Степенување: Разлика помеѓу преработките

'''Дефиниција''': <math>b^n= \underbrace{b \times \cdots \times b}_n \, , \,\,</math> &nbsp; каде што ''n'' е позитивен [[цел број]]

*Значи, за ''n'' позитивен [[цел број]], степенување е повторно множење на ''b'' со себе ''n'' пати.

 

Ако ''n''=2, тогаш ''b''&sup2; = ''b''&middot;''b'', т.е. ''b'' на ''втори степен'' или ''b'' на ''квадрат'' е ''b'' по ''b''.

*Клучниот збор е '''на'''. Изразот ''3 на 5-ти'' значи 3⁵ = 3 &middot; 3 &middot; 3 &middot; 3 &middot; 3 = 243.

*Експонентот важи само за основата, т.е. само за бројот кој е непосредно на лево од него.

 

[[Податотека: Exponents.png|thumb|right|''f''(''x'')=''x''&sup2; (плава) е полином; ''g''(''x'')=2^''x'' (црвена) е експоненцијална функција]]

*Функција каде што променливата е експонент на основа која е позитивен реален број се вика [[експоненцијална функција]]. И оваа класа на функции се многу важни.

'''Пример:''' ''g''(''x'')=2^''x'' е експоненцијална функција (со основа 2).

 

==Експонентот е цел број==

|}

</div>

 

==Основни формули за експоненти==

<math>b^0=1\, , \,\, b \ne 0</math>

:Доказ:<ref>{{cite web|url=http://planetmath.org/introducing0thpower|title=Introducing 0th Power| publisher =Planet Math |language=англиски|accessdate=Септември 2013}}</ref> <math>b^n \cdot 1=b^n=b^{n+0}=b^n \cdot b^0 </math>

 

<div style="margin-left:15px">

|}

</div>

 

==Експонентот е рационален број (дропка)==

 

*Случајот кога и ''b''=0 и ''m''=0, т.е. 0⁰ е многу сложено со различни можни вредности (и различни математичко толкување) и посебно се разгледуваат (види [[0на0]]).

 

==Експонентот е позитивен реален број==

:<math> b^x = \lim_{r \to x} b^r\quad(r\in\mathbb Q,\,x\in\mathbb R)</math>

<!-- Тука треба нешто за кога b е негативен ирационален број... -->

 

==Експоненти и функции==

Меѓутоа, нема конзистента дефиниција за експонент (-1) кај тригонометриски функции. На пример,

:sin^-1(''x'')=arcsin(''x''), т.е. sin^-1(''x'') e инверзната функција на sin(''x'') во [[САД]] и на повеќе дигитрони или sin^-1(''x'')=¹/_sin(''x'') (во Р.М.).

 

[[Податотека: Win_calc.gif|right|frame|Степенување со Windows&reg; 7 дигитрон]]

|Резултатот е: 8

|-

|Притисни: 4 &nbsp;<span style="font-size:1.3em">{{тастер|¹/_''x''}}</span>

|Резултатот е 0,25

|}

</div>

 

==Степенување во програмирање==

* <code>x ^^ y</code>: Haskell (за рационална основа, цели бројни експоненти), D

* <code>pown x y</code>: F# (за цело бројна основа и експонент)

 

Многу програмски јазици немаат вградена синтакса за степенување, но имаат функции во нивните библиотеки.

 

Внимание: Во Bash, C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python и Ruby, Pascal, OCaml, каретата ^ означува друго, а не степенување. Треба да се води сметка за синтаксата на соодветниот јазик.

 

==Ефикасно степенување==

==Наводи==

{{наводи}}

 

==Поврзани теми==

*[[Логаритамска функција]]

 

* {{cite web|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/NauchnoOznachuvanje|title=Научно означување|last1=Стојановска|first1=Л.|year=2010|language=македонски|accessdate=ноември 2013}}

* {{cite web|url=http://www.purplemath.com/modules/exponent.htm|title=Exponents|publisher=Purple Math|last1=Staple|first1=E.|year=2013|language=англиски|accessdate=ноември 2013}} интерактивно (долу)

 

{{Нормативна контрола}}

<!--

==Complex exponents with positive real bases==

 

If ''z'' is decomposed as ''c'' + ''di'', then the formula for ''w''^''z'' can be written more explicitly as

 

This final formula allows complex powers to be computed easily from decompositions of the base into polar form and the exponent into Cartesian form. It is shown here both in polar form and in Cartesian form (via Euler's identity).

*: On the other hand, when ''x'' is an integer, the identities are valid for all nonzero complex numbers.

*: If exponentiation is considered as a multivalued function then the possible values of (−1×−1)^1/2 are {1,&nbsp;−1}. The identity holds but saying {1}&nbsp;=&nbsp;{(−1×−1)^1/2} is wrong.

* The identity (e^''x'')^''y'' = e^''xy'' holds for real numbers ''x'' and ''y'', but assuming its truth for complex numbers leads to the following [[Mathematical fallacy|paradox]], discovered in 1827 by [[Thomas Clausen (mathematician)|Clausen]]:<ref name="Clausen1827">{{cite journal |author=Steiner J, Clausen T, Abel NH |title=Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=270662 |journal=[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |volume=2 |year=1827 |pages=286–287}}</ref>

*: For any integer ''n'', we have:

On the other hand, when ''n'' is an integer, the power ''x''^''n'' is already meaningful for all values of ''x'', including negative ones. This may make the definition 0^''n''&nbsp;=&nbsp;+∞ obtained above for negative ''n'' problematic when ''n'' is odd, since in this case ''x''^''n''&nbsp;→&nbsp;+∞ as ''x'' tends to 0 through positive values, but not negative ones.

-->