Систем на линеарни равенки: Разлика помеѓу преработките

[проверена преработка][проверена преработка]
Избришана содржина Додадена содржина
с Бот: Промена на шаблон: Математика-никулец
дополнување
Ред 1:
{{Без извори|датум=ноември 2009}}
{{Линеарна}}
 
[[Податотека:Secretsharing-3-point.png|мини|десно|Линеарен систем со три променливи одредува множество [[рамнина|рамнини]]. Пресекот на сите рамнини е решение]]
Во [[математика]]та, секое [[множество]] [[Равенка|равенки]] на кои треба да им се најде заедничко решение се вика '''систем равенки'''.
'''Систем линеарни равенки''' – во [[математика]]та и [[линеарна алгебра|линеарната алгебра]] е множество [[линеарна равенка|линеарни равенки]] како што е:
 
: <math>
Системите равенки можат да се поделат според неколку различни критериуми:
\begin{array}{rcrcrcc}
3x_1 &+& 2x_2 &-& x_3 &=& 1 \\
2x_1 &-& 2x_2 &+& 4x_3 &=& -2 \\
-x_1 &+& \frac{1}{2}x_2 &-& x_3 &=& 0
\end{array}</math>
 
Стандарден проблем е да се утврди дали постои множество вредности за непознатите <math>x_1, x_2, x_3\,\!</math>, кое ги задоволува сите равенки истовремено и да се најде такво множество доколку постои. Постоењето на решенија зависи од равенките, но и од достапните вредности (дали се работи за [[цел број|цели броеви]], [[реален број|реални броеви]], и сл.). Системот од горниот пример има единствено решение:
* Според бројот на равенките: системите може да имаат најмалку две, а неограничено многу равенки;
* Според бројот на непознатите (променливите): системи со две или повеќе непознати;
* Според степенот на непознатите во равенките: системи [[Линеарна равенка|линеарни]], [[Квадратна равенка|квадратни]], [[Кубна равенка|кубни равенки]] итн.;
* Според решенијата (корените): системи со решение и системи без решение (противречни системи)
 
:<math>\begin{alignat}{2}
Секој од овие критериуми има уште по неколку поткритериуми.
x_1 & = & 1 \\
x_2 & = & -2 \\
x_3 & = & -2
\end{alignat}</math>
 
Системите линеарни равенки спаѓаат меѓу најстарите математички проблеми и имаат многу примени, како што се обработката на дигитални сигнали, процени, предвидувања, како и линеарно програмирање и апроксимација на нелинеарни проблеми во [[нумеричка анализа|нумеричката анализа]]. Постојат многу начини да се реши систем линеарни равенки. Меѓутоа, меѓу најефикасните се [[Гаусова постапка|Гаусовата постапка]] и [[декомпозиција на Чолески|декомпозицијата на Чолески]].
Постојат повеќе начини (методи) на решавање на системите. Важно е што сите начини секогаш даваат ист резултат. Начинот на решавање се избира најчесто да биде оној најкусиот, најисплатливиот и најлесниот, што најчесто се прави во зависност од системот. Најпознати методи за решавање системи се: метод на замена на променливата, метод на спротивни коефициенти, со помош на [[Детерминанта|детерминанти]], со помош на [[Матрица|матрици]] - ''Гаусов метод на елиминација'' и др.
 
Воопштено, систем со ''m'' линеарни равенки и ''n'' непознати се запишува на следниов начин:
{{Никулец од областа на математиката}}
: <math>
\begin{array}{rcrcccrcl}
a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& \cdots &+& a_{1n}x_n &=& b_1 \\
a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& \cdots &+& a_{2n}x_n &=& b_2 \\
&&&\vdots&&&&&\vdots \\
a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& \cdots &+& a_{mn}x_n &=& b_m
\end{array}</math>
 
каде <math>x_1,\ x_2,...,x_n</math> се непознатите, а броевите <math>a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}</math> се коефициенти на системот. Коефициентите се ставаат во матрицата на следниов начин:
: <math>
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}
 
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}
 
</math>
 
Ако секоја матрица се претстави со буква, ова станува:
: <math>A\bold{x} = \bold{b}</math>
каде ''A'' е [[матрица (математика)|матрица]] ''m''×''n'', '''x''' е [[вектор колона]] со ''n'' члена, а '''b''' е вектор колона со ''m'' члена. [[Гаус-Жорданова елиминација|Гаус-Жордановата елиминација]] се применува на сите овие системи, дури и ако коефициентите се од некое произволно [[поле (математика)|поле]].
 
Ако полето е бесконечно (како во случајот на [[реален број|реалните]] или [[комплексен број|комплексните броеви]]), можна се само следните три случаи (само еден од нив ќе биде точен) за секој даден систем линеарни равенки:
* системот нема решение (системот е противречен)
* системот има точно едно решение
* системот има бесконечно многу решенија
 
Систем со облик:
: <math>A\bold{x} = \bold{0}</math>
се нарекува ''хомоген'' систем на линеарни равенки. Множеството на сите решенија се нарекува [[нула простор]] на матрицата ''A''.
 
Во светло на многубројните горенаведени примени, развиени се неколку поефикасни алтернативи на Гаус-Жордановата елиминација за широк спектар на специјални случаи. Многу од овие подобрени алгоритми се со сложеност ''O''(''n''<sup>2</sup>). Некои од највообичаените специјални случаи се:
* За проблеми од обликот ''A'''''x''' = '''b''', каде ''A'' е симетрична [[Теплицова матрица]], може да се користи [[Левинсонова рекурзија|Левинсоновата рекурзија]] или некоја од нејзините варијации. Една од често користените варијации е [[Шурова рекурзија|Шуровата рекурзија]] која се користи [[обработка на дигитални сигнали|обработката на дигитални сигнали]].
* За проблеми од обликот ''A'''''x''' = '''b''', каде ''A'' е [[сингуларна матрица]], или скоро сингуларна, матрицата ''A'' се разложува во производ на три матрици. Матриците од левата и десната страна се леви и десни сингуларни вектори. Матрицата во средината е [[дијагонална матрица]] и содржи сингуларни вредности. Матрицата тогаш може да се инвертира со проста замена на редоследот на трите компоненти, со транспонирање на матрицата на сингуларни вектори, и земање на реципрочните вредности на дијагоналните елементи на средишната матрица. Ако која било од сингуларните вредности е многу блиску до нулата, и со тоа до сингуларноста, се поставува на нула.
 
== Литература ==
* Ayres, Frank, ''Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra'', McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.
 
== Поврзано ==
* [[Гаус-Зајделов метод]]
* [[Крамерово правило]]
* [[Метод со замена]]
 
== Надворешни врски ==
* {{mk}} [http://www.e-matematika.mk/sistem-linearni-ravenki-i-neravenki Систем линеарни равенки и неравенки] на мрежното место е-математика
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/linsolver.en Онлајн линеарен решавач]
* [http://www.elemenat.com/cyr/linjed.php Систем линеарни равенки со калкулатор]
* [http://www.egwald.com/linearalgebra/lineardifferentialequations.php Системи линеарни диференцијални равенки]
* {{fr}} [http://www.math-linux.com/spip.php?rubrique10 Решавање линеарни системи]
 
{{Нормативна контрола}}
[[Категорија:Апстрактна алгебра]]
[[Категорија:Алгебра]]
[[Категорија:Линеарна алгебра]]
[[Категорија:Равенки]]
[[Категорија:Математика]]