Википедија

Цел број: Разлика помеѓу преработките

Интерактивен преглед на историјата
[непроверена преработка][непроверена преработка]
← Постаро уредувањеПоново уредување →
Избришана содржина Додадена содржина
НагледноВикитекст
с Бот Менува: hsb:Cyła ličba
с Бот Додава: br:Kevan daveel; козметички промени
Ред 1:
'''Целите броеви''' се состојат од позитивни [[природен број|природни броеви]] ([[1 (број)|1]], [[2 (број)|2]], [[3 (број)|3]], ……), нивните [[позитивни и негативни броеви|негативи]] (−1−1, −2−2, −3−3, ...) и бројот [[0 (број)|нула]]. Како и природните броеви, целите броеви сочинуваат [[преброиво бесконечно множество]].
 
<math>\mathbb{Z}</math> = <math>\mathbb{Z}</math><sup>-</sup>∪{0}∪<math>\mathbb{Z}</math><sup>+</sup>
Ред 15:
| || собирање || множење
|-
| [[Затворање (математика)|затвореност]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp; е цел број || ''a''&nbsp;&times;×&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp; е цел број
|-
| [[асоцијативност]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;(''b''&nbsp;+&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;+&nbsp;''b'')&nbsp;+&nbsp;''c'' || ''a''&nbsp;&times;×&nbsp;(''b''&nbsp;&times;×&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;&times;×&nbsp;''b'')&nbsp;&times;×&nbsp;''c''
|-
| [[комутативност]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''b''&nbsp;+&nbsp;''a'' || ''a''&nbsp;&times;×&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''b''&nbsp;&times;×&nbsp;''a''
|-
| постоење на [[идентитетен елемент]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;0&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''a'' || ''a''&nbsp;&times;×&nbsp;1&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''a''
|-
| постоење на [[обратен елемент|обратни елементи]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;(&minus;−''a'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;0 ||
|-
| [[дистрибутивност]]: || colspan=2 align=center| ''a''&nbsp;&times;×&nbsp;(''b''&nbsp;+&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;&times;×&nbsp;''b'')&nbsp;+&nbsp;(''a''&nbsp;&times;×&nbsp;''c'')
|}
 
На јазикот на [[апстрактна алгебра|апстрактната алгебра]], првите пет својства погоре велат дека '''Z''' под собирање е [[абелова група]]. Како група под собирање, '''Z''' е [[цикличка група]], бидејќи секој цел број кој не е нула може да се изрази како конечен износ 1 + 1 + ... 1 или (&minus;1−1) + (&minus;1−1) + ... + (&minus;1−1). Впрочем, '''Z''' под собирање е ''единствената'' бесконечна циклична група, бидејќи бесконечната цикличка група е [[групен изоморфизам|изоморфична]] на '''Z'''.
 
Првите четири својства погоре во колоната за множење велат дека '''Z''' под множење е [[комутативен моноид]]. Меѓутоа, треба да се забележи дека не секој цел број има помножителен обратен број; на пр. не постои цел број ''x'' кај кој 2''x'' = 1, бидејќи левата страна е парна, додека десната е непарна. Ова значи дека '''Z''' под множење не е група.
Ред 34:
Сите својства споменати во табелата погоре велат дека '''Z''' заедно со множењето и собирањето е [[коло (математика)|коло]] со унија. Впрочем, '''Z''' ни дава мотивација за дефинирање на таквата структура. Отсуството на помножителни обратни броеви, што е еквивалентно на фактот дека '''Z''' не се затвора под делење, значи дека '''Z''' не е [[поле (математика)|поле]]. Најмалото поле кое ги содржи целите броеви е полето на [[рационален број|рационалните броеви]]. Овој процес може да се имитира за обликување на [[дробно поле]] од секоја [[целосна област]], каде целосната област е [[комутативно коло]] со таква унија што со било кое ''ab'' = 0, или ''a'' = 0 или ''b'' = 0.
 
Иако редното делење не се дефинира на '''Z''', содржи важно својство наречено [[делбен алогаритам]]: т.е. ако имаме два цели броја ''a'' и ''b'' со ''b''&nbsp;&ne;≠&nbsp;0, постојат уникатни цели броеви ''q'' и ''r'' при кои ''a''&nbsp;=&nbsp;''q'' &times;× ''b''&nbsp;+&nbsp;''r'' и 0 &le;≤ ''r'' < |''b''|, каде |''b''| ја означува [[апсолутна вредност|апсолутната вредност]] на ''b''. Целиот број ''q'' се нарекува ''количник'' и ''r'' се нарекува ''[[остаток]]'', кој резултира од делењето на ''a'' со ''b''. Ова е основата на [[Евклидов алогаритам|Евклидовиот алогаритам]] за пресметка на [[најголем заеднички содржател|најголеми заеднички содржатели]].
 
Повторно, на јазикот на апстрактната алгебра, гореспоменатово вели дека '''Z''' е [[Евклидска област]]. Ова имплицира дека '''Z''' е [[проста идеална област]] и секој позитивен цел број може да се искаже како производ на [[прост број|прости броеви]] на уникатен начин. Ова е [[фундаментална аритметичка теорема|фундаменталната аритметичка теорема]].
 
== Редно-теоретски својства ==
 
'''Z''' е [[тотален ред|тотално подредено множество]] без горна или долна граница. Подредувањето на '''Z''' е
: ... < &minus;2−2 < &minus;1−1 < 0 < 1 < 2 < ...
Еден цел број е ''позитивен'' ако е поголем од нула, а ''негативен'' ако е помал од нула. Нулата е дефинирана како ниту позитивна, ниту негативна.
 
Подредувањето на целите проеви е соодветно на алгебарските операции на следниов начин:
# ако ''a'' < ''b'' и ''c'' < ''d'', тогаш ''a'' + ''c'' < ''b'' + ''d''
# ако ''a'' < ''b'' и 0 < ''c'', тогаш ''ac'' < ''bc''. (Од овој факт, можеме да докажеме дека ако ''c'' < 0, тогаш ''ac'' > ''bc''.)
 
== Надворешни врски ==
* [http://www.virtuescience.com/number.html Својства на позитивните цели броеви: 1 до 2000+]
* [http://www.positiveintegers.org Позитивните цели броеви - табели за поделба и алатки за нумерички приказ]
Ред 63:
[[bg:Цяло число]]
[[bn:পূর্ণ সংখ্যা]]
[[br:Kevan daveel]]
[[bs:Cijeli broj]]
[[ca:Nombre enter]]
Преземено од „https://mk.wikipedia.org/wiki/Цел_број“