Множество: Разлика помеѓу преработките

Две множества се еквивалентни, ако имаат ист број елементи. Математички ова подразбира: <math>\ A</math> и <math>\ B</math> се еквивалентни ако и само ако постои [[биекција]] од множество <math>\Bbbmathbb{N}_n = \{1,2,...,n\}</math> во двете множества <math>\ A</math> и <math>\ B</math>. Бројот на елементи на едно множество се нарекува [[кардинален број]].

Во [[Аксиома|аксиоматското излагање]] на теоријата на множествата постоењето на бесконечно множество (исто како и постоењето на празно множество) е гарантирано со аксиома. Ова бесконечно множество е токму множеството [[Природен број|природни броеви]]. За него карактеристично е следново: до секој негов елемент може да се стигне именувајќи ги сите претходни, т.е. да се ''избројат'' сите природни броеви пред некој замислен природен број. Со оглед на тоа што ова множество е бесконечно (секогаш постои број ''за еден поголем'' од (потенцијално) најголемиот), тогаш за него велиме дека е '''[[бесконечно множество|бесконечно преброиво множество]]''' и неговиот кардинален број го бележиме со <math>\ \aleph_0</math> ([[алеф-нула]]). Овој [[кардинален број]], за разлика од кардиналните броеви кај конечните множества, не треба да се поистовети со природен број (во смисол како ознака на количество). Тој означува величина која иако означува количество, (условно) не можеме да ја сметаме за број. Овој кардинален број се нарекува и „мала“ или „прва бесконечност“. Уште повеќе: секое бесконечно преброиво множество има кардинален број <math>\ \aleph_0</math>. Така на пример и множеството на [[Рационален број|рационални броеви]] - <math>\Bbbmathbb{Q}</math> има кардинален број <math>\ \aleph_0</math>, иако е јасно дека има „повеќе“ рационални отколку природни броеви.

Од друга страна се покажува дека [[Реален број|множеството на реални броеви]] - <math>\Bbbmathbb{R}</math> е бесконечно, но не е преброиво, а сепак има „повеќе“ елементи од <math>\Bbbmathbb{N}</math> и <math>\Bbbmathbb{Q}</math>. Неговиот кардинален број се бележи со <math>\ c</math> и се нарекува '''континуум'''. Уште повеќе: секој конечен интервал исто така има кардинален број <math>\ c</math>. Важи и: <math>\aleph_0 < c</math>. За континуумот се вели дека е „голема“ или „втора бесконечност“.