Бројчена анализа: Разлика помеѓу преработките
| [непроверена преработка] | [проверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
Нема опис на уредувањето |
|||
Ред 179:
== Нумеричко интегрирање ==
<gallery>
Composite trapezoidal rule illustration.png|Плоштината под функцијата f(x) означена со сино се апроксимира со плоштината на трапезите под деловите на линеарната апроксимација (означена со црвено).
</gallery>
Еден од најчестите проблеми со кои се сретнуваме во нумеричката анализа е пресметување на вредности на ∫_а^b▒〖f(x)dx.〗
Нумеричката интеграција во некои случаи е позната како нумеричка квадратура. Познатите методи користат една од Њутн-Котесови формули (како правило на средна точка или Симсоново правило) или Гаусова квадратура. Тие методи се потпираат на стратегијата ,,раздели па владеј,, , т.ш интегралот на релативно голем интервал се дели на повеќе интеграли на мали интервали.
Во случаите на голем број величини, каде тие методи се недопустливо скапи и во поглед на компјутерските барања, се приоѓа на примена на Монте-Карловиот или Квази Монте-Карловиот метод или кај умерено голем број величини, се применува методот на ретка мрежа.
Методите на ретки мрежи се множество од нумерички техники коишто претставуваат, интегрираат или интерполираат високо димензионални функции. Тие првично биле развиени од страна на рускиот математичар Сергеј Смолак, ученик на Лазар Листерник, и тие се базираат на конструкција на “редок” тензорски производ.
Компјутерските алгоритми за ефикасно имплементирање на таквите мрежи подоцна биле развиени од страна на Мајкл Грибл и Кристоф Зенгер.
Две основни методи на нумеричката интеграција се: проширената трапезна формула и проширената Симсонова формула.
Кај проширената трапезна формула, интервалот на интеграција [a,b] се дели на n-подинтервали со следнава ознака: а=x0 < x1 <....< xn=b. Во сите точки на поделба се пресметуваат вредноста на подинтегралната функција yi=f(xi), т.ш над секој подинтеграл се формира трапез со спојување на точките Ti(xi,yi) и Ti+1(xi+1,yi+1).
Со тој трапез чијашто плоштина Pi=(xi+1-xi)(yi+yi+1)/2 се апроксимира вистинската плоштина под функцијата f(x) на тој интервал. Покрај вообичаената постапка на еквидистантна поделба, т.е xi+1-xi=(b-a)/n ,
со собирање на плоштината на трапезите конструирани над сите интервални поделби добиваме трапезна формула:
∫_a^b▒〖f(x)dx≈(b-a)/2n〗(y_0+2y_1+2y_2+⋯+2y_(n-1)+y_n)
Оценката на грешката со оваа нумеричка апроксимација е дадена со :
E(f)=max┬(℥ϵ(a,b))〖〖(b-a)〗^3/〖12n〗^3 〗 |f^(,,) (℥)|
<gallery>
Simpsons method illustration.svg|
</gallery>
Проширената Симсонова формула како и трапезната формула почнува со поделба на интервалот [ а,b] на n, не секогаш еднакви подинтервали, но овој пат на секои два подинтервали односно низ точките Ti-1(xi-1,yi-1), TI(xi,yi) и Ti+1(xi+1,yi+1) се конструира единствена квадратна функција, чиј график е парабола.
Оваа парабола е означена со црвена боја (P(x)).
Заради тоа кај примена на Симпсоновата формула имаме дополнителен услов, бројот на подинтервали да биде парен број n. По пресметувањето на плоштините под така конструираните параболи, со нивно собирање добиваме проширена Симпсонова формула:
∫_a^b▒〖f(x)dx≈(b-a)/3n〗[y_0+4y_1+2y_2+4y_3 y+2y_4+⋯+4y_(n-1)+y_n]
Оценката на грешката на проширената Симпсонова формула е дадена со изразот:
E(f)=max┬(℥ϵ(a,b))〖〖(b-a)〗^5/〖180n〗^4 〗 |f^((4) ) (℥)|
Како што најчесто во правилото на парабола, подобра апроксимација на функцијата од правецот има, така Симпсоновата формула најчесто дава поточен резултат од трапезната формула.
=== '''Нумеричко решавање на диференцијални равенки''' ===
Во нумеричката анализа спаѓаат и методите кои бараат нумеричко апроксимативно решение на диференцијални равенки со зададени почетни услови, т.н. ,,Кошиев проблем,,. Развиени се методи за нумеричко решавање на обични, но и парцијални диференцијални равенки.
Две основни методи се Ојлеровата метода и фамилијата Рунге-Кута методи.
| |||