Линеарна функција: Разлика помеѓу преработките

[проверена преработка][проверена преработка]
Избришана содржина Додадена содржина
сНема опис на уредувањето
поправка на правопис
Ред 11:
 
 
*Линеарна функција се дефинира како [[функција (математичко образование)|функција]] чиј графикграфикон е [[права (геометрија)|права]] во [[рамнина (геометрија)|рамнина]]&nbsp;<ref>Clapham, Nicholson (1990) Oxford Concise Dictionary of Mathematics, pp.480</ref><ref>Gelfand, Glagoleva, Shnol (2002) '''Functions and Graphs'''</ref>, од што следува дека:
**Во [[#Експлицитен облик|експлицитен облик]] имаме: &nbsp;&nbsp;<math>f ( x )=a x + b</math> &nbsp;или&nbsp; <math>y(x)=ax+b</math> &nbsp;или&nbsp; <math>y = a x + b</math>.
**Во оваа дефиниција се вклучени и хоризонтални прави <em>y</em>=<em>b</em>, односно константни полиноми. (Вертикални прави <em>x</em>=<em>b</em> не се [[функција (математичко образование)|функцииифункции]].)
**Забелешка: оваа дефиниција е <strong>без условот <em>a</em>&ne;0</strong>.
 
Ред 24:
 
 
Во Р. Македонија најчесто се користат првите дефиницидефиниции, односно '''линеарна функција е функција чиј графикграфикон е права (или коса права)'''.
 
 
Забелешка: Често патиЧестопати наизменично се користааткористат терминитермините ''[[линеарна равенка]]'' и ''линеарна функција'', но тие не се исти термини. '''Линеарна функција е линеарна равенка, но обратното не важи.''' (При ''линеарна равенка'', зборот ''линеарна'' се однесува на степенот на полиномот кој може да има 1,2,3,... променливи така да линеарна равенка во една променлива е точка на бројната оска, ''линеарна равенка во две променливи е права во рамнина'', линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор.) Види [[линеарна равенка]].
 
 
[[Податотека:wiki_3lines.png|thumb|Три линеарни функции во екплицитенексплицитен облик (црвената и кафеавата го имаат истиот наклон (коефициент на правец, градиент, косина), а црвената и зелената ја имаат истата пресечна точка со ''у''-оската.]]
 
==Основни својства==
 
[[Коефициент (математика)|Коефициентите]] ''a'' и ''b'' се [[константа (математика)|константи]], односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а остануваат ''x'' и ''y'' како [[Променлива (математика)|променливи]]. На пример: ''у''(''x'') = -''x''+2 е линеарна функција со ''a''=-1 и ''b''=2. Множеството на [[Допуштени вредности (математичко образование)|допуштени вредности]] на секоја линеарна функција е '''R''', т.е. сите реални броеви. Значи, било кој реален број може да „влези“„влезе“ во линеарна функција, односно да биде замената за ''х'' во функцијата. Сликата, т.е. множеството на сите излезни вредности исто така е '''R''', т.е. сите реални броеви.
 
Формално, функција, ''f'':'''R'''→'''R''' дефинирана со ''f''(''x'') = ''ax''+''b'' каде што ''a'',''b''&isin;'''R''' е линеарна функција. Линеарна фунцкијафункција е 1-1 [[бијективна функција]].
 
Правата која е графикотграфиконот на линеарна функција е множеството на сите точки: (''x'',''y''(''x'')). Поради тоа што две точки определуваат една права, при графичко претставување на линеарна функција, доволно е да се заменува две различни вредности за ''x'' во линеарната функција, да се пресметаат двете вредности на ''y'', соодветните точки (''x''<sub>1</sub>,''y''(''x''<sub>1</sub>)) и (''x''<sub>2</sub>,''y''(''x''<sub>2</sub>)) да се внесат во рамнината и права да се црта низ нив. <ref>http://emathforall.com/wiki/RecnikT/LinearnaFunkcija</ref>
Линеарна функција има точно еден пресек со ''у''-оската во точката (0,''b'') и (доколку е коса права, ''a''&ne;0) точно еден пресек со ''х''-оската во точката ({{Дропка|-b|a}},0). Вредноста ''x''={{Дропка|-b|a}} е единствениот корен на функцијата ''y''=''ax''+''b'', т.е е единственото решение на равенката ''ax''+''b''=0.
Ред 44:
Има три облици на линеарна функција: <strong>[[#Стандарден облик|стандарден облик]]</strong>, <strong>[[#Експлицитен облик|експлицитен облик]]</strong> и <strong>[[#Параметарски облик|вектор - параметарски облик]]</strong>
 
Примена на линеарна функција - Пример: Брзина ''v'' како функција на време ''t'' на предмет истреленистрелан директно нагоре со почетна брзина ''v''<sub>0</sub> се опишува со линеарната функција: ''v''(''t'')= -9.,81''t''+''v''<sub>0</sub> &nbsp;[m/s], каде што -9,81 &nbsp;[m/s<sup>2</sup>] e гравитациона константа. Тука времето <em>t</em> ја игра улогата на независно променливата ''х'', а брзината ''v'' е зависно променливата ''y''.
 
 
Ред 52:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> Ax+By=C , \, B \ne 0 </math> &nbsp;&nbsp;(додатен услов за коса права:&nbsp; <math> A \ne 0 </math> &nbsp;).
 
Овој облик се користи најповеќе во геометрија и во системи на две линеарни равенки во две непознати. Стандарден облик има 2 променливи ''x'' и ''у'' и 3 [[Константа (математика)| константни]], т.е. коефициенти ''A'', ''B'', и ''C'' кои унапредоднапред се заменуваат со реални броеви. На пример: 3''x''-2''y''=1. Константите ''A'', ''B'', и ''C'' <strong>не</strong> се еднозначно определени. Ако се множат со фактор ''k'', коефициентите се менуваат, но правата останува истата. На пример: правите 3''x''-2''y''=1 и 6''x''-4''y''=2 ја претставуваат истата права. Тука факторот ''k''=2.
 
 
Ред 60:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> y(x)=ax+b </math> &nbsp;или&nbsp; <math> y=ax+b </math>&nbsp;&nbsp; (додатен услов за коса права: &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>{ a \ne 0} </math> &nbsp;).
 
Експлицитен облик има 2 променливи ''x'' и ''у'' и 2 [[Константа (математика)| константни]], т.е. коефициенти ''а'' и ''b'' кои унапред се заменуваат со реални броеви. На пример: ''y''(''х'')=-2''х''+4. Константите ''a'' и ''b'' се уникатни (еднозначно определени), т.е. ако било кој од ''a'' или ''b'' се менува, правата се менува. Ова значи дека секоја линеарна фунцијафункција може да се пиши на единствен начин во експлицитен облик.
 
Константниот коефициент ''b'' е т.н. ''у''-пресек, односно точката <strong>(0,''b'')</strong> е точката каде што правата врви низ ''у''-оската. Бројот {{Дропка|-b|а}} е т.н. <strong>корен</strong> на функцијата, односно точката ({{Дропка|-b|а}},0) е точката каде што правата врви низ ''х''-оската.
 
Коефициентот ''а'' е т.н. ''[[НаколонНаклон (математика)|наклон]]'' или ''коефициент на правец'' или ''градиент'' или ''косина'' на правата и ја опишува брзината на промена на функцијата ''у'' во однос на променливата ''х''.
* Наклонот на линеарна функција ''у''(''x'')=''ax''+''b'' е константен и е еднаков на ''a''.
* Ако наклонот на две прави е ист, правите или се [[паралелност|паралелни]] или се совпаѓаат.
* Ако наклонот на една права е ''a'', тогаш за било која точка (<em>х</em>,<em>у</em>) на правата, точката (<em>х</em>+1, <em>y</em>+<em>a</em>) лежи на правата. (Види слика надесно.)
* Ако наклонот ''a''&gt;0 тогаш линеарната функција монотоно расте, ако ''a''&lt0 тогаш функцијата монотоно опаѓа. Ако |''a''|&lt;1 тогаш наклонот е благ, а ако |''a''|&gt;1 тогаш наклонот е оштаростар.<ref>http://www.shodor.org/interactivate/activities/SlopeSlider/</ref>
 
 
Ред 74:
 
 
Во математичката дициплинадисциплина [[диференцијално сметање]] (калкулус) е дефиниран поимот [[извод]], а извод на една функција ја мери брзината на промена на една променлива во однос на друга во секоја точка. Кај линеарна фунцкијафункција брзината на промената на <em>у</em> во односно на <em>х</em> е константна, т.е. иста во сите точки, односно е <em>а</em> за сите (реални) вредности <em>х</em>, и пишуваме изводот на ''у''(''x'')=''ax''+''b'' постои секаде и е константната функција ''у''&#39;(''x'')=''a''.
 
 
Ред 85:
 
 
Вектор-параметарски облик (или само параметарски облик) има 1 параметар ''t'', 2 променливи ''x'' и ''у'', и 4 [[Константа (математика)| константни]], т.е. коефициенти <em>а</em><sub>1</sub>, <em>а</em><sub>2</sub>, <em>x</em><sub>1</sub>, и <em>y</em><sub>1</sub>. Константите <em>а</em><sub>1</sub>, <em>а</em><sub>2</sub>, <em>x</em><sub>1</sub>, и <em>y</em><sub>1</sub> не се уникатни (еднозначно определени). Правата врви низ точките <em>А</em>=(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>) и <em>B</em>=(<em>x</em><sub>1</sub>+<em>a</em><sub>1</sub>,<em>y</em><sub>1</sub>+<em>a</em><sub>2</sub>) така да земајќи други две точки на истата права ќе резултира во различни константни за истата права. Со веркторвектор-параметарски облик едноставно се дефинира отсечката <math>\overline{AB}</math> ограничувајќи го параметарот <em>t</em>&isin;[0,1]. На ваков начин се моделира патувањето по права линија од една точка до друга во времето. Исто така едноставно овој облик се проширува за права во простор. Обичајно е инженери да ја користат буквата ''t'' за параметарот; математичари да ја користат буквата &lambda;.
 
 
Ред 92:
 
 
==Формули за равенки на линеарна фунцкијафункција ==
За формулите за равенка на права види [[Права (геометрија)| права]].
 
Ред 115:
* [[Линеарна равенка]]
 
{{Портал|Математика}}
 
{{Математички полиња}}
 
[[Категорија: Математика]]