Разлика помеѓу преработките на „Векторски простор“

с
→‎top: Правописна исправка, replaced: Често пати → Честопати
с (Замена на застарена математичка синтакса согласно mw:Extension:Math/Roadmap)
с (→‎top: Правописна исправка, replaced: Често пати → Честопати)
'''[[Вектор]]скиот простор''' во основа е всушност [[множество]] во чии рамки елементите задоволуваат одредени својства. Ова е еден од основните концепти на [[виша математика|вишата математика]]. Со неговото воведување возможно е теоретски да се решат голем број проблеми, а како најбитно се овозможува димензионална апстракција - да се погледне „преку“ третата димензија (односно максималниот број на просторни димензии кои човековиот мозок може сетилно да ги разграничи). Иако неговата дефиниција и теориска разработка лежи во [[Линеарна алгебра|линеарната алгебра]], концептот на векторски простор е многу битен и во останатите делови на [[математика]]та, а посебно во [[Аналитичка геометрија|аналитичката геометрија]].
 
Нека е дадено непразно множество <math>\ V</math> чии [[елемент (математика)|елементи]] ќе ги нaрекуваме '''вектори''' (тука настанува основната забуна: поимот [[вектор]] веќе не мора да се сфаќа како насочена [[отсечка]] од [[рамнина (математика)|рамнината]] или просторот, туку едноставно кажано сè, буквално сè што може да припаѓа на едно множество е вектор!); нека исто така ни е дадено едно [[поле]] <math>\ \mathbb{F}</math>, т.е. множество броеви кои има [[Алгебарски структури|структура на поле]], a чии пак елементи ќе ги нарекуваме '''скалари'''. Дефинираме операции: '''собирање''' <math>\ ( + )</math> на два елемента <math>\ x, y \in V</math> така што збирот <math>\ x + y \in V</math>; и '''множење со скалар''' <math>\ ( \cdot )</math>, т.е. множење на елемент <math>\ a \in \mathbb{F}</math> со елемент од <math>\ x \in V</math> така што производот <math>\ a \cdot x \in V</math>.
 
 
За множеството <math>\ V</math> се вели дека е векторски простор над полето <math>\ \mathbb{F}</math> ако и само ако се задоволени следниве осум '''[[Аксиома|аксиоми]]''', т.е. својства:
* '''С3 (постоење на нулти-вектор):''' постои <math>\ \mathbb{O} \in V</math> така што: <math>\ x + \mathbb{O} = \mathbb{O} + x = x</math>, за секој <math>\ x \in V</math>;
* '''С4 (постоење на инверзен елемент):''' за секој <math>\ x \in V</math>, постои <math>\ w \in V</math> така што <math>\ x + w = w + x = \mathbb{O}</math>;
 
* '''М1:''' <math>\ a\cdot ( x + y ) = a\cdot x + a\cdot y</math>, за секое <math>a \in \mathbb{F}</math> и секои <math>\ x, y \in V</math>;
* '''М2:''' <math>\ ( a + b ) \cdot x = a\cdot x + b\cdot x</math>, за секое <math>\ x \in V</math> и секои <math>\ a, b \in \mathbb{F}</math>;
* '''М4 (постоење на неутрален елемент):''' постои <math>\ e \in F</math> така што <math>e\cdot x = x\cdot e = x</math>, за секој <math>\ x \in V</math>;
 
Доколку се исполнети '''сите''' овие аксиоми, само тогаш <math>\ V</math> е векторски простор и тогаш пишуваме: <math>V = V(\mathbb{F})</math> (читај: „V над F“ или „V е векторски простор над полето F“). Често патиЧестопати наместо ''векторски простор'' се вели само ''простор''. Ако полето на просторот е полето [[реален број|реални броеви]] <math>\ \mathbb{R}</math>, тогаш за просторот велиме дека е ''реален (векторски) простор'', а ако полето на просторот е полето [[комплексен број|комплексни броеви]] <math>\ \mathbb{C}</math>, тогаш за просторот велиме дека е ''комплексен (векторски) простор''.
 
Примери за векторски простор се: права од просторот која минува низ [[координатен почеток|координатниот почеток]]; рамнина од просторот која минува низ координатниот почеток; целиот тридимензионален простор.