Интегрално сметање: Разлика помеѓу преработките

 

: <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du</math>

 

'''2. [[Интегрирање со смена на променливата]]:''' нека <math>\ F(z)</math> е примитивна за <math>\ f(z)</math> на некој интервал, а функцијата <math>\ \phi (x)</math> е диференцијабилна и определена така, што постои композицијата (составот, сложената функција):

 

: <math>\int x^{-1}\,dx = \int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C</math>

 

* '''[[Експоненцијална функција]]:'''

: <math>\int \frac{dx}{1 + x^2} = \operatorname{arctg}x + C</math>

 

 

: <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm k^2}} = \ln \left|x + \sqrt{x^2 \pm k^2}\right| + C</math>

== Примери ==

Основната задача при решавањето на интегралите е со помош на разни трасформации на подинтегралните функции и секако со помош на двете основни правила за интегрирање, тие да се сведат до таблични интеграли. Меѓутоа оваа постапка не секогаш е куса, лесна и очигледна.

 

* Да се пресмета: <math>I = \int \ln x\,dx</math>

 

Значи: <math>\int \ln x\,dx = x (\ln x - 1) + C</math>

 

* Да се пресмета: <math>I = \int \operatorname{tg}x\,dx</math>

 

* Множеството <math>\ T = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}</math> составено од точки од интервалот <math>\ [a,b]</math> за кои е исполнето: <math>\ a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b</math> се нарекува '''разбивање''' или '''поделба''' на интервалот <math>\ [a,b]</math>

* За секое разбивање <math>\ T</math> определуваме:

:: <math>\ \Delta x_i = x_{i+1} - x_i</math>

 

* <math>\ u_i = \sup_{} \{f(x) | x \in [x_i,x_{i+1}] \} = M_i</math>, односно:

* <math>\ u_i = \inf_{} \{f(x) | x \in [x_i,x_{i+1}] \} = m_i</math>,

 

 

* <math>S(T) = \sum_{i=0}^{n-1} M_i \Delta x_i</math> и

* <math>s(T) = \sum_{i=0}^{n-1} m_i \Delta x_i</math>

 

* Ако изводите на функциите <math>\ u(x), v(x)</math> се непрекинати во секоја точка од <math>\ [a,b]</math>, тогаш:

<math>\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x)|_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx</math>

 

* Ако <math>\ \phi:[a,b] \rightarrow [c,d]</math> има непрекинат извод во секоја точка од <math>\ [a,b]</math>, а <math>\ f:[c,d] \rightarrow \mathbb{R}</math> е непрекината во секоја точка од <math>\ [c,d]</math>, тогаш:

 

За определениот интеграл важат некои од својствата на неопределениот интеграл. Но, најпрво, подинтегралната функција мора да биде ''интеграбилна'', т.е. определениот интеграл кој го пресметуваме да постои во множеството на [[Реален број|реални броеви]]. Доволен услов таа да биде интеграбилна е да биде [[Непрекинатост|непрекината]] во секоја точка од интервалот. Дополнително, ако функцијата е интеграбилна на интервал, тогаш е интеграбилна на секој негов подинтервал.

 

* Нека <math>\ f</math> е интеграбилна на <math>\ [a,b]</math>, тогаш:

 

бројно ја определува плоштината на криволинискиот трапез ограничен со <math>\ x</math>-оската, правите <math>\ x=a</math> и <math>\ x=b</math> и кривата <math>\ y=f(x)</math>.

 

Од друга страна, со математичка манипулација, со помош на определен интеграл може да се пресмета должина на произволна крива определена со графикот на подинтегралната функција, т.е. да се пресмета ''должината'' на графикот на одредена функција. Ако функцијата <math>\ f</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math>, тогаш должината на нејзиниот график почнувајќи од точката <math>\ (a,f(a))</math> и завршувајќи во точката <math>\ (b,f(b))</math> изнесува:

 

<math>\ L_{[a,b]} = \int_a^b \sqrt[]{1 + (f'(x))^2}\,dx</math>

 

Исто така, на сличен начин се пресметуваат и волумен и плоштина на ротациони тела. Така волуменот што го зафаќа телото кое ротира околу <math>\ x</math>-оската и е ограничено со правите <math>\ x=a</math> и <math>\ x=b</math> и кривата <math>\ y=f(x)</math> бројно е определен како:

 

Значи плоштината на криволинискиот триаголник изнесува точно ''единица''.

 

* '''Должина на график на функција'''

 

Значи должината на графикот на функцијата на посочениот интервал е ''четиринаесет третини''.

 

* '''Волумен на ротационо тело'''

 

Значи волуменот на телото на посочениот интервал изнесува <math>\ \pi</math>-''единици''

 

* '''Плоштина на ротационо тело'''

 

Следи:

 

<math>S = 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt = 2\pi \int_1^e \frac{1+t^2}{\sqrt{1+t^2}}\,dt =</math>

* [http://pmfweb.pmf.ukim.edu.mk/mediawiki/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%84._%D0%B4%D1%80._%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D1%82%D0%B0_%D0%A8%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8 Шекутковски, Никита]: ''Математичка анализа I'', Просветно Дело, Скопје, 1996

* Apsen, Boris: ''Repetitorij više matematike, drugi dio'' - Četvrto izdanje, Tehnička knjiga, Zagreb, 1966

 

{{Избрана}}