Разлика помеѓу преработките на „Нумеричка анализа“

Одземени 102 бајти ,  пред 3 години
→‎Општ вовед: Завршено е се се е убаво средено
(мали поправки)
(→‎Општ вовед: Завршено е се се е убаво средено)
Ова е од големо значење во областа на астрономијата, столаријата и градежништвото. Нумеричката анализа ја продолжува долгогодишната традиција на практичните математички пресметки (калкулации).
<gallery widths="300" heights="300">
Податотека:Ybc7289-bw.jpg|Слика1:Вавилонската глинена плоча од вавилонската колекција Јеил (од 1800 г.п.н.е.до 1600 г.п.н.е.) за приближување на корен од два со четири шеесетични цифри, што одговара на точност од околу шест децимални цифри, 1 + 24/60 + 51/60260<sup>2</sup> + 10/60360<sup>3</sup> = 1,41421296 ...
</gallery>
Слично како Вавилонската апроксимација за <math>\sqrt{2} </math> , модерната нумеричка анализа не бара точни (егзактни) одговори бидејќи точните (егзактни) одговори е најчесто невозможнo да се добијат во пракса. Наместо тоа голем дел од нумеричката анализа се концентрира на добивање на приближни решенија во рамките на разумните граници на грешки.
Директните методи го пресметуваат решението на еден проблем во конечен број чекори. Овие методи даваат прецизен одговор, кога би биле изведени во аритметика на бесконечна прецизност. Како пример за такви методи можат да се наведат Гаусовата елиминација, метод на QR-факторизација за решавање на систем на линеарни равенки и симплекс методот на линеарно програмирање. Во пракса се користи конечна прецизност и резултат е апроксимација на вистинското решение.
[[Податотека:'''Директни наспроти итеративни методи'''|мини|Пр: Да се реши равенката:
3x^<sup>3</sup> + 4 = 28
за непозната вредност x.
{| class="wikitable"
! colspan="2" | Директна метода
|-
| ||3x^<sup>3</sup>+4=28
|-
| Одземете 4 ||3x^<sup>3</sup>=24
|-
| Поделете со 3 ||x^<sup>3</sup>=8
|-
| Земете кубен корен || x = 2.
|}
За итеративен метод се применува метод на преполовување f(x) = 3x^<sup>3</sup> − 24. Првичните вредности се и
a = 0, b = 3, f(a) = −24, f (b) = 57.
{| class="wikitable"
(што е случај со сите дигитални компјутери).
=== '''Грешки од отсекување и дискретизација''' ===
Грешките од отсекување се појавуваат тогаш кога еден итеративен метод ќе заврши или математичката постапка се апроксимира, и приближното решение се разликува од точното решение. Слично на тоа дискретизацијата вклучува дискретизациона грешка затоа што решението на дискретен проблем не се совпаѓа со решението на континуиран проблем. На пример, во итерацијата прикажана на горниот пример за да се пресмета решението на равенката 3х^<sup>3</sup>+4=28, после 10 или повеќе итерации се заклучува дека се добива грубо решение на пример (1.99) . Со тоа имаме грешка од отсекување која изнесува 0.01.
Откако една грешка се генерира таа се зголемува низ целата пресметка. Повторно за пример да ја истакнеме операцијата собирање (,,+,, на калкулатор или компјутер) за која веќе имаме спомнато дека не е прецизна, од тука следува дека и пресметката од видот a+b+c+d+e е уште понепрецизна.
Горе е спомнато дека доаѓа до грешка од скратување кога апроксимираме математичка постапка. Познато е дека за прецизна интеграција на функција неопходно е да се најде збирот на бесконечен број трапезоиди. Но, во пракса меѓутоа можно е да се најде сумата (збирот) само на конечен број на трапезоиди, а со тоа да се приближиме кон точната вредност на интегралот.
Заедно и оригиналниот проблем и алгоритмот се користат да се реши проблем кој може да биде добро условен и/или лошо условен и секоја од овие комбинации може да биде возможна.
Значи еден алгоритам кој решава добро условен проблем може да биде нумерички стабилен или нестабилен. Уметноста на нумеричката анализа е да се најде стабилниот алгоритам за решавање на добро поставен математички проблем. На пример, пресметувањето на <math>\sqrt{2} </math> (кој грубо изнесува 1.41421) е добро поставен проблем. Многу алгоритми го решаваат овој проблем почнувајќи со почетна апроксимација
(приближување) на х1х<sub>1</sub> кон <math>\sqrt{2} </math> , на пример х1х<sub>1</sub>=1.4, и потоа со х2х<sub>2</sub>, х3х<sub>3</sub>, х4х<sub>4</sub> итн. Еден таков метод е познат како Вавилонски метод, кој е претставен како xkX<sub>k+1</sub>=xkX<sub>k</sub>/2 + 1/xkX<sub>k</sub>. Уште еден итеративен пристап, кој ќе го наречеме Метод Х, кој е даден со <math>x_{k+1}=(x_k^2-2)^2+x_k</math> .
Пресметани се неколку итерации од секој од методите и прикажани во табелата подолу со почетни вредности за Х1Х<sub>1</sub>=1.4 и Х2Х<sub>2</sub>=1.42.
{| class="wikitable"
|-
! '''Вавилонски''' !! '''Вавилонски''' !! '''Метод X''' !! '''Метод X'''
|-
| x1x<sub>1</sub> = 1.4|| x1x<sub>1</sub> = 1.42|| x1x<sub>1</sub> = 1.4|| x1x<sub>1</sub> = 1.42
|-
| x2x<sub>2</sub> = 1.4142857...|| x2x<sub>2</sub> = 1.41422535...|| x2x<sub>2</sub> = 1.4016|| x2x<sub>2</sub> = 1.42026896
|-
| x3x<sub>3</sub> = 1.414213564...|| x3x<sub>3</sub> = 1.41421356242...|| x3x<sub>3</sub> = 1.4028614...|| x3x<sub>3</sub> = 1.42056...
|-
| || || ...|| ...
|-
| || || x1000000x<sub>1000000</sub> = 1.41421...|| x28x<sub>28</sub> = 7280.2284...
|}
Може да се воочи дека вавилонскиот метод конвергира бргу без оглед на почетната вредност, додека пак Методот Х конвергира екстремно бавно со почетната вредност за х0х<sub>0</sub>=1.4 и дивергира за вредност за х0х<sub>0</sub>=1.42. Од тука Вавилонскиот метод претставува нумерички стабилен алгоритам за разлика од методот Х кој е нумерички нестабилен.
Нумеричката стабилност е зависна од бројот на значајни цифри кој што машината (компјутерот) го поддржува.
Доколку користиме компјутер кој што поддржува само четири значајни децимални цифри (после децималната точка), тоа може да претставува добар пример за губење на значајните децималните места коешто може да се увиди преку овие две еквивалентни функции:
'''Регресијата''' е исто така слична, но таа зема во предвид дека дадените податоци се непрецизни. Со оглед на некои дадени точки и мерења на вредноста на некоја функција во тие точки (со грешка) ние сакаме да се детерминира (утврди) непозната функција. Методот на најмали квадрати е еден од попопуларните методи за да се постигне оваа цел.
=== '''Решавање на равенки и систем од равенки''' ===
Друг основен проблем е пресметување на решението на дадена равенка. Два случаи најчесто се разликуваат во зависност од тоа дали равенката е линеарна или нелинеарна. На пример, равенката 2х + 5 =3 е линеарна, додека 2х^<sup>2</sup> + 5 = 3 е нелинеарна равенка.
Многу напор е вложен во развојот на методи за решавање на системи од линеарни равенки. Стандардни директни методи односно методите кои користат некои матрични разложувања се Гаусовата елиминација , LU декомпозиција (на долно триаголна матрица L и горно триаголна матрица U), Клоески разложувањe, QR разложување за неквадратни матрици. Итеративните методи како што се Јакоби методот, Гаус-Сејдел метод, последователна над-релаксација и методот на коњугиран градиент најчесто се користат за поголеми системи.
Алгоритмите за наоѓање на корени се користат за решавање на нелинеарни равенки (тие се така наречени затоа што коренот на функцијата е аргумент за кој вредноста на функцијата е нула). Ако функцијата е диференцијабилна и изводот е познат тогаш Њутновиот метод е популарен избор за решавање. Линеаризацијата е уште една техника за решавање на нелинеарни равенки.
Нумеричката анализа се занимава со пресметување на решението на диференцијални равенки, без разлика дали се обични или парцијални диференцијални равенки.
Парцијалните диференцијални равенки се решаваат со првата дискретизација на равенката, доведувајќи ја во конечни димензии.
Ова може да биде направено со користење на методот на конечни елементи, методот на конечни разлики или (особено во областа на инженерството) со користење на методот на конечни волумени. Ова го редуцира проблемот на решението на една алгебарска равенка. Две основни методи за нумеричко решавање на диференцијални равенки се Ојлеровата метода и фамилијата Рунге-Кута методи.
 
== '''Софтвер''' ==
Од крајот на 20 век повеќето алгоритми од нумеричка анализа се имплементираат во различни програмски јазици. Netlib-библиотеката содржи различни колекции на софтвер рутини за нумерички проблем, најмногу во FORTRAN и C. Комерцијалните производи имплементираат многу различни нумерички алгоритми вклучувајќи ги и IMSL и NAG библиотеките; бесплатен начин е GNU научната библиотека.
Како што најчесто во правилото на парабола, подобра апроксимација на функцијата од правецот има, така Симпсоновата формула најчесто дава поточен резултат од трапезната формула.
 
=== '''Нумеричко решавање на диференцијални равенки''' ===
Во нумеричката анализа спаѓаат и методите кои бараат нумеричко апроксимативно решение на диференцијални равенки со зададени почетни услови, т.н. ,,Кошиев проблем,,. Развиени се методи за нумеричко решавање на обични, но и парцијални диференцијални равенки.
Две основни методи се Ојлеровата метода и фамилијата Рунге-Кута методи.
14

уредувања