Пи: Разлика помеѓу преработките
[непроверена преработка] | [непроверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
с Бот Додава: ga:Pi |
text correction; numbers; links; clean-up |
||
Ред 1:
:: ''Оваа статија е за бројот. За други грчката буква видете [[пи (грчка буква)]]. За други употреби видете [[пи (појаснување)]].''
[[податотека:Pi-symbol.svg|лево|50px]]
Ред 7:
== Буквата π ==
Името на [[Пи (грчка буква)|грчката буква π]] е ''пи'' и овој запис се користи во [[типографија|типографски]] содржини каде што грчката буква не е достапна или каде што нејзината употреба би била проблематична. Константата се нарекува «π» бидејќи е првата буква од [[грчки јазик|грчките]] зборови ''περιφέρεια'' (периферија) и ''περίμετρος'' (периметар).
π е претставен со [[уникод]]ниот [[знак (компјутер)|знак]] U+03C0 («[[Грчка азбука|грчката мала буква пи]]»).
Ред 13:
== Дефиниција ==
[[податотека:Circle Area-mk.svg|десно|мини|Плоштина на кругот = π × плоштина на засенетиот квадрат]]
Во [[Евклидова геометрија|Евклидовата рамнинска геометрија]], π се дефинира како однос на [[периметар]]от на еден [[круг]] со неговиот [[дијаметар]]<ref>[http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html
<math> \pi = \frac{O}{d} = \frac{2r\pi}{2r} = \pi</math>
Константата π може да се дефинира на други начини кои го избегнуваат концептот на должина на лакот и плоштина, на пример како два пати по најмалиот позитивен ''x'' за кого [[тригонометриска функција|sin]](''x'') = 0.<ref>Рудин p.183 {{deadlink}}</ref> Формулите подолу ги илустрираат другите (еквивалентни) дефиниции.
== Нумеричка вредност ==
Ред 24:
Нема потреба за пресметување на π до милиони или билиони цифри во практичната научна или инженерска работа. Вредност на π до 40 цифри би била повеќе од доволна да се пресмета периметарот на еден круг голем колку [[Млечен Пат|Млечниот Пат]] со грешка помала одголемината на еден [[протон]]. Постојат неколку научни пресметки кои бараат извршување на посредни пресметки за значајно поголема прецизност на крајните резултати, но не е веројатно дека некому некогаш би му притребале повеќе од неколку стотици цифри од π за таква намера.
Сепак, точната вредност на π има бесконечен [[децимален дел]]: неговиот децимален дел не завршува никогаш и не се [[Периодични децимали|повторува]], со оглед на тоа што π е [[ирационален број]] (и впрочем, [[трансцендентен број]]). Оваа бесконечна низа на цифри ги фасцинирала математичарите и лаиците, па така многу труд бил вложен во последните неколку векови со цел да се пресметаат
== Историја ==
{{main|Нумеричка апроксимација на бројот π}}
Историски, за бројот π се знае од кога се знае и за самата математика.<ref>{{цитирана книга |last=Beckmann |first=Petr |authorlink=Petr Beckmann |title=A History of π |year=1976 |publisher=[[St. Martin's Press|St. Martin's Griffin]] |id=ISBN 0-312-38185-9}}</ref> Некои автори, напредокот во тоа поле го делат на 3 периоди: антички, во кој бројот се пресметувал геометриски;
=== Геометриски период ===
Тврдењето дека односот на лакот повлечен над права линија е околу 3 пати подолг од правата линија било познато уште во античко време. Тоа тврдење го знаеле староегипетските, вавилонските, индиските и старогрчките математичари. Најраните апроксимативни вредности на бројот π, датирааат од околу 1900 п.н.е. и изнесуваат 25/8 (Вавилон) и 256/81 (Египет). И двете се со околу 1
Во индискиот текст „Шатапатха Брамана“, вредноста на π е изразена како 339/108 ≈ 3
Архимед (287-212 п.н.е.) бил
[[податотека:Archimedes pi.svg|350px|center]]
За да се стигне до поточна вредност потребно е да се нацрта многуаголник со што е можно поголем број на
Во следните векови, најголем напредок на тоа поле е постигнат во Индија и Кина. Околу 265 година, математичарот [[Лиу Хуи]] од кралството Веи, открил едноставен алгоритам за пресметување на вредноста на бројот π, до било која децимала. Тој тоа го пресметал на многуаголник од 3072 страни и го добил резултатот π=3
: <math>
\begin{align}
\pi \approxeq
& {} \approxeq
\end{align}
</math>
[[податотека:Cutcircle2.svg|мини|десно|250px|Лиу Хуиевиот π алгоритам]]
Подоцна Лиу
Околу 480 година, кинескиот математичар Цу Џунгџи ја дал приближната вредност π = 355/113, покажувајќи дека 3
=== Класичен период ===
Ред 58:
:<math>\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\!</math>
Не толку позната како [[Грегори]]-[[Готфрид Вилхелм Лајбниц|
:<math>\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)\!</math>
Мадхава успеал бројот да го пресмета со 11 децимали:
* π = 3
Рекордот е срушен во 1424 од страна на персискиот астроном [[Јамшид ал Каши]], кој бројот го пресметал со 16 децимали.
Првиот голем напредок во преметуувањето на бројот од времето на
Во истиот временски период, методите на напредната математика и одредувањето на бесконечните низи почнало да се развива во Европа. Прва позната формула била [[Виетова формула|Виетовата формула]],
: <math>\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!</math>
која ја открил [[Франсоа Виет]] во 1593. Друг познат резултат е [[Валисов производ|
: <math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\!</math>
запишан од страна на [[Џон
Во 1706, [[Џон Мачин]] прв го пресметал бројот π со повеќе од 100 децимали, користејќи ја формулата
Ред 94 ⟶ 93:
Напредокот не бил само резултат на брзиот напредок во дигиталната технологија, туку и резултат на појавата на нови алгоритми. Голем напредок било откривањето на [[Брза Фуриеова трансформација|брзата Фуриеова трансформација]] во 1960, која овозможува аритметичко пресметување на екстремно големи броеви со многу голема брзина.
На почетокот на 20. век, индискиот математичар [[Сринивас Раманујан]] (1887—1920) открил многу нови формули за пресметување на вредноста на бројот π.<ref name="rad">{{цитирана веб страница|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piramanujan.html|title=The constant
: <math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!</math>
Ред 100 ⟶ 99:
: <math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!</math>
кои даваат резултат со 14 децимали по пресметката.<ref name="rad"/> Браќата Чудновски работеле на оваа формул за неколку рекордни пресметки на крајот од 1980-тите, вклучувајќи ја и првата пресметка со над милијарда децимали (точно 1
== Формули ==
Ред 106 ⟶ 105:
Пи се појавува во геометриските формули кои се однесуваат на [[геометриска слика|геометриските слики]] и [[геометриско тело|тела]], кои содржат облик на [[круг]] или [[елипса]]. Во нив спаѓаат [[цилиндар]]от, [[конус]]от и [[топка]]та.
{| class="wikitable"
!Геометријски облик
!Формула
Ред 135 ⟶ 134:
|-
|Плоштина на конус со висина ''H'' и радиус ''r''
|<math>P = \pi r \sqrt{r^2 + H^2} + \pi r^2 =
|}
=== Тригонометријата ===
Во [[тригонометрија]]та, аголот од 180 [[степен]]и изнесува
=== Анализа ===
Во [[математичка анализа|математичката анализа]], бројот ''пи'' се изразува и користи на различни начини. Од обликот на [[Ред (анализа)|бесконечни редови]] и [[
* [[Франсоа Виет]], [[1593]]:
Ред 150 ⟶ 149:
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots</math>
* [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|
: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
: Овој
: <math>\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right ) = \frac{\pi}{4}</math>
* [[Валисов производ]]:
: <math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} </math>
* [[Интеграл на веројатност]]а, познат од [[математичка анализа|математичката
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>
* [[Базелски проблем]], кој прв го решил [[Леонард Ојлер|Ојлер]] (видете исто така: [[Риманова зета-функција]]):
: <math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
: <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
: и воопшто <math>\zeta(2n)</math> е рационален производ <math>\pi^{2n}</math> за секој природен број ''-{n}-''.
* Вредност на [[Гама-функција
: <math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
* [[Стирлингова апроксимативна формула]]:
Ред 174 ⟶ 173:
=== Комплексна анализа ===
*
: <math>e^{i\pi}\,\!+1=0</math>
* Основен случај на [[Теорема за остатоци|теоремата за остатоци]]:
Ред 180 ⟶ 179:
=== Верижно разложување ===
: <math> \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}} </math>
=== Теорија на броеви ===
Од теоријата на броеви се знае дека [[Теорија на веројатност|
=== Динамични системи ===
Во теоријата на [[динамични системи]] (видте исто така: [[Ергодичка теорија]]), за скоро секој [[реален број]] -{'''''x<sub>0</sub>'''''}- во интервалот '''''[0, 1]''''',
: <math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\,, </math>
каде -{'''''x<sub>i</sub>'''''} - интегрирани вредности на логистичкото пресликување -{'''''r = 4'''''}-.
=== Физика ===
Во [[физика]]та, бројот
* [[Релација на неодреденост|Хајзенбергов принцип на неодреденост]]:
Ред 204 ⟶ 203:
=== Веројатност и статистика ===
Во [[Теорија на веројатност|веројатност]] и [[статистика]]та постојат голем број на распределби чии изрази го содржат бројот
: <math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}</math>
* Густина на
: <math>f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}</math>
Треба да се забележи дека, како <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1</math> за секоја функција на густината на
Интересна емпириска приближна вредност на бројот
: <math>\pi \approx \frac{2nL}{xS}</math>
== Отворени прашања ==
Отвореното прашање за овој број е дали
Во [[2000]], Бејли и Крендал покажаа дека со формулата Бејли-Борвајн-Плуфе и слични на неа формули може да се докаже нормалноста на бројот
Исто така не е познато дали броевите
[[Џон Харисон]] (1693—1776) создал музички систем организиран од
== Природта на бројот
Во [[Хиперболична геометрија|хиперболичната геометрија]], збирот на аглите на триаголник може да биде помал или поголем од
На пример, Кулоновиот закон:
: <math> F = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{\left|q_1 q_2\right|}{r^2} </math>.
Овде, <math>4 \pi
== Надворешни врски ==
Ред 262 ⟶ 261:
[[Категорија:Физика]]
{{Link FA|af}}▼
{{Link FA|de}}
{{Link FA|eo}}▼
{{Link FA|he}}
{{Link FA|nl}}▼
{{Link FA|sr}}
▲{{Link FA|af}}
▲{{Link FA|eo}}
▲{{Link FA|nl}}
[[af:Pi]]
|