Математичка логика: Разлика помеѓу преработките

[непроверена преработка][непроверена преработка]
Избришана содржина Додадена содржина
с Бот додава Шаблон: Без извори
с Бот Додава: ro:Logică matematică; козметички промени
Ред 6:
Претходно математичката логика се нарекувала '''симболичка логика''' (наспроти [[философска логика]]) и '''[[метаматематика]]'''. Првоаведениот термин сѐ уште се користи (како кај [[Здружение за симболичка логика|Здружението за симболичка логика]]), а второнаведениот термин се користи за извесни аспекти од [[доказна теорија|доказната теорија]].
 
== Историја ==
Називот ''математичка логика'' го измислил [[Џузепе Пеано]], кој и го дал на симболичката логика. Во нејзината класична верзија, основните концепти личат на оние на [[Аристотел]], но напишани со симбоичка нотација наместо природен јазик. Некои од пофилософските математичари како [[Лајбниц]] и [[Јохан Хајнрих Ламберт|Ламберт]] направиле обиди за третирање на операциите во формалната логика на симболички или алгебарски начин; но нивните трудови биле малку познати и изолирани. Кон средината на [[XIX век]] [[Џорџ Бул]] и потоа [[Огастес Де Морган]] претставиле систематички математички начин на гледање на логиката. Традиционалната Аристотелова логичка доктрина била реформирана и довршена; и од неа произлегол адекватниот инструмент за истрага во [[основи на математиката|фундаменталните концепти на математиката]]. Би било збунувачки да се каже дека основните полемики во периодот 1900–1925 се решиле сите до една; но [[философија на математиката|философијата на математиката]] била мошне разјаснета со оваа „нова“ логика.
Ред 16:
Во нејзината с'рж, математичката логика се занимава со со математички концепти изразени по пат на формални логички системи. Системот на [[логика од прв ред|логиката од прв ред]] е најшироко изучуваниот заради неговата применливост во [[основи на математиката|основите на математиката]] и заради неговите пожелни својства. Се изучуваат и посилните класична логики како [[логика од втор ред|логиката од втор ред]] или [[бесконечносна логика|бесконечносната логика]], заедно со некласичните логики како [[интуиционистичка логика|интуиционистичката логика]].
 
== Полиња на математичката логика ==
Книгата „Прирачник за математичката логика“ (''Handbook of Mathematical Logic'') (1977) ја дели математичката логика на четири дела:
 
* '''[[Теорија на множествата]]''' е изучувањето на [[множество|множествата]], кои се апстрактни збирови на предмети. Основните концепти на теоријата на множествата како [[подмножество]]то и [[дополнение (теорија на множествата)|релативно дополнение]] често се нарекуваат '''[[наивна теорија на множествата]]'''. Современото истражување се одвива во областа на '''[[Аксиоматска теорија на множествата|аксиоматската теорија на множествата]]''', која користи логички методи за изулување на тоа кои тврдења се докажливи во разни формални теории како [[Цермело-Франкелова теорија на множествата|Цермело-Франкеловата теорија на множествата]] или [[Нови основи|Новите основи]].
 
* '''[[Доказна теорија]]''' е изучувањето на формалните докази на разните логички дедукциони сситеми. Овие докази се претставени како формални математички предмети, упростувајќи ја нивната анализа со математички техники. Фреге работел на математички докази и го формализирал поимот „доказ“.
 
* '''[[Теорија на моделите]]''' е изучувањето на моделите на разни формални теории. Множеството од сите модели на дадена теорија се нарекува [[елементарна класа]]; класичната теорија на моделите се стреми кон одредување на својствата на моделите на дадена елементарна класа, или да одреди дали извесни класи на структури сочинуваат елементарни класи. Со цел да се покаже дека моделите на дадени теории неможат да бидат премногу комплицирани се користи методата на [[елмининација на квантификатори]].
 
* '''[[Теорија на рекурзијата]]''', наречена и '''теорија на пресметливоста''', е изучувањето на својствата на [[пресметлива функција|пресметливите функции]] и [[Тјурингов степен|Тјуринговите степени]], кои ги делат непресметливите функции во множества кои имаат исто ниво на непресметливост. Во теоријата на рекурзијата исто така спаѓа и изучувањето на генерализирана пресметливост и дефинитивност.
 
Границите помеѓу овие полиња, како и помеѓу математичката логика и другите полиња на математиката, не секогаш се рески; на пример, [[Геделова теорема за непотполноста|Геделовата теорема за непотполноста]] не е само клучна во теоријата на рекурзијата, ''и'' во доказната теорија, туку исто така довела до [[Лебова теорема|Лебовата теорема]], која е важна во модалната логика. Математичкото поле на [[теорија на категориите|теоријата на категориите]] користи многу формални анксиоматски методи слични на оние користени кај математичката логика, но теоријата на категориите обично не се смета за поле на математичката логика.
 
== Поврзаност со информатиката ==
Постојат многу врски помеѓу математичката логика и [[информатика]]та. Многу од раните пионери на информатиката како [[Алан Тјуринг]], биле исто така математичари и логичари.
Ред 39:
Информатиката исто така придонесува кон математиката со развој на техники за автоматска проверка, па дури и изнаоѓање на докази како [[автоматско докажување на теореми|автоматското докажување на теореми]] и [[логичко програмирање|логичкото програмирање]].
 
== Пионерски подвизи ==
* [[Левенхајм–Сколемова теорема|Левенхајм–Сколемовата теорема]] (1919) покажала дека ако множество реченици во избројлив јазик од прв ред има бесконечен модел, тогаш има најмалку еден модел од секоја бесконечна кардиналност.
* [[Геделова теорема на потполноста|Геделовата теорема на потполноста]] (1929) ја воспоставила еквиваленцијата помеѓу семантичките и синтаксните дефицинии на логичката последователност во логиката од прв ред.
* [[Геделова теорема за непотполноста|Геделовата теорема за непотполноста]] (1931) покажала дека ниеден достатно силен формален систем може да ја докаже сопствената доследност.
* Алогаримтмичката нерешливост на [[проблем на одлучување|проблемот на одлучувањето]], основан независно од [[Алан Тјуринг]] и [[Алонзо Черч]] во 1936, покажала дека ниеден компјуерски програм не може да се користи за точно одлучување дали произолните математички искази се вистинити.
* [[Независност (математичка логика)|Независноста]] од [[контунуумска хипотеза|континуумската хипотеза]] од [[Цермело-Франкелова теорија на множествата|Цермело-Франкеловата теорија на множествата]] (ЦФТМ) покажала дека елементарниот доказ или [[побивање]] на оваа хипотеза е невозможно. Фактот што континуумската хипотеза е доследна на ЦФТМ (ако самата ЦФТ е доследна) е докажан од [[Курт Гедел]] во 1940. Фактот што негацијата на континуумската хипотеза е доследна со ЦФТМ (ако ЦФТМ е доследна) бил докажан од [[Пол Коен]] во 1963.
* Алогаритмичката нерешливост на [[Десетти Хилбертов проблем|Десеттиот Хилбертов проблем]], основан од [[Јуриј Матијасевич]] во 1970, покажала дека е невозможно било кој компјутерски програм точно да реши дали повеќеваријантните полиноми со коефициенти од цел број воопшто имаат корени од цел број.
 
== Видете исто така ==
Ред 54:
* [[Листа на теории од прв ред]]
 
== Наводи ==
{{Портал|Логика|Zellweger-LogicGarnet.jpg}}
* Andrews, Peter B., 2002. ''[http://www.springeronline.com/sgw/cda/frontpage/0,11855,4-0-22-33641956-0,00.html?referer=www.springeronline.com/isbn/1-4020-0763-9 An Introduction to Mathematical Logic and Type Theory: To Truth Through Proof]'', Второ изд. Kluwer Academic Publishers.
Ред 102:
[[no:Predikatslogikk]]
[[pl:Logika matematyczna]]
[[ro:Logică matematică]]
[[ru:Математическая логика]]
[[sh:Matematička logika]]