Разлика помеѓу преработките на „Нумеричка анализа“

sredeni formuli i dosreden tekst
(sredeni formuli i dosreden tekst)
Ако се направи дискретизација, би требало да каже дека брзината на автомобилот била константна од 0:00 до 0:40, а потоа од 0:40 до 1:20 и конечно од1:20 до 2:00. На пример, вкупното растојание во првите 40 минути е апроксимативно околу (2/3 h × 140 km/h) = 93.3 km. Ова ќе ни овозможи да се процени вкупното поминато растојание како што е 93.3 km +100 km + 120 km = 313.3 km, што е пример за нумеричка интеграција
 
'''Лошо условен проблем''': Ако ја земеме функцијата <math>f(x) = \frac{1/}{(x-1)}</math>. Забележи дека f(1.1) = 10 и f(1.001) = 1000: Промената во х од помалку од 0,1 преминува во промена во f(x) од приближно 1000. Евалуацијата на f(x) за приближно x = 1 претставува лошо условен проблем.
 
'''Добро условен проблем''': Спротивно на тоа, проценка на истата функција <math>{\displaystyle f(x) ={\frac {1/}{(x-1)}}} </math> во близина на  ''x '' = 10 е добро условен проблем. На пример,  ''f(10) = 1/9 ≈ 0.111 и  f(11) = 0.1'': скромна промена на х води до скромна промена во  ''f(x).''
 
'''Добро условен проблем''': Спротивно на тоа, проценка на истата функција
f(x) = 1/(x − 1) во близина на x = 10 е добро условен проблем. На пример, f(10) = 1/9 ≈ 0.111 и f(11) = 0.1: скромна промена на х води до скромна промена во f(x).
==== '''Генерирање и ширење на грешки''' ====
Проучувањето на формите на грешките е значаен дел од нумеричката анализа. Постојат неколку начини преку кои грешката може да биде вклучена во решението на проблемот.
Заедно и оригиналниот проблем и алгоритмот се користат да се реши проблем кој може да биде добро условен и/или лошо условен и секоја од овие комбинации може да биде возможна.
Значи еден алгоритам кој решава добро условен проблем може да биде нумерички стабилен или нестабилен. Уметноста на нумеричката анализа е да се најде стабилниот алгоритам за решавање на добро поставен математички проблем. На пример, пресметувањето на <math>\sqrt{2} </math> (кој грубо изнесува 1.41421) е добро поставен проблем. Многу алгоритми го решаваат овој проблем почнувајќи со почетна апроксимација
(приближување) на х1 кон <math>\sqrt{2} </math> , на пример х1=1.4, и потоа со х2, х3, х4 итн. Еден таков метод е познат како Вавилонски метод, кој е претставен како xk+1=xk/2 + 1/xk. Уште еден итеративен пристап, кој ќе го наречеме Метод Х, кој е даден со хк<math>x_{k+1}= (x_k^2-2)^2 +x_(k.) x_k</math> .
Пресметани се неколку итерации од секој од методите и прикажани во табелата подолу со почетни вредности за Х1=1.4 и Х2=1.42.
{| class="wikitable"
Доколку користиме компјутер кој што поддржува само четири значајни децимални цифри (после децималната точка), тоа може да претставува добар пример за губење на значајните децималните места коешто може да се увиди преку овие две еквивалентни функции:
 
<math>f(x)=x(√(\sqrt{x+1) }- √x\sqrt{x})</math> и <math>g(x)=\frac{\sqrt{x/(√(}}{\sqrt{x+1)}+√x)\sqrt{x}}</math>
 
Ако го споредиме резултатот од:
 
<math>f(500)=500(√501\sqrt{501}-√500\sqrt{500})=500(22.3830-22.3607)=500(0.0223)=11.1500</math>
 
и
 
<math>g(500)=\frac{500/(√501}{\sqrt{501}+√500)\sqrt{500}}=\frac{500/(}{22.3830+22.3607)}=\frac{500/}{44.7437}=11.1748</math>
 
се воочува дека се губат значајни цифри, кое исто така се нарекува поништување поради одземање на два многу блиски броја и има огромно влијание на резултатите иако двете функции се еквивалентни како што е покажано подолу, т.е равенството поаѓа од f(x) и завршува со g(x), така што:
 
<math>f(x)=x(√(\sqrt{x+1)}-√x\sqrt{x})=x(√(\sqrt{x+1)}-√x\sqrt{x}) (√(\frac{\sqrt{x+1)}+√x)/(√(\sqrt{x}}{\sqrt{x+1)}+√x)\sqrt{x}}=x ((√\frac{(\sqrt{x+1)})^2-(√x\sqrt{x})^2)/(√(}{\sqrt{x+1)}+√x)\sqrt{x}}=x (\frac{x+1-x)/(√(}{\sqrt{x+1)}+√x)\sqrt{x}}=x \frac{1/(√(}{\sqrt{x+1)}+√x)\sqrt{x}}=\frac{x/(√(}{\sqrt{x+1)}+√x)\sqrt{x}}</math>
 
 
Simpsons method illustration.svg|
</gallery>
Проширената Симсонова формула како и трапезната формула почнува со поделба на интервалот [ а,b] на n, не секогаш еднакви подинтервали, но овој пат на секои два подинтервали односно низ точките Ti-1(xi-1,yi-1), TITi(xi,yi) и Ti+1(xi+1,yi+1) се конструира единствена квадратна функција, чиј график е парабола.
Оваа парабола е означена со црвена боја (P(x)).
Заради тоа кај примена на Симпсоновата формула имаме дополнителен услов, бројот на подинтервали да биде парен број n. По пресметувањето на плоштините под така конструираните параболи, со нивно собирање добиваме проширена Симпсонова формула:
 
==== '''Оптимизациските проблеми често се изрази со специјална нотација ''' ====
Вредноста на минимумот и максимумот на функцијата:Да ја земеме во предвид следнава формула:<math>min_{x\in R}(x^2+1)</math>
Да ја земеме во предвид следнава формула:
min┬(x∈R)⁡(x^2+1)
 
Ова ја означува минималната вредност на функцијата на целта x2 + 1, кога се избира x од множество на реални броеви. Минималната вредност во овој случај е 1, ако x=0.
 
Слично, формулата :<math>min_{x\in R}2x</math>
max┬(x∈R)⁡2x
 
ја бара максимална вредност на функцијата на целта 2x, каде што x може да биде било кој реален број. Во овој случај нема таква максимална вредност затоа што функција на целта е неограничена, така што одговорот е ,,бесконечност,, или ,,недефиниранa вредност,,.
Да ја разгледаме следнава формула:
 
аrgmin┬(x∈<math>\arg min_{x\in (-\infty , -1] )⁡x}x^2+1</math>
 
Односно еквивалентно на:
 
arg<math>{\displaystyle \arg min┬x⁡〖min_{x}x^{2}+1} </math> , т.ш. x∈: <math>x\in (-\infty , -1] ┤〗</math>
 
Ова ја претставува вредноста (или вредностите) на аргументот x во интервалот <math>(-\infty , -1]</math> што ја минимизира (или ги минимизира) функцијата на целта x^2+1 (вистинската најмала вредност на функцијата не е она што проблемот го бара). Во овој случај одговорот е x= -1, поради тоа што x= 0 е невозможно односно не припаѓа на даденото множество. Слично,
Слично,
 
〖argmax〗┬(x∈[-5,5],y∈R)⁡〖x cos⁡(y)〗
<math>{\displaystyle \arg max_{x\in [5 ,-5],y\in R}x\cos (y)} </math>
или еквивалентно
 
〖argmax〗┬(x,y)⁡〖x cos⁡(y)〗 ; т.ш x∈[-5,5],y∈R
или еквивалентно
го претставува подредениот пар (или паровите) (x,y), кој ја максимизира (или ги максимизира) вредноста на функцијата на целта xcos(y), со зададените ограничувања х да лежи во интервалот [-5,5],
 
(повторно вистинската максимална вредност на функцијата во формулава не е важна). Во овој случај, решенијата се подредените парови (5, 2kπ) и (-5, (2k+1)π) каде што k прима вредност на цел број.
<math>{\displaystyle {\displaystyle \arg max_{x,y}x\cos(y)}} </math> ; т.ш <math>x\in [5,-5],y\in R</math>
 
го претставува подредениот пар (или паровите) (x,y), кој ја максимизира (или ги максимизира) вредноста на функцијата на целта xcos(y), со зададените ограничувања х да лежи во интервалот [-5,5],
(повторно вистинската максимална вредност на функцијата во формулава не е важна). Во овој случај, решенијата се подредените парови <math>(5, 2kπ2k\Pi)</math> и <math>(-5, (2k+1)π\Pi)</math> каде што k прима вредност на цел број.
 
==== '''Историја''' ====
29

уредувања