Диференцијално сметање: Разлика помеѓу преработките

'''Забелешка:''' во оваа статија ќе биде разработено само диференцијалното сметање на реалните функции од една променлива.

 

Основен поим во диференцијалното сметање е поимот '''извод''' (или '''деривација''') '''на функција'''. Строго математички, изводот се дефинира како однос на нараснувањето на вредноста на функцијата и нараснувањето на аргументот, кога нараснувањето на аргументот тежи кон нула. Од самата дефиниција на изводот следи дека диференцијалното сметање се сведува на пресметки со [[Гранична вредност на функција|гранични вредности (лимеси)]]. Нека <math> f(x) </math> е некоја функција и нека со <math>\Delta x </math> го означиме нараснувањето на аргументот на функцијата, а со <math>\Delta y </math> нараснувањето на вредноста на самата функција. Тогаш со граничната вредност, т.е. лимесот:

 

Ако изводот на една функција е самиот [[Непрекинатост на функција|непрекинат]] како функција, тогаш функцијата се вика '''непрекинато-диференцијабилна''' или '''глатка функција'''.

 

Најчеста ознака на изводот на функцијата <math>\ f(x)</math> е <math>\ f'(x) </math>, односно:

 

: <math>\ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}</math>

 

Основното значење на изводот се поврзува со аголот кој тангентата во фиксна точка на дадена крива го зафаќа со апсцисата (<math>x</math>-оската). Под '''тангента''' ќе ''подразбираме'' [[права]] која ја '''допира''' кривата во една точка:

 

: <math>\ y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0</math>

 

Изводот, како што го претставивме до сега, се нарекува '''прв извод на функцијата''', или '''извод од прв ред'''. Бидејќи и по првото диференцирање, добиениот израз е повторно функција, тогаш и овој израз може да се диференцира. Така добиениот израз (по второто диференцирање) се нарекува '''втор извод на функцијата''' или '''извод од втор ред''':

 

Ако пак не постои таков природен број <math>\ k</math>, тогаш се вели дека функцијата е ''бесконечно диференцијабилна'' на својата дефинициона област.

 

 

Нека <math>\ f</math> и <math>\ g</math> се произволни функции дефинирани над некое множество <math>\ X</math> така што <math>\ g(x) \neq 0, (\forall x \in X)</math> и нека <math>\ c \in X</math> е произволен број (константа). Основните правила за диференцирање се следниве:

: <math>\ f^\prime(x) = 0</math>

 

Ќе ги запишеме изводите на неколкуте најосновни функции. Имено, нивните изводи се пресметуваат според дефиницијата напишана погоре, додека пак изводот на произволна функција се пресметува со помош на правилата за диференцирање и изводите на основните функции.

 

Степенска функција се нарекува функцијата од облик <math>\ f(x) = x^p, p \in \Bbb{R}</math>. Изводот на оваа функција е:

: <math>\ (x^p)' = px^{p-1}</math>

: <math>\ (x)' = 1</math>

 

Експоненцијална функција се нарекува функцијата од облик <math>\ f(x) = a^x</math> каде што <math>\ a>0, a \neq 1, x \in \Bbb{R}</math>. Изводот на експоненцијалната функција е:

: <math>\ (a^x)' = a^x \operatorname{ln} a</math>

'''Воедно, функцијата <math>\ e^x</math> е единствена функција која има извод еднаков на самата себе.'''

 

[[Логаритам|Логаритамска функција]] се нарекува функцијата од облик <math>\ f(x) = \operatorname{log}_a x</math> каде што <math>\ a>0, a \neq 1, x>0</math>. Изводот на логаритамската функција е:

: <math>(\operatorname{log}_a x)' = \frac{1}{x} \frac{1}{\operatorname{ln} a}</math>

: <math>\ (\operatorname{ln} x)' = \frac{1}{x}</math>

 

Основни [[тригонометриски функции]] се: синус, косинус, тангенс и котангенс со ознаки: <math>\ \sin{x}, \cos{x}, \operatorname{tg} x</math> и <math>\ \operatorname{ctg} x</math> соодветно. Сите се дефинирани над целото множество реални броеви. Изводите им се следниве:

: <math>\ (\sin{x})' = \cos{x}</math>

: <math>\ (\operatorname{ctg} x)' = - \frac{1}{\sin^2{x}}</math>

 

Под одредени услови (кои овде нема да ги предочиме) може да се дефинираат [[Инверзни тригонометриски функции|функции инверзни на тригонометриските]], т.н. ''аркус'' функции. Така инверзната функција на синусот се нарекува '''аркус синус''' (<math>\operatorname{arcsin} x</math>); на косинусот - '''аркус косинус''' (<math>\operatorname{arccos} x</math>); на тангенсот - '''аркус тангенс''' (<math>\operatorname{arctg} x</math>) и на котангенсот - '''аркус котангенс''' (<math>\operatorname{arcctg} x</math>).

 

: <math>(\operatorname{arcctg} x)' = - \frac{1}{1+x^2}</math>

 

* '''Пример 3:''' да се пресмета изводот на функцијата:

: <math>\ f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x + 11</math>

:: <math>\ = \frac{1 - \operatorname{ln} x}{x^2}</math>

 

Во одредени случаи диференцирањето не може да се изврши непосредно. Тоа пред сè важи за функциите од облик:

 

: <math>f'(x) = x^x(\operatorname{ln} x + 1)</math>

 

 

Досега разгледувавме функции во кои вредноста на функцијата можеше „директно“ да се пресмета од произволно зададена вредност на променливата, односно вредноста на функцијата беше ''експлицитно'' („откриено“, „директно“) изразена. Овие функции се нарекуваат '''експлицитни функции'''.

 

== Теореми за средна вредност ==

Теоремите за средна вредност се основните теореми на диференцијалното сметање. Општо, преку нив се опишува „однесувањето“ на непрекинатата функција. Сѐ на сѐ, тука се вклучени четири теореми: Теорема на Ферма, Теорема на Рол, Теорема на Лагранж и Теорема на Коши. Поконкретно, меѓутоа, под името Теорема за средна вредност е позната Лагранжовата теорема, додека под името Проширена или Обопштена теорема за средна вредност е позната Кошиевата теорема. Околу формулацијата, значењето и доказите на теоремите, видете ја статијата [[Теореми за средна вредност]].