува следново; нека <math>V</math> е простор со димензија ''n'' и нека <math>W</math> е негов потпростор, тогаш:
* ако ''dimW = 0'' тогаш <math>W = {O}</math> (<math>W</math> го содржи само нултиот-вектор)
 
Ако <math>U</math> и <math>W</math> се потпростори од <math>V</math>, тогаш под збир на потпростори ќе го разбираме множеството: <math>U + W = </math>{<math> u + w </math>| <math>u</math> \in <math>U, w</math> ∈ <math>\in W </math>} кое исто така е векторски потпростор од <math>V</math>. За димензијата на збирот на потпросторите важи:
: ''dim(U + W) = dimU + dimW - dim(U ∩ W)''
 
1.577

уредувања