Разлика помеѓу преработките на „Нумеричка анализа“

Средени формули
(додадено е применета математика)
(Средени формули)
== '''Нумеричка [[анализа]]''' ==
Нумеричката анализа е област од математиката која изучува алгоритми кои користат нумерички апроксимации (за разлика од општите симболички манипулации) за задачите и проблемите на математичката анализа (која што се разликува од дискретна математика).
Еден од најраните математички написи е Вавилонската плоча од Вавилонската колекција во Јеил (од 1800г. -1600г. п.н.е.) која дава нумерички апроксимации (приближувања) на <math>\sqrt{2}</math> како должина на дијагоналата во единечен квадрат во броен систем со основа 60.
Од исклучително значење е да може да се пресметаат страните на еден триаголник, а со тоа да може да се пресметаат и квадратни корени.
Ова е од големо значење во областа на астрономијата, столаријата и градежништвото. Нумеричката анализа ја продолжува долгогодишната традиција на практичните математички пресметки (калкулации).
<gallery widths="300" heights="300">
Податотека:Ybc7289-bw.jpg|Слика1:Вавилонската глинена плоча од вавилонската колекција Јеил (од 1800 г.п.н.е.до 1600 г.п.н.е.) за приближување на корен од два со четири шеесетични цифри, што одговара на точност од околу шест децимални цифри, 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1,41421296 ...
</gallery>
Слично како Вавилонската апроксимација за корен<math>\sqrt{2} од два</math> , модерната нумеричка анализа не бара точни (егзактни) одговори бидејќи точните (егзактни) одговори е најчесто невозможнo да се добијат во пракса. Наместо тоа голем дел од нумеричката анализа се концентрира на добивање на приближни решенија во рамките на разумните граници на грешки.
Нумеричката анализа наоѓа примена во сите области на инжeнерството и физичките науки, но во 21-от век исто така наоѓа примена и во општествените науки, па дури и во уметноста постојат усвоени елементи oд нумерички пресметки.
Обичните диференцијални равенки се појавуваат во небесната механика (планети, ѕвезди и галаксии), нумеричката линеарна алгебра е важна за анализата на податоци; стохастичките диференцијални равенки и Марковите вериги се од суштинско значење во симулирањето на однесувањето на живите клетки во медицината и биологијата.
Нумеричката стабилност е важен поим во нумеричката анализа. Еден алгоритам се нарекува нумерички стабилен ако една грешка, без разлика како е предизвикана, не расте многу во текот на пресметувањето. Ова се случува кога проблемот е добро условен што значи дека решението се менува со мала промена на влезните податоци. Во спротивно, ако проблемот е лошо условен тогаш секоја мала грешка во влезните податоците ќе предизвикува поголема грешка во решението.
Заедно и оригиналниот проблем и алгоритмот се користат да се реши проблем кој може да биде добро условен и/или лошо условен и секоја од овие комбинации може да биде возможна.
Значи еден алгоритам кој решава добро условен проблем може да биде нумерички стабилен или нестабилен. Уметноста на нумеричката анализа е да се најде стабилниот алгоритам за решавање на добро поставен математички проблем. На пример, пресметувањето на <math>\sqrt{2} </math> (кој грубо изнесува 1.41421) е добро поставен проблем. Многу алгоритми го решаваат овој проблем почнувајќи со почетна апроксимација
(приближување) на х1 кон <math>\sqrt{2} </math> , на пример х1=1.4, и потоа со х2, х3, х4 итн. Еден таков метод е познат како Вавилонски метод, кој е претставен како xk+1=xk/2 + 1/xk. Уште еден итеративен пристап, кој ќе го наречеме Метод Х, кој е даден со хк+1= (x_k^2-2)2 +x_(k.) .
Пресметани се неколку итерации од секој од методите и прикажани во табелата подолу со почетни вредности за Х1=1.4 и Х2=1.42.
{| class="wikitable"
Податотека:Composite trapezoidal rule illustration.png|Плоштината под функцијата f(x) означена со сино се апроксимира со плоштината на трапезите под деловите на линеарната апроксимација (означена со црвено).
</gallery>
Еден од најчестите проблеми со кои се сретнуваме во нумеричката анализа е пресметување на вредности на ∫_а<math display="inline">\int_{a}^b▒〖{b} f(x)dx.〗</math>
Нумеричката интеграција во некои случаи е позната како нумеричка квадратура. Познатите методи користат една од Њутн-Котесови формули (како правило на средна точка или Симсоново правило) или Гаусова квадратура. Тие методи се потпираат на стратегијата ,,раздели па владеј,, , т.ш интегралот на релативно голем интервал се дели на повеќе интеграли на мали интервали.
Во случаите на голем број величини, каде тие методи се недопустливо скапи и во поглед на компјутерските барања, се приоѓа на примена на Монте-Карловиот или Квази Монте-Карловиот метод или кај умерено голем број величини, се применува методот на ретка мрежа.
Две основни методи на нумеричката интеграција се: проширената трапезна формула и проширената Симсонова формула.
Кај проширената трапезна формула, интервалот на интеграција [a,b] се дели на n-подинтервали со следнава ознака: а=x0 < x1 <....< xn=b. Во сите точки на поделба се пресметуваат вредноста на подинтегралната функција yi=f(xi), т.ш над секој подинтеграл се формира трапез со спојување на точките Ti(xi,yi) и Ti+1(xi+1,yi+1).
Со тој трапез чијашто плоштина Pi=(xi+1-xi)(yi+yi+1)/2 се апроксимира вистинската плоштина под функцијата f(x) на тој интервал. Покрај вообичаената постапка на еквидистантна поделба, т.е xi+1-xi=(b-a)/n , со собирање на плоштината на трапезите конструирани над сите интервални поделби добиваме трапезна формула:
 
со собирање на плоштината на трапезите конструирани над сите интервални поделби добиваме трапезна формула:
∫_a<math>\int_{a}^b▒〖{b} f(x)dx≈(dx\approx\tfrac{b-a)/}{2n}\bigl(y_0+2y_1+2y_2+...+2y_(n-1)+y_n\bigr)</math>
 
Оценката на грешката со оваа нумеричка апроксимација е дадена со :
 
<math>E(f)=max┬(℥ϵ\max_{\xi \in (a,b))⁡〖〖}\frac{(b-a)^3/〖}{12n^3}\left\vert 〗 |f^''(,,\xi) (℥)|\right\vert</math>
<gallery>
Simpsons method illustration.svg|
Оваа парабола е означена со црвена боја (P(x)).
Заради тоа кај примена на Симпсоновата формула имаме дополнителен услов, бројот на подинтервали да биде парен број n. По пресметувањето на плоштините под така конструираните параболи, со нивно собирање добиваме проширена Симпсонова формула:
∫_a^b▒〖f(x)dx≈(b-a)/3n〗[y_0+4y_1+2y_2+4y_3 y+2y_4+⋯+4y_(n-1)+y_n]
 
 
∫_a<math>\int_{a}^b▒〖{b} f(x)dx≈(dx\approx\frac{b-a)/}{3n}[y_0+4y_1+2y_2+4y_3 y+2y_4+...+4y_(n-1)+-y_n]</math>
 
Оценката на грешката на проширената Симпсонова формула е дадена со изразот:
 
E(f)=max┬(℥ϵ(a,b))⁡〖〖(b-a)〗^5/〖180n〗^4 〗 |f^((4) ) (℥)|
<math>E(f)=\max_{\xi \in (a,b)}\frac{(b-a)^5}{180n^4}\left\vert f^4(\xi) \right\vert</math>
Како што најчесто во правилото на парабола, подобра апроксимација на функцијата од правецот има, така Симпсоновата формула најчесто дава поточен резултат од трапезната формула.
29

уредувања