Бројчена анализа: Разлика помеѓу преработките
| [проверена преработка] | [проверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
с Bjankuloski06 ја премести страницата Нумеричка анализа на Бројчена анализа |
с Јазично подобрување, replaced: нумеричка → бројчена (24), Нумеричка → Бројчена (8) |
||
Ред 1:
'''Бројчена анализа''' ('''
Еден од најраните математички написи е Вавилонската плоча од Вавилонската колекција во Јеил (од 1800г. -1600г. п.н.е.) која дава нумерички апроксимации (приближувања) на <math>\sqrt{2}</math> како должина на дијагоналата во единечен [[квадрат]] во [[броен систем]] со основа 60.
Од исклучително значење е да може да се пресметаат страните на еден [[триаголник]], а со тоа да може да се пресметаат и квадратни корени.
Ова е од големо значење во областа на астрономијата, столаријата и градежништвото.
<gallery widths="300" heights="300">
Податотека:Ybc7289-bw.jpg|Слика1:Вавилонската глинена плоча од вавилонската колекција Јеил (од 1800 г.п.н.е.до 1600 г.п.н.е.) за приближување на корен од два со четири шеесетични цифри, што одговара на точност од околу шест децимални цифри, 1 + 24/60 + 51/60<sup>2</sup> + 10/60<sup>3</sup> = 1,41421296 ...
</gallery>
Слично како Вавилонската апроксимација за <math>\sqrt{2} </math> , модерната
Обичните диференцијални равенки се појавуваат во небесната механика (планети, ѕвезди и галаксии),
Пред појавата на современите компјутери, бројчените методи често зависеле од рачна интерполација на големи печатени табли. Наместо тоа од средината на 20 век компјутерите почнале да ги пресметуваат потребните функциски вредности. Меѓутоа интерполационите формули сепак продолжуваат да се користат како дел од софтверот за решавање на диференцијални равенки.
== Општ вовед==
Општата цел во полето на
* Напредните нумерички методи се од суштинско значење за временските предвидувања да бидат нумерички изводливи
* Пресметување на траекторијата на вселенското летало бара прецизни нумерички решенија на системи од обични диференцијални равенки.
* Автомобилските компании можат да ја подобрат безбедноста на нивните возила од сообраќајни несреќи со користење на компјутерски симулации на истите. Симулациите во суштина се состојат од нумеричко решавање на парцијални диференцијални равенки.
* Приватните инвестициски фондови користат алатки од сите области на
* Авионските линии користат софистицирани алгоритми за оптимизација при донесување на одлуките за цените на билетите, авионите и членовите на екипажот, како и потребите за гориво. Историски гледано, такви алгоритми се развиени во рамките на областите кои се преклопуваат со операционите истражувања.
* Осигурителните компании користат нумерички програми за статистички анализи.
=== Историја ===
Областа на
За да се олеснат рачните пресметки, големите книги биле произведени со додатоци на формули и табели на податоци, како што се интерполација на точки и коефициенти на функции.
Користењето на овие табели кои се често пресметани до 16 децимални места или повеќе за некои функции, можеле директно да се вклучат во веќе дадените формули и да се постигнат многу добри нумерички проценки и решенија на некои функции. Канонската работа во оваа област е дадена во книгата објавена од страна на Националниот институт за стандарди и технологија на САД, уредена од Абрамовиќ и Стегун. Тоа е книга со над 1000 страници во која се дадени и обработени голем број на најчесто користени формули и функции и нивните вредности во многу точки.
Функциските вредности веќе не се користат многу често поради појавата на модерниот компјутер, меѓутоа голем број на формули се уште можат да бидат корисни и користени.
Механичкиот калкулатор бил развиен како алатка за рачно пресметување. Овие калкулатори еволуирале во електронските компјутери во 1940 година, а потоа било откриено дека овие компјутери можат да бидат користени и за административни цели. Пронаоѓањето на компјутерите влијаело во областа на
=== Директни и итеративни методи===
Директните методи го пресметуваат решението на еден проблем во конечен број чекори. Овие методи даваат прецизен одговор, кога би биле изведени во аритметика на бесконечна прецизност. Како пример за такви методи можат да се наведат Гаусовата елиминација, метод на QR-факторизација за решавање на систем на линеарни равенки и симплекс методот на линеарно програмирање. Во пракса се користи конечна прецизност и резултат е апроксимација на вистинското решение.
Ред 59:
Од оваа табела можеме да заклучиме дека решението е помеѓу 1.875 и 2.0625. Решение може да биде било кој број во тој опсег со грешка помала од 0.2.]]
За разлика од директните методи кај итеративните методи не се очекува да завршат во конечен број чекори. Почнувајќи од почетно приближување, итеративните методи формираат сукцесивна апроксимација која конвергира до прецизното решение единствено во границата на однапред зададена точност. Тестот на конвергенција кој обично опфаќа остаток, се специфицира за да се одреди кога е најдено доволно прецизно решение. Дури кога би се користела и аритметика на бесконечна прецизност овие методи не би дошле до решение во конечен број чекори. Примерите ги опфаќаат Њутновиот метод, метод на преполовување и Јакобиевата итерација. Во компјутерската матрична алгебра, итеративните методи се генерално неопходни за решавање на големи проблеми.
Итеративните методи почесто се среќаваат отколку директните методи во
=== Дискретизација===
Континуираните проблеми понекогаш мора да се заменат со дискретни проблеми чие решение е познато, за да тоа решение се апроксимира на континуиран проблем. Овој процес се нарекува дискретизација. Еден пример за дискретизација е кога решението на диференцијална равенка, кое е функција, треба да биде претставено со ограничен број податоци, на пример преку нејзината вредност во ограничен број на точки како нејзин домен, иако вистинскиот домен е интервал, т.е. континуирано множество вредности.
==== Дискретизација и
Пример:Во двочасовна трка, ќе се мери брзината на автомобилот во три временски моменти и податоците се евидентирани во следната табела
{| class="wikitable"
Ред 70:
| '''км/ч'''|| 140|| 150|| 180
|}
Ако се направи дискретизација, би требало да каже дека брзината на автомобилот била константна од 0:00 до 0:40, а потоа од 0:40 до 1:20 и конечно од 1:20 до 2:00. На пример, вкупното растојание во првите 40 минути е апроксимативно околу (2/3 h × 140 км/ч) = 93.3 км. Ова ќе ни овозможи да се процени вкупното поминато растојание како што е 93.3 км +100 км + 120 км = 313.3 км, што е пример за
== Генерирање и ширење на грешки==
При решавање на многу практични проблеми, теориската математика може да докаже дека постои решение или дека е единствено, ама не и да даде постапка со која се доаѓа до тоа решение. Затоа
Во софтверското инженерство најчесто се користат итеративни постапки, чие решение се приближува до точното, но заради конечниот број на повторувања секогаш отстапува од точното. Отстапувањето на приближното решение од точното решение претставува грешка која може да биде:
# апсолутна грешка
# релативна грешка
# грешка на приближните вредности на функцијата и сл.
Грешките се јавуваат заради
# грешка од заокружување
# методска грешка
# системска грешка
Проучувањето на формите на грешките е значаен дел од
=== Заокружување===
Ред 92:
Горе е спомнато дека доаѓа до грешка од скратување кога апроксимираме математичка постапка. Познато е дека за прецизна интеграција на функција неопходно е да се најде збирот на бесконечен број трапезоиди. Но, во пракса меѓутоа можно е да се најде сумата (збирот) само на конечен број на трапезоиди, а со тоа да се приближиме кон точната вредност на интегралот.
Слично на тоа, за да се најде извод на функцијата, диференцијалниот елемент се приближува кон нула, но нумерички може да се избере само ограничена вредност на диференцијалниот елемент.
===
Заедно и оригиналниот проблем и алгоритмот се користат да се реши проблем кој може да биде добро условен и/или лошо условен и секоја од овие комбинации може да биде возможна.
Значи еден алгоритам кој решава добро условен проблем може да биде нумерички стабилен или нестабилен. Уметноста на
(приближување) на х<sub>1</sub> кон <math>\sqrt{2} </math> , на пример х<sub>1</sub>=1.4, и потоа со х<sub>2</sub>, х<sub>3</sub>, х<sub>4</sub> итн. Еден таков метод е познат како Вавилонски метод, кој е претставен како x<sub>k+1</sub>=x<sub>k</sub>/2 + 1/x<sub>k</sub>. Уште еден итеративен пристап, кој ќе го наречеме Метод Х, кој е даден со <math>x_{k+1}=(x_k^2-2)^2+x_k</math> .
Пресметани се неколку итерации од секој од методите и прикажани во табелата подолу со почетни вредности за x<sub>1</sub>=1.4 и x<sub>2</sub>=1.42.
Ред 118:
'''Добро условен проблем''': Спротивно на тоа, проценка на истата функција <math>{\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x-1)}}} </math> во близина на ''x'' = 10 е добро условен проблем. На пример, ''f(10) = 1/9 ≈ 0.111 и f(11) = 0.1'': скромна промена на х води до скромна промена во ''f(x).''
Доколку користиме компјутер којшто поддржува само четири значајни децимални цифри (после децималната точка), тоа може да претставува добар пример за губење на значајните децималните места коешто може да се увиди преку овие две еквивалентни функции:
Ред 139:
Примерот претставува модификација превземена од Mathew;Numerical methods using Mathlab 3rd (трето издание).
== Области на проучување==
Полето на
=== Пресметување вредности на функции ===
Еден од наједноставните проблеми е пресметување на функција во дадена точка. Наједноставен пристап е само додавање на број во формула меѓутоа понекогаш тој пристап не е ефикасен. За полиноми, подобар пристап е користење на Хорнеровата шема бидејќи таа ги редуцира бројот на множења и собирања. Општо земено важно е да се проценат и контролираат грешките од заокружување кои произлегуваат од употребата на аритметика на подвижна точка.
Ред 172:
Полето на оптимизација се дели на неколку подобласти, во зависност од формата на функцијата на целта и од ограничувањата. На пример, линеарното програмирање е такво што функција на целта и ограничувањата се линеарни. Познат метод во линеарното програмирање е Симплекс алгоритам (метод).
Методот на Лагранжови множители може да биде користен за редуцирање на оптимизирачки проблеми со ограничување, до оптимизирачки проблеми без ограничување.
==='''
Еден од најчестите проблеми со кои се сретнуваме во
Методите на ретки мрежи се множество од нумерички техники коишто претставуваат, интегрираат или интерполираат високо димензионални функции. Тие првично биле развиени од страна на рускиот математичар Сергеј Смолак, ученик на Лазар Листерник, и тие се базираат на конструкција на “редок” тензорски производ. Компјутерските алгоритми за ефикасно имплементирање на таквите мрежи подоцна биле развиени од страна на Мајкл Грибл и Кристоф Зенгер.
=== Диференцијални равенки'''===
Парцијалните диференцијални равенки се решаваат со првата дискретизација на равенката, доведувајќи ја во конечни димензии.
Ова може да биде направено со користење на методот на конечни елементи, методот на конечни разлики или (особено во областа на инженерството) со користење на методот на конечни волумени. Ова го редуцира проблемот на решението на една алгебарска равенка. Две основни методи за нумеричко решавање на диференцијални равенки се Ојлеровата метода и фамилијата Рунге-Кута методи.
== Софтвер==
Од крајот на 20 век повеќето алгоритми од
Постојат неколку популарни нумерички компјутерски апликации како што се [[MATLAB]] , TK Solver, S-PLUS, Lab View i IDL како подобар од бесплатните и отворени алтернативни извори како што се Free MAT, Scilab, [[GNU]] Oktave, (слично како [[MATLAB]]), IT ++ ([[C++]] библиотека), [[R]] (слично на S-PLUS) и одредени варијанти на Пајтон([[Python]]). Перформансите значително варираат во голема мера: кога векторските и матричните операции се најчесто брзи, скаларните јамки може да се разликуваат по брзина од повеќе од еден ред на големина.
Многу системи за компјутерска алгебра како Mathematica имаат достапност на аритметика со произволна прецизност која што може да обезбеди повеќе точни резултати. Исто така секој софтвер за табеларни пресметувања (како MS Excel) може да се користи за решавање на едноставни проблеми поврзани со
== Трапезна и Симсонова формула во нумеричко интегрирање==
Ред 191:
Податотека:Composite trapezoidal rule illustration.png|Плоштината под функцијата f(x) означена со сино се апроксимира со плоштината на трапезите под деловите на линеарната апроксимација (означена со црвено).
</gallery>
Две основни методи на
Кај проширената трапезна формула, интервалот на интеграција [a,b] се дели на n-подинтервали со следнава ознака: а=x<sub>0</sub> < x<sub>1</sub> <....< x<sub>n</sub>=b. Во сите точки на поделба се пресметуваат вредноста на подинтегралната функција y<sub>i</sub>=f(x<sub>i</sub>), т.ш над секој подинтеграл се формира трапез со спојување на точките T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) и T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>).
Со тој трапез чијашто плоштина Pi=(x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>)(y<sub>i</sub>+y<sub>i+1</sub>)/2 се апроксимира вистинската плоштина под функцијата f(x) на тој интервал. Покрај вообичаената постапка на еквидистантна поделба, т.е x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>=(b-a)/n , со собирање на плоштината на трапезите конструирани над сите интервални поделби добиваме трапезна формула:
Ред 197:
<math>\int_{a}^{b} f(x)dx\approx\tfrac{b-a}{2n}\bigl(y_0+2y_1+2y_2+...+2y_(n-1)+y_n\bigr)</math>
Оценката на грешката со оваа
<math>E(f)=\max_{\xi \in (a,b)}\frac{(b-a)^3}{12n^3}\left\vert f''(\xi) \right\vert</math>
| |||