Кружно движење: Разлика помеѓу преработките
| [непроверена преработка] | [проверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
Нема опис на уредувањето |
Нема опис на уредувањето |
||
Ред 23:
Брзината на предметот кој патува по кругот е:
:<math>v = \frac{2 \pi r}{T} = \omega r</math>
: <math />
Аголот θ во времето ''t'' е:
:<math>\theta = 2 \pi \frac{t}{T} = \omega t\,</math>
: <math />
На [[Аголно забрзување|аголна забрзување]], ''α'', на честички е:
:<math>\alpha = \frac{d\omega}{dt}</math>
: <math />
Ред 36 ⟶ 39:
Забрзување поради промена во насока е:
:<math>a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r</math>
: <math />
[[Центрипетална сила|Центрипеталната]] и [[Центрифугална сила|центрифугалната]] сила исто така, може да се најдат со користење на забрзувањето:
:<math>F_c = \dot{p} \ \overset{\dot{m} = 0}{=}\ ma = \frac{mv^2}{r}</math>
: <math />
Вектор односи се прикажани на Слика 1. Оската на ротација е прикажано како вектор '''ω''' нормално на рамнината на орбитата и со големината ω = ''d''θ / ''dt''. Насока на '''ω''' е избрана со користење на [[Правило на десна рака|правилото на десна рака.]] Со оваа конвенција за прикажување на ротација, брзината е дадена со вектор нус производ како
:<math>\mathbf{v} = \boldsymbol \omega \times \mathbf r \ ,</math>
: <math />
кој е вектор нормален и на '''ω''' и на '''r'''(''t''), тангенцијален на орбита, и на големината ω ''r''. Исто така, забрзувањето е дадена со
:<math>\mathbf{a} = \boldsymbol \omega \times \mathbf v = \boldsymbol \omega \times \left( \boldsymbol \omega \times \mathbf r \right) \ , </math>
: <math />
Ред 70 ⟶ 75:
==== Во поларни координати ====
За време на кружно движење на телото се движи на крива која може да биде опишана во [[поларен координатен систем]] како фиксен растојание ''R'' од центарот на орбита зема како основа, ориентирани во еден агол θ(''t'') од некја референта насока. Види Слика 4. Поместениот ''вектор'' <math /> е радијален вектор од основата на локацијата на честичката:
:<math>\vec{r}(t) = R \hat{u}_R(t)\ ,</math>
: <math />
Ред 76 ⟶ 82:
Брзината е временски дериват на поместувањето:
:<math>\vec{v}(t) = \frac{d}{dt} \vec{r}(t) = \frac{d R}{dt} \hat{u}_R(t) + R \frac{d \hat{u}_R}{dt} \ .</math>
: <math />
Бидејќи радиусот на кругот е константен, радијалната компонента на брзината е нула. Единичниот вектор <math /> има време-неменливи големина на единство, така што времето варира неговиот врв секогаш се наоѓа на кругот на единица радиус, со агол θ исто како и аголот на <math />. Ако честичката ротира со агол ''d''θ за време ''dt'', па и <math />, опишувајќи лак на кружницата со големина ''d''θ. Види кружницата во долниот лев агол на Слика 4. Оттука:
:<math>\frac{d \hat{u}_R}{dt} = \frac{d \theta}{dt} \hat{u}_\theta(t) \ ,</math>
: <math />
каде насоката на промена мора да биде нормално да <math /> (или, со други зборови, заедно <math />затоа што секоја промена <math /> во насока на <math /> ќе се промени големината на <math />. Знакот е позитивен, затоа што претставува зголемување во ''d''θ на објектот и <math /> се преселија во насока на <math />.
Оттука брзината станува:
:<math>\vec{v}(t) = \frac{d}{dt} \vec{r}(t) = R\frac{d \hat{u}_R}{dt} = R \frac{d \theta}{dt} \hat{u}_\theta(t) = R \omega \hat{u}_\theta(t) \ .</math>
: <math />
Забрзувањето на телото, исто така може да биде скршен во радијална и тангентна компонента. Забрзувањето е временски дериват од брзината:
:<math>\begin{align}
\vec{a}(t) &= \frac{d}{dt} \vec{v}(t) = \frac{d}{dt} \left(R \omega \hat{u}_\theta(t) \right) \\
&= R \left( \frac{d \omega}{dt} \hat{u}_\theta(t) + \omega \frac{d \hat{u}_\theta}{dt} \right) \ .
\end{align}</math>
: <math />
Временски дериват на <math />да се најде на ист начин како и за <math />. Повторно, <math /> е единица вектор и формира единица круг со агол што е π/2 + θ. Оттука, зголемување на аголот ''d''θ од <math /> имплицира <math /> траги лак на големината ''d''θ, и како <math /> е ортогонална на <math />имаме:
:<math>\frac{d \hat{u}_\theta}{dt} = -\frac{d \theta}{dt} \hat{u}_R(t) = -\omega \hat{u}_R(t)\ ,</math>
: <math />
каде негативен знак е потребно да се задржи <math /> е ортогонална на <math />. (Инаку, на аголот помеѓу <math /> и <math /> ќе ''се намали'' со зголемување на ''d''θ.) Види ја кружницата во долниот лев агол на Слика 4. Како резултат на тоа, забрзувањето е:
:<math>\begin{align}
\vec{a}(t) &= R \left( \frac{d \omega}{dt} \hat{u}_\theta(t) + \omega \frac{d \hat{u}_\theta}{dt} \right) \\
&= R \frac{d \omega}{dt} \hat{u}_\theta(t) - \omega^2 R \hat{u}_R(t) \ .
\end{align}</math>
: <math />
[[Центрипетална сила|Центрипеталното забрзување]] е радијалната компонента, која е насочена радијално навнатре:
:<math>\vec{a}_R(t) = -\omega^2 R \hat{u}_R(t) \ ,</math>
while the tangential component changes the [[Vector (geometry)#Length|magnitude]] of the velocity:
:<math>\vec{a}_\theta(t) = R \frac{d \omega}{dt} \hat{u}_\theta(t) = \frac{d R \omega}{dt} \hat{u}_\theta(t) = \frac{d \left|\vec{v}(t)\right|}{dt} \hat{u}_\theta(t) \ .</math>
: <math />
Ред 110 ⟶ 130:
==== Користење на комплексни броеви ====
Кружно движење може да се опише со користење на [[Комплексен број|комплексни броеви]]. Нека x оската е реалната оска и <math /> оска биде имагинарна оска. Положбата на телото, тогаш може да се даде како <math />, комплекс "вектор":
:<math>z = x + iy = R(\cos[\theta(t)] + i \sin[\theta(t)]) = Re^{i\theta(t)}\ ,</math>
: <math />
Ред 116 ⟶ 137:
Бидејќи радиусот е константен:
:<math>\dot{R} = \ddot R = 0 \ ,</math>
: <math />
Ред 122 ⟶ 144:
Со оваа нотација брзината станува:
:<math>v = \dot{z}
= \frac{d\left(R e^{i\theta[t]}\right)}{dt}
= R \frac{d\left(e^{i\theta[t]}\right)}{dt}
= R e^{i\theta(t)} \frac{d(i \theta[t])}{dt}
= iR\dot{\theta}(t) e^{i\theta(t)}
= i\omega R e^{i\theta(t)} = i\omega z
</math>
: <math />
и забрзување станува:
:<math>\begin{align}
a &= \dot{v} = i\dot{\omega} z + i\omega\dot{z} = \left(i\dot{\omega} - \omega^2\right)z \\
&= \left(i\dot{\omega} - \omega^2 \right) R e^{i\theta(t)} \\
&= -\omega^2 R e^{i\theta(t)} + \dot{\omega} e^{i\frac{\pi}{2}} R e^{i\theta(t)} \ .
\end{align}</math>
: <math />
Ред 135 ⟶ 169:
За патот со радиус ''r'', кога агол θ е кон надвор, на растојание кое е кон [[wiktionary:periphery|периферијата]] на орбита е ''s'' = ''r''θ. Затоа, брзина на патување околу орбитата е
:<math>v = r \frac{d\theta}{dt} = r\omega</math>
: <math />,
Ред 142 ⟶ 176:
==== Променливи кружни движења ====
Во овој случај на вектор со три забрзувања е нормален на вектор со три брзини,
:<math>\vec{u}\cdot \vec{a} = 0. </math>
: <math />
и на квадратот на соодветните забрзувања, изразена како скаларни непроменливи, исти во сите референтни рамки,
:<math>\alpha^2 = \gamma^4 a^2 + \gamma^6(\vec{u}\cdot \vec{a})^2, </math>
: <math />
станува израз за кружни движења,
:<math>\alpha^2 = \gamma^4 a^2. </math>
: <math />
или, преземање на позитивен квадратен корен и со помош на три-забрзувања, го пресметуваме соодветното забрзување за кружно движење:
:<math>\alpha = \gamma^2 \frac{v^2}{r}. </math>
: <math />
Ред 159 ⟶ 195:
==== Забрзување ====
Левата круг на Слика 2 е орбитата која ги покажува брзинските вектори во две соседни времиња. На десната страна, овие две брзини се поместуваат, па нивните опашки се совпаѓаат. Бидејќи брзината е константна, векторите на брзината на десната страна го движат кругот додека времето напредува. За агол на растојание dθ = ''ωdt'' промената на '''v''' е вектор под прав агол на '''v''' и на величина v dθ, што пак значи дека големината на забрзување е дадена со
:<math>a = v \frac{d\theta}{dt} = v\omega = \frac{v^2}{r}</math>
: <math />
Ред 319 ⟶ 356:
== Апликации ==
Решавање на апликации кои се занимаваат со нерамномерно кружно движење вклучува анализа на сила. Со рамномерно кружно движење, единствената сила која дејствува врз предмет што патува во круг е центрипеталната сила.Во нерамномерни кружни движења, постојат дополнителни сили кои дејствуваат на предметот поради не-нулта тангенцијално забрзување. Иако постојат дополнителни сили кои дејствуваат врз предметот, збирот на сите сили кои дејствуваат на објектот ќе треба да се еднакви на центрипеталната сила.
:<math>\begin{align}
F_{net} &= ma\, \\
F_{net} &= ma_r\, \\
F_{net} &= \frac{mv^2}{r}\, \\
F_{net} &= F_c\,
\end{align}</math>
: <math />
Ред 324 ⟶ 367:
Радијално забрзување се користи при пресметување на вкупната сила. Тангенцијалното забрзување не се користи при пресметувањето на вкупната сила, бидејќи тоа не е одговорно за одржување на предметот по кружна патека. Само забрзување одговорен за одржување на предметот да се движи во круг е радијалното забрзување. Бидејќи збирот на сите сили е центрипеталната сила, цртањето на центрипеталната сила во слободниот дијаграм на телото не е неопходно и обично не се препорачува.
Користејќи <math />можеме да нацртаме слободни дијаграми на телата за да ги наведеме сите сили кои дејствуваат на секој предмет, а потоа да се нацрта <math />. Потоа, може да се реши сето она што е непознато (тоа може да биде маса, брзина, радиус на кривина, коефициент на триење, нормално сила, итн.). На пример, визуелниот цртеж погоре покажува предмет на врвот на полукругот кој би бил изразен како <math>F_c = n + mg\,</math>.
Во рамномерно кружно движење, вкупно забрзување на предметна кружна патека е еднаков на радијално забрзување. Поради присуството на тангенцијалното забрзување во нерамномерно кружно движење, што повеќе не важи. За да се пронајде вкупното забрзување на предмет во нерамномерно кружно, се бара векторски збир на тангенцијалното забрзување и радијалното забрзување.
:<math>\sqrt{a_r^2 + a_t^2} = a</math>
: <math />
| |||