Разлика помеѓу преработките на „Е (број)“

Одземени 7 бајти ,  пред 1 година
поправка на правопис
(поправка на правопис)
{{lowercase}}
[[Податотека:Exp derivative at 0.svg|right|frame|''e'' е единствен број ''a'', чијашто вредност на изводот (наклонетоста на тангентата) на експоненцијалната функција ''f'' (''x'') = ''a<sup>x</sup>'' (сината крива) во точката ''x''&nbsp;=&nbsp;0 е точно 1. За споредба, функциите 2<sup>''x''</sup> (точкастата крива) и 4<sup>''x''</sup> (испрекинатата крава) се привидни; тие не се тангента на наклонетата линија во точката на ординатата со кордината 1 (црвената права).]]
'''''e''''' — [[математичка константа]], приближно еднаква на '''2.,71828''', и единствен [[реален број]], чијашто функција ''e<sup>x</sup>'' има иста вредност на [[извод|наклонот на тангентата]] за сите вредности на ''x''.<ref>Keisler, H.J. [http://www.vias.org/calculus/08_exp-log_functions_03_01.html Derivatives of Exponential Functions and the Number e]</ref> Појасно, единствените функции, кои се еднакви на сите свои [[извод]]и се во облик ''Ce<sup>x</sup>'', каде ''C'' е константа.<ref>Keisler, H.J. [http://www.vias.org/calculus/08_exp-log_functions_06_01.html General Solution of First Order Differential Equation]</ref> Функцијата ''e<sup>x</sup>'' е наречена [[експоненцијална функција]] и нејзината [[инверзна функција]] е [[природен логаритам|природниот логаритам]] или логаритам со [[основа (математика)|основа]] ''e''. Бројот ''e'' обично е дефиниран како основа на природниот логаритам (дефиницијата со примена на [[интеграл]] се користи подоцна) како [[гранична вредност на низа|гранична вредност]] на секоја [[низа]] или како збир на сите [[ред (математика)|редови]] (видете [[#Прикажување на е|прикажување на е]]).
 
Бројот ''e'' е еден од најважните броеви во математиката,<ref>{{наведена книга| title = An Introduction to the History of Mathematics | author = Howard Whitley Eves | year = 1969 | publisher = Holt, Rinehart & Winston | url = http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ&q=%22important+numbers+in+mathematics%22&dq=%22important+numbers+in+mathematics%22&pgis=1 }}</ref> паралелно со додатните и мултипликативни идентитети [[0 (број)|0]] и [[1 (број)|1]], константата [[пи|π]] и [[имагинарна единица|имагинарната единица]] ''i''.
 
== Историја ==
Првите знаци за појавата на бројот се појавиле во 1618 во табелата со додатоци од работа на логаритмите од страна на [[Џон Непер]].<ref name="OConnor">O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; ''The MacTutor History of Mathematics archive'': [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html "The number ''e''"]; University of St Andrews Scotland (2001)</ref> И покрај тоа, ова не ја содржело константата, туку едноставно листа на природни логаритми пресметани од константата. Се смета дека табелата била напишана од [[Вилијам Отред]]. „Откривањето“ на константата му се препишуваприпишува на [[Јакоб Бернули]], кој се обидел да ја најде вредноста на следниот израз (што всушност е ''e''):
 
: <math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.</math>
Првата позната примена на константата, претставена со буквата ''b'' била во дописот од [[Готфрид Лајбниц]] до [[Кристијан Хaјгенс]] во 1690 и 1691. [[Леонард Ојлер]] започнал да ја употребува буквата ''e'' за ознака на константата во 1727 година и првата употреба на буквтабуквата ''e'' била во Ојлеровата ''Механика'' (1736). Додека во следните години некои истражувачи ја употребувале буквата ''c'', буквата ''e'' била повообичаена и станала стандардна ознака на бројот.
 
== Примена ==
Еден прост пример е пресметката, која започнува со $1,00, за кој се плаќа 100% камата годишно. Ако каматата се плаќа еднаш на крајот од годината, тогаш сумата која треба да се плати е $2,00; но ако каматата се пресметува два пати во годината, сумата од еден $1 се множи два пати со 1,5, односно $1,00×1,5²&nbsp;=&nbsp;$2,25. Доколку камата се пресметува квартално, тогаш $1,00×1,25<sup>4</sup>&nbsp;=&nbsp;$2,4414…, а ако тоа се пресметува секој месец, $1,00×(1,0833…)<sup>12</sup>&nbsp;=&nbsp;$2,613035….
 
Бернули открил дека граничната вредност на низата ([[сложена камата|сложени камати]]) за сесè помали интервали расте со помал интензитет. Вкаматувањето неделно изнесува $2,692597…, додека дневно $2,714567…. Доколку бројот на интервали на вкаматувањето е ''n'', со камата од 1/''n'' во секој интервал, тогаш граничната вредност е број кој е еднаков на ''e'', односно со ''континуиранаелноконтинуиран'' раст вредноста којашто се достигнува е $2,7182818…. Поедноставно, доколудоколку вкаматувањето започувазапочнува од $1, а се враќаат (1+''R'') долари со проста камата, тогаш со континуелно вкаматување ќе се пресметаат ''e''<sup>''R''</sup> долари.
 
=== Бернулиевите обиди ===
 
=== Дисмутации ===
Друга примена на ''e'' е исто така откриена од Јакоб Бернули, но заедно со [[Пјер РејмонРемон де МонтморМонмор]] и претставува проблем на [[дисмутација|дисмутации]], познат и како ''проблем на проверка на капата''.<ref>Grinstead, C.M. and Snell, J.L. [http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html ''Introduction to probability theory''] (published online under the [[GFDL]]), p. 85.</ref> Овде,''n'' гости се повикани на забава и пред вратата секој гостин ја проверува капата со домаќинот, кој потоа ги става во обележани кутии. Но, домаќинот не го знае името на гостинот, па мора да ги стави во случајно одбрани кутии. Проблемот на деДе МонтморМонмор е: која е веројатноста дека ''ниту една'' од капите не е ставена во вистинската кутија. Одговорот е:
 
:<math>p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}.</math>
 
Како што бројот на гости ''n'' се движи кон бесконечност, ''p''<sub>n</sub> се стреми кон <sup>1</sup>⁄''<sub>e</sub>''. Освен тоа, бројот на начини капите да се ставени во кутиите, такаштотака што ниту една од капите да не е ставена во вистинската кутија е точно <sup>''n''!</sup>⁄<sub>''e''</sub>, заокружено на најблискиот цел број.<ref>Knuth (1997) ''[[The Art of Computer Programming]]'' Volume I, Addison-Wesley, p. 183.</ref>
 
=== Асимптотска анализа ===
Основно образложение за воведување на бројот ''e'' во [[математичка анализа|математичката анализа]] е за да може да се олесни пресметувањето на [[извод]]и и [[интеграл]]и од [[експоненцијална функција|експоненцијални функции]] и [[логаритам|логаритми]].<ref>See, for instance, Kline, M. (1998) ''Calculus: An intuitive and physical approach'', Dover, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions."</ref> Типичната експоненцијална функција ''y''=''a''<sup>''x''</sup> има извод, претставен како [[Асимптотска вредност на функција|асимптотска вредност]]:
:<math>\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).</math>
Асимптотската вредност на десната страна е независна од променливвата[[променлива]]та ''x'': таа зависи само од основата ''a''. Кога основата е ''e'', оваа асимптотска вредност е еднаква на 1, па ''e'' симболички се претставува со равенството:
:<math>\frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>
 
Како последица на ова, експоненцијалнартаекспоненцијалната функција со основа ''e'' особено се применува во математичката анализа. Избирајќи го бројот ''e'', наместо некој друг број од експоненцијалните функции, пресметките за добивање на извод стануваат многу полесни.
 
Друго образложение доаѓа од разгледувањето на [[логаритам]] со основа ''a'' .<ref>This is the approach taken by Klein (1998).</ref> Разгледувањето на дефиницијата за извод од ''log''<sub>a</sub>''x'' како асимптотска вредност:
:<math>\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=\frac{1}{x}\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{u}\log_a(1+u)\right),</math>
каде замената ''u'' = ''h''/''x'' е направена во последниот чекор. Последното појавување на асимптотска вредност во оваа пресметка е повторно неопределена асимптотска вредност, која зависи само од основата ''a'' и ако основата е ''e'', тогаш асимптотска вредност е еднаква на 1. Симболично,
Логаритмот со основа ''е'' е наречен [[природен логаритам]], кој често се обележува со „ln“ и често се однесува на диференцијацијата, додека нема недетерминирана асимптотска вредност за време на пресметките.
 
Има два начини, во кои се претставува ''a''=''e''. Едниот е да се пресмета извод од експоненцијалната функција ''a''<sup>x</sup> за ''a''<sup>x</sup>. ДругуиотДругиот е да се пресмета извод од логаритам од 1/''x'' со основа ''a''. И во двата случаи доаѓа до соодветен избор на основата за пресметка на изводите.. Всушност, овие две основи го содржат бројот ''e''.
 
=== Алтернативни карактеризирања ===
:<math>\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}.</math>
 
Следните три еквивалентикарактеризирања карактеризираби одна експоненцијалната функција се еквивалентни:
 
3. Бројот ''e'' е [[асимптотска вредност]]
:<math>e = \lim_{x\to 0} \left( 1 + x \right)^{1/x}</math>
 
[[Податотека:hyperbola E.svg|мини|десно|Површината под кривата ''y'' = 1/''x'' е еднаква на 1 надво интервалот 1 ≤ ''x'' ≤ ''e''.]]
 
4. Бројот ''e'' е збир на [[ред (математика)|редови]]
 
=== Теорија на броеви ===
Реалниот број ''e'' е [[ирационален број|ирационален]] (видете [[доказ дека e е ирационален број]]) и [[трансцедентален број|трансцедентален]] ([[Линдеман-Ваерштрасова теорема]]). Тоа е првиот број за кој се докажало дека е трансцедентален без да биде разложуван за таа цел (споредба со [[лиувилов број|Лиувиовиот број]]); доказот бил направен од страна на [[чарлс Хермит]] во 1873. Бројот е хипотетичкиихипотетички е [[нормален број|нормален]].
 
=== Комплексни броеви ===
:<math> e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>
 
Бидејќи редот има многу значајни својства за ''e''<sup>''x''</sup> дури и кога ''x'' е [[комплексен број]], вообичаено се употребува за да се укаже на дефиницијата за ''e''<sup>''x''</sup> до комплексните броеви. Ова со Тејлоровиот ред за [[тригонометриска функцијасинус|sin]] и [[косинус|cos]] ''x'']], доведува до докажување на [[Ојлерова формула|Ојлеровата формула]]:
 
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!</math>
дадена погоре, како и редот
:<math>e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math>
даден со изведување на редот за ''e''<sup>x</sup> atза ''x''=1.
 
Можни се и други понеобични претставувања. На пример, ''e'' може да биде претставен како бесконечна дропка:
:<math> e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, \ldots]]. \,</math>
 
Многу други редови, низи, бесконечни дропки и бесконечни производи биле развиени како претставувања на ''e'' биле развиени.
 
=== Стохастички претставувања ===
| 2003 (18 септември) ||align=right| 50.100.000.000 || Шигеру Кондо и Хавиер Гурдон
|-
| 2007 (27 април) ||align=right| 100.000.000.000 || Шигеру Кондо и стивСтив Паљаруло
|}
 
Во современата [[интернет култура]], поединци и организации имаат почит кон бројот ''e''.
 
На пример, во [[IPO]] картотеката за [[Google]] , во 2004, наместо некој стандарден број на пари, компанијата ја соопшти својата намера да достигне $2,718,281,828, што се ''e'' милијарда [[долар]]и. Компанијата Google беше одговорна и за мистериозната рекламна табла <ref>[http://braintags.com/archives/2004/07/first-10digit-prime-found-in-consecutive-digits-of-e/ First 10-digit prime found in consecutive digits of e - Brain Tags<!-- Bot generated title -->]</ref> која се појави во срцето на [[Силиконска долинаДолина|Силиконската долинаДолина]], а подоцна и во [[Кембриџ, Масачусетс]]; [[Сиетл, Вашингтон]]; и [[Остин, Тексас]]. Можеше да се прочита ''{first 10-digit prime found in consecutive digits of ''e''}.com''. Решавањето на овој проблем и посетувањето на рекламираната веб -страница водело до уште поголем проблем, којшто води до [[лаборатории на Google|лабораториите на Google]], каде посетителот е повикан да поднесе резиме.<ref>{{cite news|first=Andrea|last=Shea|url=http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=3916173|title=Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle|work=NPR|accessdate=2007-06-09}}</ref> Првите 10 децимали на бројот ''e'' се 7427466391, ред што започнува и од 99-тата децимала<ref>{{нмс|first=Marcus|last=Kazmierczak|url=<!--http://www.mkaz.com/math/google/-->http://mkaz.com/math/google-billboard|title=Math : Google Labs Problems|publisher=mkaz.com|date=2004-07-29|accessdate=2007-06-09}}</ref>
 
Во друг пример, еминентниот информатичар [[Доналд Кнут]] пуштил верзија на броеви на својот програм [[METAFONT]] пристапувајќи до e. Верзиите се 2, 2.,7, 2.,71, 2.,718 итн.
 
== Наводи ==