Разлика помеѓу преработките на „Херонова формула“

поправка на правопис
с (Плоштина означена со P)
(поправка на правопис)
[[Податотека:Triangle with notations 2.svg|мини|200п|Триаголник со страни ''a'', ''b'', и ''c''.]]
Во [[геометрија|геометријагеометријата]], '''ХероноваХероновата формула''' служи за пресметување на [[плоштина]]та P на [[триаголник]] за кој се познати должините на трите страни ''a'', ''b'', и ''c'' и гласи <ref>[http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronova -Интерактивна страна за Херонова формула] {{mk}}</ref>
<math>P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>
 
<math>s=\tfrac{1}{2} (a+b+c).</math>
 
Забелешка: [[Полупериметар]]от '''''s''''' на триаголникот е поголем од секоја од страните ''a'', ''b'' и ''c''. (Ова следува од [[неравенство на триаголник]].) Значи, сите 4 членовичленa во Хероновата формула се позитивни.
 
 
 
'''Пример:''' Нека &Delta;ABC е триаголник со страни ''a''=3, ''b''=4 и ''c''=5.
<div style="margin-left:15px; line-height:35px"> Тогаш полупериметарот е: &nbsp; <math>s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(3+4+5)=6</math>&nbsp;, <br />а плоштината е: &nbsp;<math>P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}= \sqrt{6 \cdot (6-3) \cdot (6-4) \cdot (6-5)}=\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=\sqrt{36}=6</math>. <br />Ова е познат правоаголен триаголник, така дашто страната ''b'' е и висината ''h'' во однос на основата ''a''. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник следи <math>P = \tfrac{1}{2} a h = \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4=6</math>. </div>
 
 
ХероноваХероновата формула може да се напише и во било која било од следниве формулацииоблици:
<div style="margin-left:15px;line-height:35px">
<math>P=\tfrac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,} </math>
 
== Историја ==
Формулата му се припишаприпишува на [[Херон Александриски|Херон]], а доказ се може да се најде во неговата книга „Метрика“ (''Metrica''), која е напишана во 60. годинегодина н. е. <ref>{{cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html |title=ЧланакСтатија оза Хероновој формули на сајтуХероновата формула| publisher=WolframAlpha}} {{en}} Последен пристапенпристап 29. 4. 2013.</ref><ref>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics | author=C.Clapham, J.Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009}} стр.365 {{en}}</ref> ПостојПостои индикација дадека формулата ја зналзнаел [[Архимед]], а земајќи во обзиробѕир дека „Метрика“ е колекција на математички знаења со кои располагал античкиантичкиот свет, можно е да Херон само ја забележал, а не да ја открил.
 
Формула еквивалентна на ХероноваХероновата формула, а запишана во обликот:
 
:<math>P=\frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2}</math>
 
била позната во древна [[Кина], а откриена независно од Грците. Може да се најде во делот „Девет книгакниги оза математичкиматематичката вештини“вештина“ (''-{Shushuобјавена Jiuzhang}-''), кои се објавени -{Qin Jiushao}-во [[1247]]. годгодина.
 
== Доказ ==
Оригиналниот доказ на Херон користел [[тетивен четириаголник|тетивни четириаголници]]. <ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/heron/heron.txt Дискусија оза доказудоказот Хероновена формулеХероновата формула] {{en}} Последен пристап 06.08.2013. </ref>.
 
Следи модеранмодерен доказ на формулата кој користи [[алгебра|алгебра]] и [[тригонометрија|тригонометрија]], и потполно е поинаков од оригиналниот доказ од Херон. Нека се ''a'', ''b'' и ''c'' се страните на еден триаголник, а <math> \alpha\,</math>, <math> \beta\,</math> и <math> \gamma\,</math> се соодветните [[агол|агли]] кои се најдатнаоѓаат наспроти соодветнатасоодветните странастрани. Без загуба на општост, ќе ја сметаме страната ''a'' за основа на триаголникот. Според [[Косинусна теорема|косинусната теорема]] е:
:<math>\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>.
Оттаму се добива алгебарската равенка:
:<math>\sin\gamma = \sqrt{1-\cos^2\gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.
Висината на триаголникот која оговараодговара на основаосновата ''a'' има должина <math>h_a=b\sin\gamma</math>, па следува
 
:{|
|}
 
Во погорнотогорните се раздвојуваатоперации полиномите се разложуваат користејќи ги формулите за [[бином на квадрат]] и за [[разлика на квадрати]].
 
 
=== Доказ користејќисо јакористење на [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]] ===
[[Податотека:Triangle with notations 3.svg|мини|270п|ТроугаоТриаголник сасо висиномвисина ''h'' која на страницистраната ''c'' прави одсечкеотсечки дужинасо должини ''d'' и (''c''&minus;''d'').]]
 
Тука се земе страната ''c'' се зема како основа, па почнуваме со
<div style="margin-left:15px;line-height:35px">
<math> P=\tfrac{1}{2} c h_c =\tfrac{1}{2} c h </math> &nbsp; односно &nbsp; <math>4P^2=c^2h^2</math>.
</div>
 
Од ПитагороваПитагоровата теорема следува: <math>h^2+d^2=b^2</math> &nbsp; и &nbsp; <math>h^2+(c-d)^2=a^2</math>.
 
Заменувајќи ја првата примена на Питагорова теорема во последниот израз следи:
<math>4(s(s-a)-(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)-(a-b+c)(a+b-c)=4cd</math>&nbsp; или &nbsp; <math>(s(s-a)-(s-b)(s-c))^2=(cd)^2</math>
 
каде што двете применувања на ПитагороваПитагоровата теорема се користат во последната равенка.
</div>
 
 
== Нумеричка стабилност ==
ХероноваХероновата формула во зададениот облик е [[Нумеричка стабилност|нумерички нестабилна]] за триаголници со многу мали алглиагли.
Стабилна алтернатива<ref>[http://www.eecs.berkeley.edu/~wkahan/Triangle.pdf Предавање за грешки при пресметување плоштина на триаголници со еден многу оштаростар агол], Последен пристап 06.08.2013.</ref> при што се именуваат страните така дашто:
''a'' &ge; ''b'' &ge; ''c''
па потоа се пресметува по формулата
 
== Обопштување ==
ХероноваХероновата формула е специјален случај [[Формула Брамагупте|формулата Брамагупте]] за плоштина на [[тетивен четириаголник|тетивни четириаголници]], а дватаи двете формули се специјални случаи на [[Бретшнајдерова формула|Бретшнајдеровата формула]] за плоштина на [[четириаголник]]. Во двата случаи, ХероноваХероновата формула се добива ставајќи ја должината на едната страна од четириаголникчетириаголникот еднаква на нула.
 
ХероноваХероновата формула исто така е посебен случај на формула за плоштина на [[трапез]] во која се користат само страните на трапезот. Во истата се ставистава должината на помалата паралелна страна еднаква на нула.
 
 
Изразување на ХероноваХероновата формула со помош на [[Детерминанта|детерминанта]]
:<math> P = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix}
0 & a^2 & b^2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix} } </math>
со што се гледа и сличноста на ХероноваХероновата формула со формулата на [[Николо Тартаља]] за [[волумен|зафатиназафатнина]] на [[тетраедар]].
 
 
Друго обопштување на ХероноваХероновата формула до петоаголници[[петаголник|петаголници]] и шестоаголнице[[шестаголник|шестаголници]] впишани во круг бил откриен од Давид П. Робинс. <ref>D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.</ref>
 
== ЛитератураНаводи ==
{{наводи}}
 
 
== Поврзани теми ==
* [[Периметар]], [[Плоштина]]
* [[Плоштина]]
* [[Херонов триаголник]]
* [[Херон Александриски]]
 
== Надворешни линкови ==
* [http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronova -Интерактивна страна за Херонова формула] {{mk}}
* [http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronovapr1 -ИинтерактивниИнтерактивни примери за пресметување на плоштина со Херонова формула] {{mk}}
* [http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Херонова формула] -{wolfram.com}- {{en}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/herons.shtml Доказ Хероновaна Хероновaта формулa со помош на ПитагороваПитагоровата теорема] -{cut-the-knot.org}- {{en}}
* [http://www.mathopenref.com/heronsformula.html Интерактивна анимација за пресметување на плоштина со помош на Херонова формула] -{mathopenref.com}- {{en}}
* [http://www.mathpages.com/home/kmath196.htm Херонова формула и обопштување на Брамагупте] {{en}}
 
 
{{Нормативна контрола}}
[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Плоштина]]