Разлика помеѓу преработките на „Векторски простор“

с
Замена на застарена математичка синтакса согласно mw:Extension:Math/Roadmap
(поврзница комутативност)
с (Замена на застарена математичка синтакса согласно mw:Extension:Math/Roadmap)
'''[[Вектор]]скиот простор''' во основа е всушност [[множество]] во чии рамки елементите задоволуваат одредени својства. Ова е еден од основните концепти на [[виша математика|вишата математика]]. Со неговото воведување возможно е теоретски да се решат голем број проблеми, а како најбитно се овозможува димензионална апстракција - да се погледне „преку“ третата димензија (односно максималниот број на просторни димензии кои човековиот мозок може сетилно да ги разграничи). Иако неговата дефиниција и теориска разработка лежи во [[Линеарна алгебра|линеарната алгебра]], концептот на векторски простор е многу битен и во останатите делови на [[математика]]та, а посебно во [[Аналитичка геометрија|аналитичката геометрија]].
 
Нека е дадено непразно множество <math>\ V</math> чии [[елемент (математика)|елементи]] ќе ги нaрекуваме '''вектори''' (тука настанува основната забуна: поимот [[вектор]] веќе не мора да се сфаќа како насочена [[отсечка]] од [[рамнина (математика)|рамнината]] или просторот, туку едноставно кажано сè, буквално сè што може да припаѓа на едно множество е вектор!); нека исто така ни е дадено едно [[поле]] <math>\ \Bbbmathbb{F}</math>, т.е. множество броеви кои има [[Алгебарски структури|структура на поле]], a чии пак елементи ќе ги нарекуваме '''скалари'''. Дефинираме операции: '''собирање''' <math>\ ( + )</math> на два елемента <math>\ x, y \in V</math> така што збирот <math>\ x + y \in V</math>; и '''множење со скалар''' <math>\ ( \cdot )</math>, т.е. множење на елемент <math>\ a \in \Bbbmathbb{F}</math> со елемент од <math>\ x \in V</math> така што производот <math>\ a \cdot x \in V</math>.
 
 
За множеството <math>\ V</math> се вели дека е векторски простор над полето <math>\ \Bbbmathbb{F}</math> ако и само ако се задоволени следниве осум '''[[Аксиома|аксиоми]]''', т.е. својства:
* '''С1 ([[комутативност]] на собирањето):''' <math>\ x + y = y + x</math>, за секои <math>x, y \in V</math>;
* '''С2 ([[асоцијативност]] на собирањето):''' <math>\ ( x + y ) + z = x + ( y + z )</math> за секои <math>x, y, z \in V</math>;
* '''С3 (постоење на нулти-вектор):''' постои <math>\ \Bbbmathbb{O} \in V</math> така што: <math>\ x + \Bbbmathbb{O} = \Bbbmathbb{O} + x = x</math>, за секој <math>\ x \in V</math>;
* '''С4 (постоење на инверзен елемент):''' за секој <math>\ x \in V</math>, постои <math>\ w \in V</math> така што <math>\ x + w = w + x = \Bbbmathbb{O}</math>;
 
* '''М1:''' <math>\ a\cdot ( x + y ) = a\cdot x + a\cdot y</math>, за секое <math>a \in \Bbbmathbb{F}</math> и секои <math>\ x, y \in V</math>;
* '''М2:''' <math>\ ( a + b ) \cdot x = a\cdot x + b\cdot x</math>, за секое <math>\ x \in V</math> и секои <math>\ a, b \in \Bbbmathbb{F}</math>;
* '''М3:''' <math>a\cdot (b\cdot x) = (a\cdot b)\cdot x</math>, за секое <math>\ x\in V</math> и секои <math>\ a, b \in \Bbbmathbb{F}</math>;
* '''М4 (постоење на неутрален елемент):''' постои <math>\ e \in F</math> така што <math>e\cdot x = x\cdot e = x</math>, за секој <math>\ x \in V</math>;
 
Доколку се исполнети '''сите''' овие аксиоми, само тогаш <math>\ V</math> е векторски простор и тогаш пишуваме: <math>V = V(\Bbbmathbb{F})</math> (читај: „V над F“ или „V е векторски простор над полето F“). Често пати наместо ''векторски простор'' се вели само ''простор''. Ако полето на просторот е полето [[реален број|реални броеви]] <math>\ \Bbbmathbb{R}</math>, тогаш за просторот велиме дека е ''реален (векторски) простор'', а ако полето на просторот е полето [[комплексен број|комплексни броеви]] <math>\ \Bbbmathbb{C}</math>, тогаш за просторот велиме дека е ''комплексен (векторски) простор''.
 
Примери за векторски простор се: права од просторот која минува низ [[координатен почеток|координатниот почеток]]; рамнина од просторот која минува низ координатниот почеток; целиот тридимензионален простор.
 
Познато е дека секоја точка од рамнината и просторот може да се претстави како [[Подреден пар|подредена двојка (пар)]] и подредена тројка од реални броеви соодветно. Членовите на парот, односно тројката се нарекуваат ''координати на точката''. Ако секоја точка од рамнината / просторот ја претставиме преку нејзиниот [[радиусвектор]] (кој пак ги има истите координати како и точката), и дефинираме собирање на два радиусвектора <math>\ u = ( a , b ), v = ( c , d )</math> со: <math>\ u + v = ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + b , c + d)</math> и множење со скалар со <math>\ k\cdot u = k\cdot ( a , b ) = ( k\cdot a , k\cdot b ), k \in \Bbbmathbb{F}</math>, тогаш лесно се проверува дека во однос на вака дефинираните операции множествaта од подредени двојки / тројки (односно некоја рамнина од 3D-просторот и самиот 3D-простор) се реални векторски простори. Ако пак се апстрахираме од визуелното геометриско значење на координатите на точките и воведеме: '''подредени четворки:''' <math>\ (a_1, a_2, a_3, a_4)</math>, '''подредени петорки:''' <math>\ (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)</math>, или пак за произволен природен број '''n''' воведеме '''подредена n-торка:''' <math>\ (a_1, a_2,..., a_n)</math>, а операциите ги дефинираме на потполно ист начин (збир на два вектора [две n-торки] е вектор чии координати претставуваат збир од соодветните координати на векторите [n-торките]; а производ на вектор [n-торка] со скалар е вектор [n-торка] чии координати се координатите на векторот [n-торката] помножени со скаларот), тогаш се проверува дека множеството од n-торки ги задоволува погорните аксиоми, т.е. дека тоа е векторски простор.
 
Напомена: векторскиот простор е '''затворен''' во однос на во него дефинираните операции, т.е. ако едно множество е векторски простор тогаш преку операциите не може да се „излезе од неговите граници“, т.е. не постојат вектори кои припаѓаат во просторот, а чиј збир не припаѓа во просторот, ниту таков вектор од просторот и таков скалар од полето чијшто производ не припаѓа во просторот.
= База и димензија на векторски простор =
 
Да избереме неколку вектори од векторскиот простор: <math>\ v_1, v_2,..., v_n \in V</math> и од нив да формираме множество <math>\ S</math>, т.е.: <math>\ S = \{ v_1, v_2,..., v_n \}</math>. За множеството <math>\ S</math> се вели дека е '''генератор (генераторно множество) за векторскиот простор''' <math>\ V</math> ако секој вектор од просторот може да се запише како [[Линеарна зависност|линеарна комбинација]] од векторите од множеството <math>\ S</math>, т.е. ако постојат скалари <math>\ a_1, a_2,..., a_n \in \Bbbmathbb{F}</math> такви што за произволен вектор <math>\ x \in V</math> точно е:
:<math>\ x = a_1\cdot v_1 + a_2\cdot + v_2 + ... + a_n\cdot v_n</math>
 
Бидејќи и самите потпростори се векторски простори, тие имаат база и димензија. Се јавува следнава поврзаност: потпросторот е подмножество од просторот, па соодветно: базата на потпросторот е подмножество од базата на просторот. Како точно се покажува следново; нека <math>\ dimV = n</math> и нека <math>\ W \le V</math>, тогаш:
* ако <math>\ dimW = n</math> тогаш <math>\ W = V</math>
* ако <math>\ dimW = 0</math> тогаш <math>\ W = \{ \Bbbmathbb{O} \}</math> (<math>\ W</math> го содржи само нултиот-вектор)
 
Ако <math>\ U, W \le V</math>, тогаш под збир на потпростори ќе го разбираме множеството:
46

уредувања