Најголем заеднички делител: Разлика помеѓу преработките

[проверена преработка][проверена преработка]
Избришана содржина Додадена содржина
Создадено преведувајќи ја страницата „Највећи заједнички делилац
 
поправки
 
Ред 2:
 
== Преглед ==
Најголемиот заеднички делител на броевите ''a'' и ''b'' се означува како НЗД(''a'', ''b''), или понекогаш поедноставно како (''a'', ''b''). На пример, НЗД(12, 18) = 6, НЗД(-4, 14) = 2 и НЗД(5, 0) = 5. Два броја се ''заемно прости'' ако нивниот најголем заеднички делител е еднаков на 1. На пример, 9 и 28 се прости.
 
Најголемиот заеднички делител е корисен за скратување на дропки. На пример, НЗД(42, 56)=14, затоа,
Ред 13:
Многу поефикасен метод е [[Евклидовиот алгоритам]], кој користи алгоритам за делење комбиниран со фактот дека НЗД на два броја ја дели и нивната разлика: ако 84 се подели со 18 се добива количник 4 и остаток 12. Потоа се дели 18 со 12 и се добива количник 1 и остаток 6. Потоа се дели 12 со 6 и добиваме остаток 0, што значи дека 6 е НЗД.
 
Ако ''a'' и ''b'' не се еднакви на нула, најголемиот заеднички делител на i''a'' и ''b'' може да се пресмета со користење на [[Најмал заеднички содржател|најмалиот заеднички именителсодржател]] (НЗС) од броевите ''a'' и ''b'':
 
: <math>\operatorname{nzd}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{nzs}(a,b)}.</math>
 
== Својства ==
 
* Секој заеднички делител на броевите ''a'' и ''b'' го дели и НЗД(''a'', ''b'').
 
* НЗД, каде што ''a'' и ''b'' не се еднакви на нула може да се дефинира алтернативно и еквивалентно како најмал позитивен цел број ''d'', кој може да се напише во облик ''d'' = ''a''·''p'' + ''b''·''q'' каде ''p'' и ''q'' се цели броеви. Овој израз се нарекува [[Идентитетот на Безу|Безуов идентитет]]. Броевите ''a'' и ''b'' може да се добијат со помош на [[Проширен Евклидов алгоритам|проширениот Евклидов алгоритам]].
 
* НЗД(''a'', 0) = |''a''|, за ''a'' ≠ 0, бидејќи секој број ја дели 0, а најголемиот делител ''a'' е |''a''|. Ова обично се користи како основен случај на Евклидов алгоритам.
 
* Ако ''a'' го дели производот ''b''·''c'', и нзд(''a'', ''b'') = ''d'', тогаш ''a''/''d'' го дели ''c''.
* Ако ''m'' е кој било цел број, тогаш нзд(''m''·''a'', ''m''·''b'') = ''m''·нзд(''a'', ''b'') и нзд(''a'' + ''m''·''b'', ''b'') = нзд(''a'', ''b''). Ако ''m'' е различно од нула, и заедничкиот делител на броевите ''a'' и ''b'', тогаш нзд(''a''/''m'', ''b''/''m'') = нзд(''a'', ''b'')/''m''.
 
* Ако е кој било цел број, тогаш нзд(''a'', ''b'', ''c'') = нзд(нзд(''a'', ''b''), ''c'') = нзд(''a'', нзд(''b'', ''c'')). Ако е различно од нула, и е заеднички делител на i, тогаш НЗДnzd.
 
* НЗД е мултипликативна функција во следнава смисла: ако ''a''<sub>1</sub> и ''a''<sub>2</sub> се заемно прости, тогаш нзд(''a''<sub>1</sub>·''a''<sub>2</sub>, ''b'') = нзд(''a''<sub>1</sub>, ''b'')·нзд(''a''<sub>2</sub>, ''b'').
 
* НЗД на три броја може да се пресмета како нзд(''a'', ''b'', ''c'') = нзд(нзд(''a'', ''b''), ''c'') = нзд(''a'', нзд(''b'', ''c'')). Затоа велиме дека НЗД е [[Асоцијативност|асоцијативна]] операција.
 
* НЗД е тесно поврзан со [[Најмал заеднички содржател|најмалиот заеднички содржател]] нзс: имаме
 
Ред 55 ⟶ 46:
 
== Поврзано ==
 
* [[Најмал заеднички именител|Најмал заеднички содржател]]
* [[Проширен Евклидов алгоритам]]
 
== Надворешни врски ==
 
* [http://www.tekpool.com/?p=56 Имплементација на НЗД во јазикот ++]
* [http://www.easycalculation.com/hcf.php Онлајн калкулатор]
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/popup.en&search=gcd Онлајн nzd калкулатор]
* [http://everything2.com/?node_id=482506 НЗД на]
 
[[Категорија:Аритметички функции]]
[[Категорија:Елементарна аритметика]]