Хармониски треперник: Разлика помеѓу преработките

[проверена преработка][проверена преработка]
Избришана содржина Додадена содржина
Ред 166:
==Параметриски треперник==
{{Главна статија|Параметрички треперник}}
 
[[Параметриски треперник]] е присилен хармониски треперник при кој присилната енергија се обезбедува од различните параметри на треперникот, како што се придушната и силата на обновување.
Познат пример за параметриско треперење е лулашката која ја има на детските игралишта.<ref name=Case>{{cite web |title=Two ways of driving a child's swing |url=http://www.grinnell.edu/academic/physics/faculty/case/swing/ |first=William |last=Case |accessdate=27 November 2011}}</ref><ref name=Case96>{{cite doi|10.1119/1.18209}}</ref><ref name=Roura>{{cite journal |last1=Roura |first1=P. |last2=Gonzalez |first2=J.A. |year=2010 |title=Towards a more realistic description of swing pumping due to the exchange of angular momentum |journal=European Journal of Physics |volume=31 |issue=5 |pages=1195–1207 |doi=10.1088/0143-0807/31/5/020 |bibcode = 2010EJPh...31.1195R }}</ref>
Лицето кое се лула на лулашка може да го засили замавот на треперењата без надворешна присилна сила (туркање), со промената на моментот на инерција на лулашката лулајќи се нанапред и наназад или седнувајќи и станувајќи, во ритам со треперењата на системот. Примери за параметриски треперници можат да имаат променливи резонантни фреквенции <math>\omega</math> и придушувањето <math>\beta</math>.
 
==Универзална равенка на треперник==
 
Равенката:
 
:<math>\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d} \tau^2} + 2 \zeta \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}\tau} + q = 0</math>
 
позната како '''универзална равенка на треперник''' бидејќи сите линиски треперници од втор ред можат да се сведат во таа. Ова е направено преку [[бездимензионизација]].
 
Ако прсисилната функција е ''f''(''t'') =&nbsp;cos(''ωt'') =&nbsp;cos(''ωt<sub>c</sub>τ'')
=&nbsp;cos(''ωτ''), where ''ω''&nbsp;=&nbsp;''ωt''<sub>''c''</sub>, равенката ја добива формата
 
:<math>\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d} \tau^2} + 2 \zeta \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}\tau} + q = \cos(\omega \tau).</math>
 
Решението на диференцијалната равенка содржи два дела, „премин“ и „стабилна состојба“.
 
===Решение на премин===
 
Решението засновано на [[обична диференцијална равенка]] е за is for преодни постојани ''c''<sub>1</sub> и ''c''<sub>2</sub>
 
<math>q_t (\tau) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-\zeta\tau} \left( c_1 \mathrm{e}^{\tau \sqrt{\zeta^2 - 1}} + c_2 \mathrm{e}^{- \tau \sqrt{\zeta^2 - 1}} \right) & \zeta > 1 \text{ (overdamping)} \\ \mathrm{e}^{-\zeta\tau} (c_1+c_2 \tau) = \mathrm{e}^{-\tau}(c_1+c_2 \tau) & \zeta = 1 \text{ (critical damping)} \\ \mathrm{e}^{-\zeta \tau} \left[ c_1 \cos \left(\sqrt{1-\zeta^2} \tau\right) +c_2 \sin\left(\sqrt{1-\zeta^2} \tau\right) \right] & \zeta < 1 \text{(underdamping)} \end{cases}</math>
 
Решението на премин е независно од присилната функција.
 
===Решение на стабилна состојба===
 
Со примена на „ методот на[[комплексна анализа|комплексни променливи]]“ со решавање на [[помошната равенка]] прикажана подоле најде реалниот дел од решението:
 
:<math>\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d}\tau^2} + 2 \zeta \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}\tau} + q = \cos(\omega \tau) + \mathrm{i}\sin(\omega \tau) = \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \omega \tau} .</math>
 
Претпоставеното решение е со облик:
 
<!-- The \,\! is to keep the formula rendered as PNG instead of HTML. Please don't remove it.-->
:<math>\,\! q_s(\tau) = A \mathrm{e}^{\mathrm{i} ( \omega \tau + \phi ) } . </math>
 
Изводите од нулти до втори ред сè:
 
:<math>q_s = A \mathrm{e}^{\mathrm{i} ( \omega \tau + \phi ) }, \ \frac{\mathrm{d}q_s}{\mathrm{d} \tau} = \mathrm{i} \omega A \mathrm{e}^{\mathrm{i} ( \omega \tau + \phi ) }, \ \frac{\mathrm{d}^2 q_s}{\mathrm{d} \tau^2} = - \omega^2 A \mathrm{e}^{\mathrm{i} ( \omega \tau + \phi ) } .</math>
 
Заменувајќи ги овие записи во диференцијалната равенка се добива
 
<!-- The \,\! is to keep the formula rendered as PNG instead of HTML. Please don't remove it.-->
:<math>\,\! -\omega^2 A \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\omega \tau + \phi)} + 2 \zeta \mathrm{i} \omega A \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega \tau + \phi)} + A \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega \tau + \phi)} = (-\omega^2 A \, + \, 2 \zeta \mathrm{i} \omega A \, + \, A) \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\omega \tau + \phi)} = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega \tau} .</math>
 
Делејќи со експоненционалниот поим од лево се добива:
 
<!-- The \,\! is to keep the formula rendered as PNG instead of HTML. Please don't remove it.-->
:<math>\,\! -\omega^2 A + 2 \zeta \mathrm{i} \omega A + A = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \phi} = \cos\phi - \mathrm{i} \sin\phi . </math>
 
Пресметувањето на реалниот и комплексниот дел се сведува на две независни равенки:
 
:<math>A (1-\omega^2)=\cos\phi \qquad 2 \zeta \omega A = - \sin\phi.</math>
 
====Замавен дел====
 
[[Image:Harmonic oscillator gain.svg|thumb|Цртеж на фреквентниот дел на идеален хармониски треперник.]]
 
Квадрирајќи ги двете страни и собирајќи ги равенките се добива:
 
:<math>\left . \begin{array}{rcl} A^2 (1-\omega^2)^2 & = & \cos^2\phi \\[6pt] (2 \zeta \omega A)^2 & = & \sin^2\phi \end{array} \right \} \Rightarrow A^2[(1-\omega^2)^2 + (2 \zeta \omega)^2] = 1. </math>
 
следи,
 
:<math>A = A( \zeta, \omega) = \text{sign} \left( \frac{-\sin\phi}{2 \zeta \omega} \right) \frac{1}{\sqrt{(1-\omega^2)^2 + (2 \zeta \omega)^2}}.</math>
 
Споредувајќи го овој резултат со теорискиот дел за [[резонанса]]. Оваа функција на замавот е особено важна за анализа и разбирање на фрквентниот запис на системите од втор ред.
 
====Фазен дел====
 
Решението за φ, се делат двете равенки и се добива:
 
:<math>\tan\phi = - \frac{2 \zeta \omega}{ 1 - \omega^2} = \frac{2 \zeta \omega}{\omega^2 - 1} \Rightarrow \phi \equiv \phi(\zeta, \omega) = \arctan \left( \frac{2 \zeta \omega}{\omega^2 - 1} \right ). </math>
 
Оваа фазна функција е особено важна анализа и разбирање на фрквентниот запис на системите од втор ред.
 
===Целосно решение===
 
Со комбинирање на деловите од замавното и фазното решение:
 
:<math>\,\! q_s (\tau) = A(\zeta,\omega) \cos(\omega \tau + \phi(\zeta,\omega)) = A\cos(\omega \tau + \phi).</math>
 
Решението на равенката на универзалниот треперник е [[принцип на суперпозиција|суперпозиција]] (збир) на решенијата на премин и стабилна состојба
 
<!-- The \,\! is to keep the formula rendered as PNG instead of HTML. Please don't remove it.-->
:<math>\,\! q(\tau) = q_t (\tau) + q_s (\tau).</math>
 
== Поврзано ==