Разлика помеѓу преработките на „Нумеричка анализа“

Одземени 6 бајти ,  пред 3 години
(→‎Дискретизација и нумеричка интеграција: кај табелата со итеративен метод ако може да ја направите да се гледа целата)
За разлика од директните методи кај итеративните методи не се очекува да завршат во конечен број чекори. Почнувајќи од почетно приближување, итеративните методи формираат сукцесивна апроксимација која конвергира до прецизното решение единствено во границата на однапред зададена точност. Тестот на конвергенција кој обично опфаќа остаток, се специфицира за да се одреди кога е најдено доволно прецизно решение. Дури кога би се користела и аритметика на бесконечна прецизност овие методи не би дошле до решение во конечен број чекори. Примерите ги опфаќаат Њутновиот метод, метод на преполовување и Јакобиевата итерација. Во компјутерската матрична алгебра, итеративните методи се генерално неопходни за решавање на големи проблеми.
Итеративните методи почесто се среќаваат отколку директните методи во нумеричката анализа. Некои методи во принцип се директни, но обично се применуваат како итеративни на пример: GMRES (Метод за генерализација на минимални остатоци) и методот на коњугиран градиент. За овие методи бројот на чекори кои се неопходни за да се добие прецизно решение е толку голем што апроксимацијата се прифаќа исто како кај итеративната метода.
==== '''Дискретизација''' ====
Континуираните проблеми понекогаш мора да се заменат со дискретни проблеми чие решение е познато, за да тоа решение се апроксимира на континуиран проблем. Овој процес се нарекува дискретизација. Еден пример за дискретизација е кога решението на диференцијална равенка, кое е функција, треба да биде претставено со ограничен број податоци, на пример преку нејзината вредност во ограничен број на точки како нејзин домен, иако вистинскиот домен е интервал, т.е. континуирано множество вредности.
=== '''Дискретизација и нумеричка интеграција''' ===
Ако се направи дискретизација, би требало да каже дека брзината на автомобилот била константна од 0:00 до 0:40, а потоа од 0:40 до 1:20 и конечно од1:20 до 2:00. На пример, вкупното растојание во првите 40 минути е апроксимативно околу (2/3 h × 140 km/h) = 93.3 km. Ова ќе ни овозможи да се процени вкупното поминато растојание како што е 93.3 km +100 km + 120 km = 313.3 km, што е пример за нумеричка интеграција
 
'''Лошо условен проблем''': Ако ја земеме функцијата <math>f(x) = \frac{1}{(x-1)}</math>. Забележи дека f(1.1) = 10 и f(1.001) = 1000: Промената во х од помалку од 0,.1 преминува во промена во f(x) од приближно 1000. Евалуацијата на f(x) за приближно x = 1 претставува лошо условен проблем.
 
'''Добро условен проблем''': Спротивно на тоа, проценка на истата функција <math>{\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x-1)}}} </math> во близина на  ''x'' = 10 е добро условен проблем. На пример, ''f(10) = 1/9 ≈ 0.111 и f(11) = 0.1'': скромна промена на х води до скромна промена во  ''f(x).''
Горе е спомнато дека доаѓа до грешка од скратување кога апроксимираме математичка постапка. Познато е дека за прецизна интеграција на функција неопходно е да се најде збирот на бесконечен број трапезоиди. Но, во пракса меѓутоа можно е да се најде сумата (збирот) само на конечен број на трапезоиди, а со тоа да се приближиме кон точната вредност на интегралот.
Слично на тоа, за да се најде извод на функцијата, диференцијалниот елемент се приближува кон нула, но нумерички може да се избере само ограничена вредност на диференцијалниот елемент.
=== '''Нумеричка стабилност и добро поставениусловени проблеми''' ===
Нумеричката стабилност е важен поим во нумеричката анализа. Еден алгоритам се нарекува нумерички стабилен ако една грешка, без разлика како е предизвикана, не расте многу во текот на пресметувањето. Ова се случува кога проблемот е добро условен што значи дека решението се менува со мала промена на влезните податоци. Во спротивно, ако проблемот е лошо условен тогаш секоја мала грешка во влезните податоците ќе предизвикува поголема грешка во решението.
Заедно и оригиналниот проблем и алгоритмот се користат да се реши проблем кој може да биде добро условен и/или лошо условен и секоја од овие комбинации може да биде возможна.
14

уредувања