Википедија

Диференцијална равенка: Разлика помеѓу преработките

Интерактивен преглед на историјата
[проверена преработка][проверена преработка]
← Постаро уредувањеПоново уредување →
Избришана содржина Додадена содржина
НагледноВикитекст
Vlad5250 (разговор | придонеси)
450 уредувања
сНема опис на уредувањето
Ред 2:
[[File:Elmer-pump-heatequation.png|thumb|350px|Преглед на топлинскиот пренос во оклопот на пумпа, добиен со разрешување на [[топлинска равенка|топлинската равенка]]. [[Топлина]]та се создава во внатрешноста и се изладува на граничната површина, со што температурата се распределува во [[стационарна состојба|стационарната состојба]].]]
 
'''Диференцијална равенка''' — [[математика|математичка]] [[равенка]] што ги поврзува [[функција (математика)|функција]] со нејзините [[извод]]и. Всушност, функциите најчесто претставуваат физички величини а изводите се нивните чекори на промена, и притоа равенката го покажува заемодејството меѓу двете. Бидејќи ваквите односи се крајно чести, диеренцијалнитедиференцијалните равенки имаат важна улога во многу дисциплини како што се: [[инженерство]]то, [[физика]]та, [[економија]]та и [[биологија]]та.
 
Во [[чиста математика|чистата математика]], диференцијалните равенки се изучувани од различни гледишта, најчесто се изнаоѓаат нивните решенија, збирот на функции кои важат за равенката. Само наједноставните диференцијални равенки се решливи со експлицитни равенки, сепак, некои својства на решенијата на дадена диференцијална равенка можат да се определат без да се определи нивниот точен облик.
Ред 10:
==Историја==
 
Диференцијалните равенки првпат се појавуваат со осмислувањето на [[инфитизимално сметање|инфинитизималното сметање]] од страна на [[Исак Њутн|Њутн]] и [[Лајбниц]]. Во второто поглавје на неговото дело од 1671 година [[Метод на флуксии|"Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum"]],<ref>Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].</ref> Исак Њутн набројува три вида на диеренцијалнидиференцијални равенки:
 
:<math>
Ред 22:
тој ги разрешува овие примери со употреба на бесконечни низи и го дискутира нееднаквоста на решенијата.
 
[[Јакоб Бернули]] ја создал [[Бернулиева диеренцијалнадиференцијална равенка|Бернулиевата диеренцијалнадиференцијална равенка]] во 1695 година.<ref>{{Citation | last1=Bernoulli | first1=Jacob| title=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis | year=1695 | journal=Acta Eruditorum}}</ref> Станува збор за [[обична диеренцијалнадиференцијална равенка ]] со облик
 
: <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>
Ред 40:
На пример, во [[класична механика|класичната механика]], движето на телото е опишано со неговата местоположба и брзината како што времето се менува. [[Њутнови закони|Њутновите закони]] овозможуваат (ако се знае местоположбата, брзината, забрзувањето и различните сили кои дејствуваат на телото) да се изразат овие променливи динамички како диференцијална равенка за непознатата положба на телото како функција од времето.
 
Во некои случаи, оваа диеренцијалнадиференцијална равенка (наречена [[равенки на движење|равенка на движење]]) може да се реши експлицитно.
 
Пример за моделирање на вистинит проблем користејќи ги диференцијалните равенки е определување на брзината на топка која паѓа низ воздухот, земајќи ги во предвид само гравитацијата и отпорот на воздухот. Забрзувањето на топката кон површината е забрзувањето поради гравитацијата минус забрзувањето од отпорот на воздухот. Гравитацијата се смета за константа, а пак отпорот на воздухот може да се моделира како пропорционално зависен од брзината на топката. Ова значи дека забрзувањето на топката, кое е извод на брзината, зависи од брзината ( брзината зависи од времето). Определувањето на брзината како функција од времето вклучува разрешување на диеренцијалнадиференцијална равенка и потврдување на нејзината точност.
 
==Видови==
Диференцијалните равенки можат да се поделат на неколку видови. Покрај опишувањето на својствата на самата равенка, овие класи на диференцијални равенки можат да помогнат во изборот за пристап кон решение. Обично користените разлики вклучуваат дали равенката е: обична/парцијална, линиска/нелиниска и хомогена/нехомогена. Овој список не е исцрпен, постојат многу својства и подкласи на диференцијални равенки кои можат да бидат многу корисни определени случаи.
 
===Обични диеренцијалнидиференцијални равенки===
{{main|Обична диеренцијалнадиференцијална равенка}}
[[Обична диеренцијалнадиференцијална равенка]] е равенка која содржи функција со една [[зависна и независна променлива|независна променлива]] и нејзините изводи. Поимот „''обична''“ како спротивност на поимот [[парцијална диференцијална равенка]], која може да има повеќе од една независна променлива.
 
Линиските диференцијални равенки, кои имаат решенија кои можат да се собираат или множат со коефициенти, се добро дефинирани и разбрани, и се добиваат точно определени решенија. За споредба, ОДР кои имаат недостиг на собирни решенија се нелиниски, и нивното разрешување е доста посложено, бидејќи многу ретко можат да се определат како [[елементарна функција|елементарни функции]] во затворен облик: наместо ова, точните и аналитичките решенија на ОДР се во низа или интегрален облик. Графичките и [[нумерички методи за обични диеренцијалнидиференцијални методи|нумерички]] методи, пресметани рачно или пак комјутерски, можат да ги добијат приближните решенија за ОДР и да дадат корисна информација, и се задоволителни кога немаме точни, аналитички решенија.
 
===Парцијални диференцијални равенки===
{{main|Парцијална диференцијална равенка}}
[[Парцијална диференцијална равенка]] (''ПДР'') е диференцијална равенка која содржи непозната [[Анализа на повеќе променливи|повеќепроменлива функција]] и нивните [[парцијален извод|парцијални изводи]]. (ова е во спротивност со [[обична диеренцијалнадиференцијална равенка|обичната диеренцијалнадиференцијална равенка]], каде функцијата има една единствена променлива и единечен извод.) ПДР се користат за да се опишат проблемите кои вклучуваат ффункции со неколку променливи, и се разрешени во затворен облик, или се користат да се создаде важен [[компјутерски модел]].
 
ПДР можат да се употребат за да се опишат бројни појави како што се: [[звук]], [[топлина]], [[електростатика]], [[електродинамика]], [[динамика на флуиди]], [[еластичност (физика)|еластичност]] или [[квантна механика]]. Овие навидум различни физички појави можат да се прикажат со ПДР на сличен начин. Како што обичните диференцијални равенки честопати ги моделираат еднодимензионалните [[динамички системи]], парцијалните диференцијални равенки четопати ги моделираат [[повеќедимензионален систем|повеќедимензионалните системи]]. ПДР се воопштени во [[стохастичка парцијална диференцијална равенка|стохастичките парцијални диференцијални равенки]].
 
===Линиски диференцијални равенки===
{{Main|Линиска диеренцијалнадиференцијална равенка}}
 
[[Линиска дифференцијална равенка|Диференцијалната равенка е ''линиска'']] ако непознатата функција и нејзините изводи имаат
[[степен на поилином|''degree'']] 1 (производите на непознатата функција и нејзините изводи не се дозволени) и во спротивно се [[нелиниски систем#нелиниски диференцијални равенки|''нелиниски'']]. Карактеристичното својство на линиските равенки е дека нивните решенија образуваат [[афинов простор|афинов потпростор]] од соодветен ункциски простор, кој доведува до поразвиена теорија за линиските диференцијални равенки.
 
[[Хомогена диеренцијалнадиференцијална равенка|''Хомогени'' линиски дифференцијални равенки]] се подкласи на линиски диеренцијалнидиференцијални равенки за кои просторот на решенија е линиски потпростор т.е. збирот на секој збир на решенија или рупи на решенија е исто така решение. Коефициентите на непознатите функции и нејзините изводи кај линиската диеренцијалнадиференцијална равенка се дозволени да бидат познати функции од независна променлива или променливи, ако овие коефициенти се постојани тогаш станува збор за ''линиска диференцијална равенка со константни коефициенти''.
 
===Нелинсики диференцијални равенки===
'''Нелинсики диференцијални равенки''' се добиваат кога ''производите на непознатата функција и нејзините изводи'' се дозволени и нивниот степен е '''> '''1. Постојат многу малку методи за точно разрешување на нелиниските диференцијални равенки, тие кои се познати вообичаено се зависни од [[симетрија|симетриите]] на равенката. Нелиниските диеренцијалнидиференцијални равенки може да имаат сложено однесувае во подолги временски периоди, карактеристични за [[теорија на хаосот|хаосот]]. Дури и основниоте прашања за постоењето, уникатноста и постојаноста на решенијата за нелиниските диференцијални равенки, и добропоставеноста на проблемот со почетната и граничната вредност на нелиниските ПДР се сложени проблеми и нивното разрешување во специјални случаи се смета за значаен напредок на математичката теорија (сл. [[Навие–Стоксова суштественост и глаткост]]). Сепак, ако диференцијалните равенки се точен приказ на значаен физички процес, тогаш може да се очекува истиот да има решение.<ref>{{cite book
| last = Boyce
| first = William E.
Ред 134:
 
==Постоење на решенија==
Решавањето на диеренцијалнитедиференцијалните равенки не е исто како и решавањето на [[алгебарски равенки|алгебарските равенки]]. Не само што нивните решенија се честопати нејасни, но дали и тие се единствени или пак постојат се значајни теми од интерес.
 
За проблемте со почетна вредност од прв ред, [[Пеанова теорема|Пеановата теорема]] дава еден збир на услови според кои постои решение. За една дадена точка <math>(a,b)</math> во xy-рамнината, се дефинира некоја правоаголна област <math>Z</math>, така што <math>Z = [l,m]\times[n,p]</math> и <math>(a,b)</math> е внатрешноста на <math>Z</math>. Доколку пак имаме диференцијална равенка <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x,y)</math> и условот дека <math>y=b</math> кога <math>x=a</math>, тогаш имаме решение на овој проблем ако <math>g(x,y)</math> и <math>\frac{\partial g}{\partial x}</math> се продолжение на <math>Z</math>. Ова решение постои во определен интервал со својот центар во <math>a</math>. Решението можеби не е единствено. (Погледајте [[Обична диференцијална равенка]] за други резултати.)
Ред 154:
{{Div col|3}}
*[[Сложена диференцијална равенка]]
*[[Точна диеренцијалнадиференцијална равенка]]
*[[Функционална диеренцијалнадиференцијална равенка]]
*[[Почетен услов]]
*[[Интегрална равенка]]
*[[Нумерички методи#ДиеренцијалниДиференцијални равенки|Нумерички методи]]
*[[Пикард–Линделофова теорема]]
{{Div col end}}
Преземено од „https://mk.wikipedia.org/wiki/Диференцијална_равенка“