Разлика помеѓу преработките на „Е (број)“

Додадени 89 бајти ,  пред 11 година
с
исправки
с
с (исправки)
{{lowercase}}
[[Слика:Exp derivative at 0.svg|right|frame|''e'' е единствен број ''a'', чијашто вредност на изводот (наклонетоста на тангентата) на експоненцијалната функција ''f'' (''x'') = ''a<sup>x</sup>'' (сината крива) во точката ''x''&nbsp;=&nbsp;0 е точно 1. За споредба, функциите 2<sup>''x''</sup> (точкастата крива) и 4<sup>''x''</sup> (испрекинатата крава) се привидни; тие не се тангента на наклонетата линија во точката на ординатата со ккординатакордината 1 (црвената права).]]
 
[[математичкаМатематичка константа|Математичката константа]] '''''e''''' е единствен [[реален број]], чијашто функција ''e<sup>x</sup>'' има иста вредност на [[извод|наклонот на тангентата]] за сите вредности на ''x''.<ref>Keisler, H.J. [http://www.vias.org/calculus/08_exp-log_functions_03_01.html Derivatives of Exponential Functions and the Number e]</ref> Појасно, единственте функции, кои се еднакви на сите свои [[извод]]и се во облик ''Ce<sup>x</sup>'', каде ''C'' е константа.<ref>Keisler, H.J. [http://www.vias.org/calculus/08_exp-log_functions_06_01.html General Solution of First Order Differential Equation]</ref> Функцијата ''e<sup>x</sup>'' е наречена [[експоненцијална функција]] и нејзината [[инверзна функција]] е [[природен логаритам|природниот логаритам]] или логаритам со [[основа (математика)|основа]] ''e''. Бројот ''e'' е обично е дефиниран како '''основа на природниот логаритам''' (дефиницијата со примена на [[интеграл]] есе дефиниранокористи подоцна) како [[гранична вредност на низа|гранична вредност]] на секоја [[низа]] или како збир на сите [[ред (математика)|редови]] (видете [[#Прикажување на е|прикажување на е]]).
 
Бројот ''e'' е еден од најважните броеви во математиката,<ref>{{cite book | title = An Introduction to the History of Mathematics | author = Howard Whitley Eves | year = 1969 | publisher = Holt, Rinehart & Winston | url = http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ&q=%22important+numbers+in+mathematics%22&dq=%22important+numbers+in+mathematics%22&pgis=1 }}</ref> паралелно со додатните и мултипликативни идентитети [[0 (број)|0]] и [[1 (број)|1]], константата [[пи|&pi;]] и [[имагинарна единица|имагинарната единица]] ''i''.
Првата позната примена на константата, претставена со буквата ''b'' била во дописот од [[Готфрид Лајбниц]] до [[Кристијан Хајгенс]] во 1690 и 1691. [[Леонард Ојлер]] започнал да ја употребува буквата ''e'' за ознака на константата во 1727 и првата употреба на буквта ''e'' била во Ојлеровата ''Механика'' (1736). Додека во следните години некои истражувачи ја употребувале буквата ''c'', буквата ''e'' била повообичаена и станала стандардна ознака на бројот.
 
Точните причини за употреба на буквата ''e'' не се познати, но тоа е можеби поради првата буква од зборот ''[[експоненцијал]]''.{{Fact|date=NovemberНоември 2008}} Another possibility is that Euler used it because it was the first [[vowel]] after ''a'', which he was already using for another number, but his reason for using vowels is unknown.{{Fact|date=NovemberНоември 2008}}
 
== Примена ==
[[Јакоб Бернули]] ја открил константа, анализирајќи го прашањето за [[сложена камата|сложената камата]].
 
Еден прост пример е пресметката, која започнува со $1,00, за кој се плаќа 100% камата годишно. Ако каматата се плаќа еднаш на крајот од годината, тѕогаштогаш сумата која треба да се плати е $2,00; но ако каматата се пресметува два пати во годината, сумата од еден $1 се множи два пати со 1,5, односно $1,00&times;1,5²&nbsp;=&nbsp;$2,25. Доколку камата се пресметува квартално, тогаш $1,00&times;1,25<sup>4</sup>&nbsp;=&nbsp;$2,4414…, а ако тоа се пресметува секој месец, $1,00&times;(1,0833…)<sup>12</sup>&nbsp;=&nbsp;$2,613035….
 
Бернули открил дека граничната вредност на низата ([[сложенсложена камата|сложенатасложени каматакамати]]) за се помали интервали расте со помал интензитет. Вкаматувањето неделно изнесува $2,692597…, додека дневно $2,714567…. Доколку бројот на интервалининтервали на вкаматувањето е ''n'', со камата од 1/''n'' во секој интервал, тогаш граничната вредност е број кој е еднаков на ''e'', односно со with ''континуелноконтинуиранаелно'' вредноста којашто се достигнува е $2,7182818…. Поедноставно, доколу вкаматувањето започува од $1, а се враќаат (1+''R'') долари со проста камата, тогаш со континуелно вкаматување ќе се пресметаат ''e''<sup>''R''</sup> долари.
 
=== Бернулиевите обиди ===
Бројот ''e'' има примена и во [[теорија на веројатност|теоријата на веројатност]], каде расте на начин кој очигледно не е поврзан со експоненционалниотекспоненциојалниот пораст. Да претпоставиме дека коцкаркомарџија игра на машина која исплаќа со веројатност од еден од n и игра n tпатипати. Тогаш, за поголема вредност, на n (на пр. милион) [[веројатност]]а дека коцкароткомарџијата нема да добие ништо е отприлика 1⁄''e''.
 
Ова е пример од [[Бернулиеви обиди|Бернулиевите обиди]]. Секој пат кога коцкароткомарџијата ќе се реши да игра, шансата за добивка е еден во милион. Играјќи милион пати, според [[биномна прераспределбараспределба|биномната прераспределбараспределба]], која е поврзана со [[Њутнов бином|бономнатабиномната теорема]]. Веројатноста да се добие ''k'' пати од милион обиди е;
:<math>\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k(1-10^{-6})^{10^6-k}.</math>
Впрочем, веројатноста да се добие 0 пати (''k''=0) е
:<math>\left(1-\frac{1}{10^6}\right)^{10^6}.</math>
Ова е поврзано со граничјнатаграничната вредност на 1⁄''e'':
:<math>\frac{1}{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.</math>
 
=== Дисмутации ===
Друга примена на ''e'' е исто така откриена од Јакоб Бернули, но заедно со [[Пјер Рејмон де Монтмор]] и претставува проблем на [[дисмутација|дисмутации]], познат и како ''проблем на проверка на капата''.<ref>Grinstead, C.M. and Snell, J.L. [http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html ''Introduction to probability theory''] (published online under the [[GFDL]]), p. 85.</ref> Овде,''n'' гости се повикани на забава и пред вратата секој гостин ја проверува капата со домаќинот, кој потоа ги става во обележани кутии. Но, домаќинот не го знае името на гостинот, па мора да ги стави во случајно одбрани кутии. Проблемот на де Монтмор е: која е веројатноста дека ''ниту една'' од капшитекапите не е ставена во вистинската кутија. Одговорот е:
 
:<math>p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}.</math>
 
Како што бројот на гости ''n'' се движи кон бесконечност of guests tends to infinity, ''p''<sub>n</sub> се стреми кон <sup>1</sup>⁄''<sub>e</sub>''. Освен тоа, бројот на начитиначини капите да се ставени во кутиите, такашто ниту една од капите да не е ставена во вистинската кутија е точно <sup>''n''!</sup>⁄<sub>''e''</sub>, заокружено на најблискиот цел број.<ref>Knuth (1997) ''[[The Art of Computer Programming]]'' Volume I, Addison-Wesley, p. 183.</ref>
 
=== Асимптотска анализа ===
Бројот ''e'' природно се појавува во поврзаноста со многу проблеми, вклучувајќи ги и оние во [[асимптотска анализа|асимптотската анализа]]. Познат пример е [[Стирлингова формула|Стирлинговата формула]] за пресметување на [[факториел]] на многу големи броеви, во која се употребуваат и бројот ''e'' и [[пи|&pi;]]:
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n}.</math> Од ова следува дека
ООд ова следува дека
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.</math>
 
[[Слика:Ln+e.svg|рамка|десно|200px|Природниот логаритам од е, ln(e) е еднаков на 1]]
 
Основно образложение за воведување на бројот ''e'' во [[математичка анализа|математичката анализа]] е за да може да се олесни пресметувањето на [[извод]]и и [[интеграл]]и од [[експоненцијална функција|експоненцијални функции]] и [[логаритам|логаритми]].<ref>See, for instance, Kline, M. (1998) ''Calculus: An intuitive and physical approach'', Dover, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions."</ref> Типичната експоненцијална функција ''y''=''a''<sup>''x''</sup> има извод, претставен како [[граничнаАсимптотска вредност на функција|граничнаасимптотска вредност]]:
:<math>\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).</math>
ГраничнатаАсимптотската вредност на десната страна е независна од променливвата ''x'': таа зависи само од основата ''a''. Кога основата е ''e'', оваа граничнаасимптотска вредност е еднкаваеднаква на 1, па ''e'' симболички се претставува со равенството:
:<math>\frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>
 
Како последица на ова, експоненцијалнарта функција со основа ''e'' особено се применува во математичката анализа. Избирајќи го бројот ''e'', наместо некој друг број од експоненцијалчнитеекспоненцијалните функции, пресметките за добивање на извод стануваат многу полесни.
 
Друго образложение доаѓа од разгледувањето на [[логаритам]] со основа ''a'' .<ref>This is the approach taken by Klein (1998).</ref> Разгледувањето на дефиницијата за извод од ''log''<sub>a</sub>''x'' како граничнаасимптотска вредност:
:<math>\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=\frac{1}{x}\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{u}\log_a(1+u)\right),</math>
каде замената ''u'' = ''h''/''x'' е направена во последниот чекор. Последното појавување на граничнаасимптотска вредност во оваа пресметка е повторно недетерминирананеопределена граничнаасимптотска вредност, која зависи само од основата ''a'' и ако основата е ''e'', тогаш граничнатаасимптотска вредност е еднаква на 1. Симболично,
:<math>\frac{d}{dx}\log_e x=\frac{1}{x}.</math>
Логаритмот со основа ''е'' е наречен [[природен логаритам]], кој често се обележува со „ln“ и често се однесува на диференцијацијата, додека нема недетерминирана граничнаасимптотска вредност за време на пресметките.
 
Има два начини, во кои се претставува ''a''=''e''. Едниот е да се пресмета извод од експоненцијалната функција ''a''<sup>x</sup> за ''a''<sup>x</sup>. Другуиот е да есе пресмета извод од логаритам од 1/''x'' со основа ''a''. И во двата случаи доаѓа до соодветен избор на основата за пресметка на изводите.. ВсушносВсушност, овие две основи го содржат бројот ''e''.
 
=== Алтернативни карактеризирања ===
{{see also|Претставувања на e}}
Можни се и други карактеризирања на бројот ''e'': една е [[граничнаасимптотска вредност на низа|граничнатаасимптотската вредност на низа]], другата е збир од [[ред (математика)|редови]], а другите се поврзани со [[интеграл]]ите. Одамна биле воведени следните два еквиваленти:
 
1. Бројот ''e'' е единствен позитивен [[реален број]] кајза кој важи
:<math>\frac{d}{dt}e^t = e^t.</math>
 
2. Бројот ''e'' е единствен позитивен реален број кајза кој важи
:<math>\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}.</math>
 
Следните три еквиваленти карактеризираби од експоненцијлнатаекспоненцијалната функција:
 
3. Бројот ''e'' е [[граничнаасимптотска вредност]]
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>
 
:<math>e = \lim_{x\to 0} \left( 1 + x \right)^{1/x}</math>
 
[[Слика:hyperbola E.svg|мини|десно|Површината под кривата ''y'' = 1/''x'' е еднаква на 1 над интервалот 1 &le; ''x'' &le; ''e''.]]
 
4. Бројот ''e'' е збир на [[ред (математика)|редови]]
== Својства ==
=== Анализа ===
Како и во образложението, [[експоненцијална функција|експоненцијалната функција]] ''f''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup> е значајна, бидејќи е единствена нетривијална функција, која има [[извод]] еднаковнаеднаков на самата функција.
:<math>\frac{d}{dx}e^x=e^x</math>
и поради тоа нејзиниот [[неопределен интеграл]] е:
:<math> x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} </math>
 
конвергира само акпако ''e''<sup>&minus;''e''</sup> ≤ ''x'' ≤ ''e''<sup>1/''e''</sup>, според теоремата на [[Леонард Ојлер]].
 
=== Теорија на броеви ===
Реалниот број ''e'' е [[ирационален број|ирационален]] (видете [[доказ дека e е ирационален број]]) и [[трансцедентален број|трансцедентален]] ([[Линдеман-Ваерштрасова теорема]]). Тоа е првиот број за кој се докажало дека е трансцедентален без да биде разложуван за таа цел (споредбнаспоредба со [[лиувилов број|Лиувиовиот број]]); доказот бил направен од страна на [[чарлс Хермит]] во 1873. Бројот е хипотетичкии е [[нормален број|нормален]].
 
=== Комплексни броеви===
{{main|Претставувања на e}}
 
Бројот ''e'' може да биде претставен како [[реален број]] на различни начини: како [[бесконечен ред]], [[бесконечен производ]], [[бесконечна дропка]] или [[гранична вредност на низа]]. основнотоОсновното меѓу овие претставувања, делумно во воведот од [[математичка анализа|математичката анализа]] е граничната вредност
:<math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,</math>
дадена погоре, како и редот
:<math> e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, \ldots]]. \,</math>
 
Многу други редови, низи, бесконечни дропки и бесконечни прозидводипроизводи како претставувања на ''e'' биле развиени.
 
=== Стохастички претставувања===
[[Категорија:Математика]]
{{Избрана}}
 
[[ar:إي (ثابت رياضي)]]
[[an:Numero e]]