Пи: Разлика помеѓу преработките

[непроверена преработка][непроверена преработка]
Избришана содржина Додадена содржина
с Бот Додава: ga:Pi
text correction; numbers; links; clean-up
Ред 1:
:: ''Оваа статија е за бројот. За други грчката буква видете [[пи (грчка буква)]]. За други употреби видете [[пи (појаснување)]].''
 
[[податотека:Pi-symbol.svg|лево|50px]]
Ред 7:
 
== Буквата π ==
Името на [[Пи (грчка буква)|грчката буква π]] е ''пи'' и овој запис се користи во [[типографија|типографски]] содржини каде што грчката буква не е достапна или каде што нејзината употреба би била проблематична. Константата се нарекува «π» бидејќи е првата буква од [[грчки јазик|грчките]] зборови ''περιφέρεια'' (периферија) и ''περίμετρος'' (периметар).
 
π е претставен со [[уникод]]ниот [[знак (компјутер)|знак]] U+03C0 («[[Грчка азбука|грчката мала буква пи]]»).
Ред 13:
== Дефиниција ==
[[податотека:Circle Area-mk.svg|десно|мини|Плоштина на кругот = π × плоштина на засенетиот квадрат]]
Во [[Евклидова геометрија|Евклидовата рамнинска геометрија]], π се дефинира како однос на [[периметар]]от на еден [[круг]] со неговиот [[дијаметар]]<ref>[http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html -{About Pi. Ask Dr. Math FAQ.}-]</ref>, или како односот помеѓу [[плоштина]]та на кругот со плоштината на квадрат чијашто страна е радиусот:
<math> \pi = \frac{O}{d} = \frac{2r\pi}{2r} = \pi</math> </br/>
Константата π може да се дефинира на други начини кои го избегнуваат концептот на должина на лакот и плоштина, на пример како два пати по најмалиот позитивен ''x'' за кого [[тригонометриска функција|sin]](''x'')&nbsp;=&nbsp;0.<ref>Рудин p.183 {{deadlink}}</ref> Формулите подолу ги илустрираат другите (еквивалентни) дефиниции.
 
== Нумеричка вредност ==
Ред 24:
Нема потреба за пресметување на π до милиони или билиони цифри во практичната научна или инженерска работа. Вредност на π до 40 цифри би била повеќе од доволна да се пресмета периметарот на еден круг голем колку [[Млечен Пат|Млечниот Пат]] со грешка помала одголемината на еден [[протон]]. Постојат неколку научни пресметки кои бараат извршување на посредни пресметки за значајно поголема прецизност на крајните резултати, но не е веројатно дека некому некогаш би му притребале повеќе од неколку стотици цифри од π за таква намера.
 
Сепак, точната вредност на π има бесконечен [[децимален дел]]: неговиот децимален дел не завршува никогаш и не се [[Периодични децимали|повторува]], со оглед на тоа што π е [[ирационален број]] (и впрочем, [[трансцендентен број]]). Оваа бесконечна низа на цифри ги фасцинирала математичарите и лаиците, па така многу труд бил вложен во последните неколку векови со цел да се пресметаат мовеќеповеќе цифри и да се истражат особините на бројот. И покрај сета аналитичка работа и [[суперкомпјутер]]ски пресметки кои откриле над 1 [[трилион]] цифри на π, никогаш не била пронајдена проста шема во цифрите. Цифрите на π се достапни на многу веб-страници, и постои софтвер за пресметување на π<ref>http://cc.org.mk/index.php?option=com_docman&task=doc_details&gid=13&&Itemid=32</ref> до билионити цифри на било кој [[персонален компјутер]]. ''Видете'' [[историја на нумерички приближувања на π]].
 
== Историја ==
{{main|Нумеричка апроксимација на бројот π}}
 
Историски, за бројот π се знае од кога се знае и за самата математика.<ref>{{цитирана книга |last=Beckmann |first=Petr |authorlink=Petr Beckmann |title=A History of π |year=1976 |publisher=[[St. Martin's Press|St. Martin's Griffin]] |id=ISBN 0-312-38185-9}}</ref> Некои автори, напредокот во тоа поле го делат на 3 периоди: антички, во кој бројот се пресметувал геометриски; класилченкласичен, во кој за неговата пресметка се користела напредната математика во Европа; и третиот дигитален период се однесува на компјутерското пресметување на бројот π.<ref>{{цитирана веб страница|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/pi.html|title=Archimedes' constant &pi;π|accessdate=2007-11-04}}</ref>
 
=== Геометриски период ===
Тврдењето дека односот на лакот повлечен над права линија е околу 3 пати подолг од правата линија било познато уште во античко време. Тоа тврдење го знаеле староегипетските, вавилонските, индиските и старогрчките математичари. Најраните апроксимативни вредности на бројот π, датирааат од околу 1900 п.н.е. и изнесуваат 25/8 (Вавилон) и 256/81 (Египет). И двете се со околу 1 % отстапување од вистинската вредност. <ref>http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html</ref>
Во индискиот текст „Шатапатха Брамана“, вредноста на π е изразена како 339/108 ≈ 3.,139. Во „Книга на кралевите“, во [[Танах]]от пишува дека π = 3. Таа вредност е воочливо понепрецизна од вредностите кои во тоа време биле познати (600 години п.н.е.).<ref>{{цитирана веб страница|first=H. Peter|last=Aleff|url=http://www.recoveredscience.com/const303solomonpi.htm|title=Ancient Creation Stories told by the Numbers: Solomon's Pi|publisher=recoveredscience.com|accessdate=2007-10-30}}</ref><ref name="ahop">{{цитирана веб страница|first=J J|last=O'Connor|coauthors=E F Robertson|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html|title=A history of Pi|date=2001-08|accessdate=2007-10-30}}</ref>
 
Архимед (287-212 п.н.е.) бил првбиотпрвиот којшто точно ја пресметал вредноста на бројот π. Тој сфатил дека до точната вредност на плоштината на кругот може да се дојде со цртање на многуаголници во кругот, а од тоа и да се дојде до поточна вредност на π.
[[податотека:Archimedes pi.svg|350px|center]]
 
За да се стигне до поточна вредност потребно е да се нацрта многуаголник со што е можно поголем број на стрнистрани. Архимед нацртал 96-аголник и докажал дека 223/71 &lt; π &lt; 22/7.<ref name="ahop"/>
Во следните векови, најголем напредок на тоа поле е постигнат во Индија и Кина. Околу 265 година, математичарот [[Лиу Хуи]] од кралството Веи, открил едноставен алгоритам за пресметување на вредноста на бројот π, до било која децимала. Тој тоа го пресметал на многуаголник од 3072 страни и го добил резултатот π=3.,1416.
: <math>
\begin{align}
\pi \approxeq A_{3072} & {} \approxeq 768 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2+1}}}}}}}}} \\
& {} \approxeq 3.14159.
\end{align}
</math>
[[податотека:Cutcircle2.svg|мини|десно|250px|Лиу Хуиевиот π алгоритам]]
 
Подоцна Лиу ХиуХуи измислил [[Лиу Хуиев π алгоритам|алгоритам]], со кој се добивала вредноста π=3.,1416, користејќи многуаголник од 96 страни, тврдејќи дека разликата на плоштината на полследователнитепоследователните полигони дава геометриска прогресија со количник 4.
 
Околу 480 година, кинескиот математичар Цу Џунгџи ја дал приближната вредност π = 355/113, покажувајќи дека 3.,1415926 < π < 3.,1415927. Тоа го добил со поомошпомош на [[Лиу Хуиев π алгоритам|Лиу Хуиевиот π алгоритам]] за полигон од 12288 страни. Тоа се покажало како најточно пресметан број во наредните 900 години.
 
=== Класичен период ===
Ред 58:
:<math>\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\!</math>
 
Не толку позната како [[Грегори]]-[[Готфрид Вилхелм Лајбниц|ЛајбницЛајбницова]]ова формула:
:<math>\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)\!</math>
 
Мадхава успеал бројот да го пресмета со 11 децимали:
* π = 3.,14159265359
 
 
Рекордот е срушен во 1424 од страна на персискиот астроном [[Јамшид ал Каши]], кој бројот го пресметал со 16 децимали.
 
Првиот голем напредок во преметуувањето на бројот од времето на АехимедАрхимед го направил германскиот математичар [[Лудолф ван Цојлен]] (1540-1610), кој со геометриски метод успеал да го пресмета бројот π со точност од 35 децимали. Тој бил толку среќен и горд со овој успех, така што добиената вредност била врежана на неговиот надгробен споменик.<ref>{{цитирана книга | title = Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms... | author = Charles Hutton | publisher = London: Rivington | year = 1811 | pages = p.13 | url = http://books.google.com/books?id=zDMAAAAAQAAJ&pg=PA13&dq=snell+descartes+date:0-1837&lr=&as_brr=1&ei=rqPgR7yeNqiwtAPDvNEV }}</ref>
 
Во истиот временски период, методите на напредната математика и одредувањето на бесконечните низи почнало да се развива во Европа. Прва позната формула била [[Виетова формула|Виетовата формула]],
: <math>\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!</math>
 
која ја открил [[Франсоа Виет]] во 1593. Друг познат резултат е [[Валисов производ|ВаслисовиотВалисовиот производ]],
 
: <math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\!</math>
 
запишан од страна на [[Џон ВаисВалис]] во 1655. [[Исак Њутн]] измислил низа за пресметување на π со која можела да се пресметаат 15 децимали, иако подоцна самиот Њутн рекол: „Срам ми е да ви кажам колку фигури нацртав за оваа пресметка, не мајќи некоја друга работа.“ <ref>[http://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9B0DE0DB143FF93BA35750C0A961948260 The New York Times: Even Mathematicians Can Get Carried Away]</ref>
 
Во 1706, [[Џон Мачин]] прв го пресметал бројот π со повеќе од 100 децимали, користејќи ја формулата
Ред 94 ⟶ 93:
Напредокот не бил само резултат на брзиот напредок во дигиталната технологија, туку и резултат на појавата на нови алгоритми. Голем напредок било откривањето на [[Брза Фуриеова трансформација|брзата Фуриеова трансформација]] во 1960, која овозможува аритметичко пресметување на екстремно големи броеви со многу голема брзина.
 
На почетокот на 20. век, индискиот математичар [[Сринивас Раманујан]] (1887—1920) открил многу нови формули за пресметување на вредноста на бројот π.<ref name="rad">{{цитирана веб страница|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piramanujan.html|title=The constant &pi;π: Ramanujan type formulas|accessdate=2007-11-04}}</ref> Двете негови најпознати формули се:
 
: <math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!</math>
Ред 100 ⟶ 99:
: <math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!</math>
 
кои даваат резултат со 14 децимали по пресметката.<ref name="rad"/> Браќата Чудновски работеле на оваа формул за неколку рекордни пресметки на крајот од 1980-тите, вклучувајќи ја и првата пресметка со над милијарда децимали (точно 1,.011,.196,.691 дециималидецимали) во 1989. Ова формула останува и во пресметките на компјутерските програми, ко се користат за поставување на нови реокордирекорди при пресметлатапресметката на бројот π.
 
== Формули ==
Ред 106 ⟶ 105:
Пи се појавува во геометриските формули кои се однесуваат на [[геометриска слика|геометриските слики]] и [[геометриско тело|тела]], кои содржат облик на [[круг]] или [[елипса]]. Во нив спаѓаат [[цилиндар]]от, [[конус]]от и [[топка]]та.
 
{| class="wikitable"
{| border="1" cellspacing="4" cellpadding="4" style="border-collapse: collapse;"
!Геометријски облик
!Формула
Ред 135 ⟶ 134:
|-
|Плоштина на конус со висина ''H'' и радиус ''r''
|<math>P = \pi r \sqrt{r^2 + H^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + H^2}) \,\!</math>
|}
 
=== Тригонометријата ===
 
Во [[тригонометрија]]та, аголот од 180 [[степен]]и изнесува &pi;π [[радијан]]и.
 
=== Анализа ===
Во [[математичка анализа|математичката анализа]], бројот ''пи'' се изразува и користи на различни начини. Од обликот на [[Ред (анализа)|бесконечни редови]] и [[бесконаченбесконечен производ|производи]] до [[интеграл]]и и [[специјални функции]].
 
* [[Франсоа Виет]], [[1593]]:
Ред 150 ⟶ 149:
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots</math>
* [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|ЛајбницЛајбницова]]ова формула:
: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
: Овој бесконеченредбесконечен ред, често се запишува во следниот облик:
: <math>\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right ) = \frac{\pi}{4}</math>
* [[Валисов производ]]:
: <math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} </math>
* [[Интеграл на веројатност]]а, познат од [[математичка анализа|математичката анлизаанализа]]:
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>
* [[Базелски проблем]], кој прв го решил [[Леонард Ојлер|Ојлер]] (видете исто така: [[Риманова зета-функција]]):
: <math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
: <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
: и воопшто <math>\zeta(2n)</math> е рационален производ <math>\pi^{2n}</math> за секој природен број ''-{n}-''.
* Вредност на [[Гама-функција|Гама-функцијата]]та во точката 1/2:
: <math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
* [[Стирлингова апроксимативна формула]]:
Ред 174 ⟶ 173:
 
=== Комплексна анализа ===
* СпецијалелнСпецијален случај на [[Ојлерова формула|Ојлеровата формула]] за <math>e^{ix}\,</math>:
: <math>e^{i\pi}\,\!+1=0</math>
* Основен случај на [[Теорема за остатоци|теоремата за остатоци]]:
Ред 180 ⟶ 179:
 
=== Верижно разложување ===
&pi;π може да биде претставен како [[верижно разложување]], како на пример:
: <math> \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}} </math>
 
=== Теорија на броеви ===
Од теоријата на броеви се знае дека [[Теорија на веројатност|веројатностверојатноста]]а два случајно избрани броеви да бидат заемно [[прост број|прости]] е 6/&pi;π², а истата веројатност е и при случајно избирање на еден број, тој да нема квадратен корен, кој е цел број.². Во просек, бројот на даден природен број да се изрази како збир на два совршени квадрати е во [[просек]] &pi;π/4.
 
=== Динамични системи ===
Во теоријата на [[динамични системи]] (видте исто така: [[Ергодичка теорија]]), за скоро секој [[реален број]] -{'''''x<sub>0</sub>'''''}- во интервалот '''''[0, 1]''''',
: <math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\,, </math>
каде -{'''''x<sub>i</sub>'''''} - интегрирани вредности на логистичкото пресликување -{'''''r = 4'''''}-.
 
=== Физика ===
Во [[физика]]та, бројот &pi;π се јавува во некои формули. На пример, бројот &pi;π е содржан во упростениот израз на формулата на [[Планкова константа|Планковата константа]] <math> \hbar = \frac{h}{2\pi} </math>. Всушност упростената формула е основна, а присуството на факторот ''1/2&pi;'' воп формулата со ''h'' може да се смета за условен од вообичаената дефиниција за Планковата константа:
 
* [[Релација на неодреденост|Хајзенбергов принцип на неодреденост]]:
Ред 204 ⟶ 203:
 
=== Веројатност и статистика ===
Во [[Теорија на веројатност|веројатност]] и [[статистика]]та постојат голем број на распределби чии изрази го содржат бројот &pi;π. Меѓу нив спаѓат и [[густина на распределба на веројатност|густината на распределба на веројатноста]] за [[нормална распределба]] со очекувана веројатност &mu; и [[стандардно отстапување]] &sigma;:
 
: <math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}</math>
* Густина на разпределбараспределба на веројатноста ([[Кошиева распределба]]):
 
: <math>f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}</math>
 
Треба да се забележи дека, како <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1</math> за секоја функција на густината на разпределбараспределба на веројатноста -{'''''f(x)'''''}-, со помош на горната формула може да се изведат други формули изразени преку &pi;π.
 
Интересна емпириска приближна вредност на бројот &pi;π се заснова на проблемот на [[Буфонова игла]]. Го разгледуваме експериментот, во кој игла со должина -{'''''L'''''}- се фрла на рамнина, на која се означени две паралелни прави со меѓусебно растојание -{'''''S'''''}- (каде што -{'''''S'''''}->-{'''''L'''''}-). Ако иглата, случајно се фрли голем број на пати, -{('''''n''''')}- од кои '''''-{x}-''''', така што да пресекува една од правите, тогаш приближната вредност на бројот &pi;π може да ја добиеме со формулата:
: <math>\pi \approx \frac{2nL}{xS}</math>
 
== Отворени прашања ==
Отвореното прашање за овој број е дали &pi;π е нормален број, дали постои децимала која би дала можност статистички да се предвидат останатите негови децимали. Ова мора да биде точно не само во декадниот систем. Моментно познавањата во оваа насока не се големи, па така не се знае ни кои цифри се јавуваат бесконечно, а кои не.
 
Во [[2000]], Бејли и Крендал покажаа дека со формулата Бејли-Борвајн-Плуфе и слични на неа формули може да се докаже нормалноста на бројот &pi;π и на други константи, во основа 2  може да се сведе на разумна претпоставка во [[Теорија на хаос|теоријата на хаос]].
 
Исто така не е познато дали броевите &pi;π и [[Неперов број|е]] се [[алгебарска независност|алгебарски независни]], односно дали постои нетривијална полиномска релација дали постои нетривијална полиномска релација меѓу овие два броја со рационални коефициенти.
 
[[Џон Харисон]] (1693—1776) создал музички систем организиран од &pi;π. Овој [[Луси тјунинг]] систем, (поради единството на математичките својства на бројот &pi;π) може да ги преслика сите музички интервали интервале, хармонии и хармоники. Ова наложува дека користеето на &pi;π може да добие попрецизен модел како во музичките така и во другите вибрациони системи.
 
== Природта на бројот &pi;π ==
Во [[Хиперболична геометрија|хиперболичната геометрија]], збирот на аглите на триаголник може да биде помал или поголем од &pi;π [[радијан]]и, а односот на периметарот на кругот и неговиот дијаметар може да се разликува од &pi;π. Ова не ја менува неговата дефиниција, но влијае на многу формули каде &pi;π се појавува. Па, особено обликот на универзумот не влијае на &pi;π; &pi;π не е физичка константа, туку математичка константа, дефинирана независно од некои физички мерења. Причината зошто &pi;π се појавува така често во физиката е едноставно поради тоа што се содржи во многу физички мкоделимодели.
На пример, Кулоновиот закон:
: <math> F = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{\left|q_1 q_2\right|}{r^2} </math>.
Овде, <math>4 \pi r^2\,</math> е плоштина на топка со радиус ''r''. Во оваа форма, ова е погоден начин за опишување на инверзната квадратна врска меѓу силата и растојанието ''r'' од изворот точка. Се разбира дека би било можно овој закон да се опише на друг начин, но сепак ова е најсоодветниот начин. Ако го користиме Планковото електризирање, Кулоновиот закон може да се опише како <math> F = \frac{q_1 q_2}{r^2} </math> за што се јавува потребата од &pi;π.
 
== Надворешни врски ==
Ред 262 ⟶ 261:
[[Категорија:Физика]]
 
{{Link FA|af}}
{{Link FA|de}}
{{Link FA|eo}}
{{Link FA|he}}
{{Link FA|nl}}
{{Link FA|sr}}
 
{{Link FA|af}}
{{Link FA|eo}}
{{Link FA|nl}}
 
[[af:Pi]]
Преземено од „https://mk.wikipedia.org/wiki/Пи