Котангенсна теорема

Котангенсна теорема – во тригонометријата однос меѓу должините на страните на триаголник и котангенсите од половинките од трите агли.

Триаголник на кој е прикажана впишана кружницавпишанта кружница и поделбата на страните. Симетралите на аглите се сечат во центарот на впишаната кружница.

Според горното резонирање прикажани се сите шест дела.

Токму како што во синусната теорема трите еднаквости се еднакви на пречникот на опишаната кружница на триаголник (или нивните реципрочни вредности, зависно како теоремата е изразена), исто така котангенсната теорема се однесува кон полупречникот на впишаната кружница на триаголник спрема неговите страни и агли.

Тврдење

Користејќи го вообичаеното обележува за триаголник (види ја сликата горе десно), каде a, b, c се должините на трите страни, A, B, C се темињата спротивни на соодветните страни, α, β, γ се соодветните агли на овие темиња, s е полупериметарот, кој е, s = a + b + c2 и r е полупречник на впишаната кружница, котангенсната теорема ќе изгледа

${\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}\,$

А полупречникот на впишаната кружница е даден со

$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\,.$

Доказ

На горната слика, тангентните точки на впишаната кружница со страните на триаголникот го дела периметарот на 6 сегменти, во 3 пара. Во секој пар сегментите се со еднаква должина. На пример, двата сегмента соседни на темето A се еднакви. Ако се земе по еден сегмент од секоја пар, нивниот збир го дава полупериметарот s. Пример за ова се сегментите во боја прикажани на сликата. Двата сегмента кои ја чинат црвената линија му се додаваат на a, па синиот сегмент мора да биде со должина s − a. Очигледно, другите пет сегмента мора да имаат должини s − a, s − b, или s − c, како што е прикажано на долната слика.

Со преглед на сликата, користејќи ја дефиницијата за котангенсна функција, се добива

$\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,$

слично и за другите два агли, со што се докажува првото тврдење.

За второто—формулата за полупречник на впишана кружница—се почнува со општата формула за собирање:

$\cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.$

Применувајќи го на cot(α2 + β2 + γ2) = cot π2 = 0, се добива:

$\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right).$

(Ова исто така е троен котангенсен идентитет)

Со замена на вредностите добиени во првиот дел, се добива:

${\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.$

Множејќи со r³s се добива вредноста r², со што се докажува второто тврдење.

Некои докази со користење на котангенсната теорема

Бројни други резултати може да се изведат од котангенсната теорема.

• Херонова формула. Може да се забележи дека површината на триаголник ABC е исто така поделена на 6 помали триаголници, при што триаголниците од ист пар имаат еднаква површина. На пример, двата триаголници до темето A, како правоаголници со ширина s − a и висина r, имаат површини по 12r(s − a). Така овие два триаголници заедно имаат површина од r(s − a), а површината S на целиот триаголник е

${\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs\\[8pt]\end{aligned}}$

Ова го дава резултатот

S = √s(s − a)(s − b)(s − c)

како што се бараше.

• Молвајдеева прва формула. Од формулата за собирање и котангенсната теорема се добива

${\frac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.$

Ова го дава резултатот

${\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}$

како што се бараше.

• Молвајдеева втора формула. Од формулата за собирање и котангенсната теорема се добива

${\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}$

Тука се бара еден дополнителен чекор за да се преобрази производот во сум, согласно формулата за збир/производ.

Ова го дава резултатот

${\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}$

како што се бараше.

• Исто така од ова може да се изведе тангенсната теорема Silvester 2001, стр. 99.

Поврзано

• Синусна теорема
• Косинусна теорема
• Тангенсна теорема
• Молвајдеева формула