Википедија

Непрекинатост на функција: Разлика помеѓу преработките

Интерактивен преглед на историјата
[проверена преработка][проверена преработка]
← Постаро уредувањеПоново уредување →
Избришана содржина Додадена содржина
НагледноВикитекст
сНема опис на уредувањето
с Замена на застарена математичка синтакса согласно mw:Extension:Math/Roadmap
Ред 10:
Првата строга и прецизна дефиниција на поимот непрекинатост на функција дал францускиот математичар [[Огистен Луј Коши]]. Неговата [[дефиниција]] е првата која ја дефинира непрекинатоста независно од други математички поими:
 
Нека е даден [[интервал]] <math>\ [a,b]</math> и функција <math>\ f:[a,b] \rightarrow \Bbbmathbb{R}</math> определена (дефинирана) на него. Да избереме точка <math>\ u \in [a,b]</math>. Тогаш:
 
Фунцијата <math>\ f</math> е непрекината во точката <math>\ u \in [a,b]</math> ако <math>\forall \epsilon >0, \,\,\ </math> <math>\exists \delta >0</math> така што за секој <math>\ x \in [a,b]</math> за кој важи:
Ред 64:
D(x) =
\begin{cases}
1, & x \in \Bbbmathbb{Q} \\
-1, & x \in \Bbbmathbb{R} \setminus \Bbbmathbb{Q}
\end{cases}
</math>
Ред 73:
За функција да '''не е''' непрекината во точка <math>\ u</math> треба '''да постои''' <math>\epsilon>0</math> таков што '''за секој''' <math>\delta>0</math> за кој важи <math>\ |x-u|<\delta</math>, важи и <math>\ |D(x)-D(u)|\ge \epsilon</math>
 
'''Прв случај:''' нека <math>\ u \in \Bbbmathbb{Q}</math>, нека избереме <math>\epsilon=1</math> и нека <math>\delta>0</math> e произволно. Тогаш постои ирационална точка <math>x \in (u-\delta,u+\delta)</math> т.е. [[ирационален број]] <math>\ x</math> за кој е исполнето <math>\ |x-u|<\delta</math>. Но тогаш следи:
 
: <math>\ |D(x)-D(u)|=|1-(-1)|=2>\epsilon</math>
Ред 79:
што значи дека функцијата на Дирихле има прекин (т.е. не е непрекината) во сите рационални точки
 
'''Втор случај:''' постапката е слична како претходната: нека <math>\ u \in \Bbbmathbb{R} \setminus \Bbbmathbb{Q}</math>, нека избереме <math>\epsilon=1</math> и нека <math>\delta>0</math> e произволно. Тогаш постои рационална точка <math>x \in (u-\delta,u+\delta)</math> т.е. рационален број <math>\ x</math> за кој е исполнето <math>\ |x-u|<\delta</math>. Но тогаш следи:
 
: <math>\ |D(x)-D(u)|=|-1-1|=2>\epsilon</math>
Ред 89:
Во [[Математичка анализа|математичката анализа]] се јавува уште еден поим: ''рамномерна непрекинатост на функција''. Рамномерната непрекинатост, за разлика од непрекинатоста, е поврзана за потесна класа функции: функцијата може да е непрекината, меѓутоа да не е рамномерно непрекината. Од друга страна, обратното е секогаш точно: ако функцијата е рамномерно непрекината тогаш таа секогаш е и непрекината.
 
Нека <math>\ f:[a,b] \to \Bbbmathbb{R}</math> е реална функција определена на интервалот <math>\ [a,b]</math>. За функцијата <math>\ f</math> се вели дека е рамномерно непрекината на интервалот <math>\ [a,b]</math> ако: за секој <math>\epsilon>0</math>, постои <math>\delta>0</math> така што за сите точки <math>x^\prime, x^{\prime\prime}</math> за кои важи <math>\ |x^\prime - x^{\prime\prime}|<\delta</math> важи и <math>\ |f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|<\epsilon</math>.
 
Разликите меѓу непрекинатост и рамномерна непрекинатост се следниве:
Преземено од „https://mk.wikipedia.org/wiki/Непрекинатост_на_функција“