Википедија

Сурјективна функција: Разлика помеѓу преработките

Интерактивен преглед на историјата
[проверена преработка][проверена преработка]
← Постаро уредувањеПоново уредување →
Избришана содржина Додадена содржина
НагледноВикитекст
с ситна поправка
с ситна поправка
Ред 6:
|}
 
Во [[математика]]та, '''сурјективна функција''' е [[функција (математичко образование)|функција]] ''f''&nbsp;:&nbsp;''A'' → ''B'' соако следнатасекој особина.елемент во ''B'' е слика на барем еден елемент од ''A'', односно Заза секој елемент ''b'' од [[функција (математичко образование)|кодоменот]] ''B'' постој '''барем''' еден елемент ''a'' од [[функција (математичко образование)|доменот]] ''А'' таков што ''f''(''a'')=''b'', т.е. кодоменот и [[функција (математичко образование)|сликата]] на ''f'' е истото множество.<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Surjection.html| last1=Weisstein|first1=Eric|title=Surjective function |publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=англиски|accessdate=January 2014}}</ref><ref>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Onto Mapping | author=C.Clapham, J.Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=568|language=Englishанглиски||accessdate=January 2014}}</ref>
 
Терминот ''сурјективност'' и сродните термини [[инјективна функција|''инјективност'']] и [[бијективна функција|''бијективност'']] беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)<ref>{{cite web | url = http://jeff560.tripod.com/i.html | title = Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics | contribution = Injection, Surjection and Bijection | publisher = Tripod | first = Jeff|last=Miller| year=2010 |language=англиски|accessdate=February 2014}}</ref> (и група главно други француски математичари од 20-тиот век) кој напиша серија книги за презентирање на модерна напредна математика, со почеток во 1935 година. Францускиот префикс ''сур'' значи ''над'' или ''одозгоре'' и се однесува на фактот дека сликата на доменот на сурјективна функција целосно го покрива кодоменот на функцијата.
Ред 18:
Формално имаме:
:<math>f:A \rightarrow B</math>&nbsp; е сурјективна функција ако &nbsp;<math>\forall b \in B \,\, \exists a \in A</math>&nbsp; таков што &nbsp;<math>f(a)=b \,.</math>
*Елементот <math>ab</math> се вика '''предсликаслика''' на елементот <math>ba</math>. Значи функција e сурјекција ако секој елемент во кодоменот има (барем еден) предслика.
*Формалната дефиниција значи: Секој елемент од кодоменот ''B'' е ''слика'' на барем еден елемент од доменот ''A''.
Елементот <math>a</math> се вика '''предслика''' на елементот <math>b</math>.
*Формалната дефиниција значи: Секој елемент од кодоменот ''B'' има барем една предслика во доменот ''A''.
 
Предслика на сурјекција '''не''' мора да биде едниствена. Во првата слика, и {X} и {Y} се предслики на елементот {1}. Baжно е да има барем една предслика. (Види и: [[Инјективна функција]], [[Бијективна функција]])
 
==Примери ==
Ред 24 ⟶ 29:
Нека ''f''(''x''):&#8477;→&#8477; е реална функција ''y'' од реален аргумент ''x''. (Значи влез и излез се броеви.)
*'''Графичко толкување''': функцијата ''f'' е сурјективна ако секоја хоризонтала права го пресекува графикот на ''f'' во (барем) една точка.
*'''АналитичкоАлгебарско толкување''': функцијата ''f'' е сурјективна ако за било кој реален број ''y''<sub>o</sub> може да се најде (барем еден) реален број ''x''<sub>o</sub> таков што ''y''<sub>o</sub>=''f''(''x''<sub>o</sub>).
<div style="margin-left:15px">
Наоѓање на ''x''<sub>o</sub> за даден ''y''<sub>o</sub> е еквивалентно со прашањата:
Ред 33 ⟶ 38:
Од сето ова следува дека формално докажување на сурјективност не е едноставно и тоа треба да се земе во обѕир во дискусиите подолу.
 
'''Пример:''' Линеарната функција на било која коса права е сурјективна, односно ''y''=''ax''+''b'' каде што ''a''&ne;0 е сурјективнасурјекција (и инјективнаинјекција, така да е бијективнабијекција). (Види [[линеарна функција]].)
:Доказ: Заменувајќи било кој реален број ''y''<sub>o</sub> во функцијата и решајќи за ''x'', се добива ''x''= (''y''<sub>o</sub>-''b'')/<sub>''a''</sub> така да ''x''<sub>o</sub>=(''y''<sub>o</sub>-''b'')/<sub>''a''</sub>. Со ова се докаже сурјективноста на функцијата ''y''=''ax''+''b'' каде што ''a''&ne;0. (Бидејќи има точно едно решение за секој ''y''<sub>o</sub>, оваа функција е и инјективна.)
:Практичен пример: ''y''= &ndash;2''x''+4. Кој е предслика на ''y''=2? Тука ''a''=&ndash;2, т.е. ''a''&ne;0 и прашањето е: за кој ''x'' e ''y''=2? Заменувајќи ''y''=2 во функцијата се добива ''x''=1, т.е. ''y''(1)=2.
'''Пример:''' Функцијата {{Nowrap begin}}''f''(''x'')=''x''<sup>3</sup>-&ndash;3''x''{{Nowrap end}} е сурјективна.
:Дискусија: Кубна полинома равенка ''x''<sup>3</sup>-3''x''-''y''<sub>o</sub>=0 има реални коефициенти (''a''<sub>3</sub>=1, ''a''<sub>2</sub>=0, ''a''<sub>1</sub>=&ndash;3, ''a''<sub>0</sub>=&ndash;''y''<sub>o</sub>), а секоја кубна полиномна равенка има барем еден реален корен .<ref name=Tanton>{{cite book|title=Encyclopedia of Mathematics|last1=Tanton|first1=James|year=2005|publisher=Facts on File, New York|isbn=0-8160-5124-0|contribution =Cubic equation|page=112-113}} {{en}}</ref>). Бидејќи доменот на функцијата е &#8477;, следува дека постои (барем еден) ''x''<sub>o</sub> таков што (''x''<sub>0</sub>)<sup>3</sup>-3''x''<sub>0</sub>-''y''<sub>o</sub>=0 и функцијата е сурјективна. (Меѓутоа, оваа функција не е инјективна. На пример, ''y''<sub>o</sub>=2 има две предслики: ''x''=&ndash;1 и ''x''=2 , а всушност за секој ''y'', &ndash;2≤''y''≤2 функцијата има повеќе од еднa предслика, т.е. повеќе од еден ''x'' таков што ''f''(''x'')=''y''.)
 
'''Пример:''' [[Квадратна функција|Квадратната функција]] {{Nowrap begin}}''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>{{Nowrap end}} не е сурјективна. Нема ''x'' таков што {{Nowrap begin}}''x''<sup>2</sup> = −1{{Nowrap end}}. Сликата на ''x''&sup2; e <nowiki>[0,+∞) </nowiki>, т.е. множеството на ненегативни броеви. (Оваа функција не е ниту инјективна.)
 
Забелешка: Се разбира дека за секоја несурјективна функција можеме да дефинираме '''нова''' сурјективна функција ограничувајќи го кодоменот на сликата. На пример „новата функција“, <nowiki>{{Nowrap begin}}''f''<sub>N</sub>(''x''):&#8477; → [0,+∞)</nowiki>{{Nowrap end}} каде што{{Nowrap begin}}''f''<sub>N</sub>(''x'') = ''x''<sup>2</sup>{{Nowrap end}} сега е сурјективна функција. (Ова не е исто со [[функција (математичко образование)|рестрикција на функција]] во која се ограничува доменот!)
 
'''Пример:''' [[Експоненцијална функција|Експоненцијалната функција]] {{Nowrap begin}}''f''(''x'') = 10<sup>''x''</sup>{{Nowrap end}} не е сурјективна. Сликата на {{Nowrap begin}}''10''<sup>''x''</sup>{{Nowrap end}} е (0,+∞), a (0,+∞)&ne;&#8477;. (Oваа функција е инјективна.)
Ред 54 ⟶ 59:
|- align="center" style="font-size:.85em;line-height:1.4em"
| width="230"|[[Податотека:10tox.svg|220px]]<hr />Не е сурјекција. ''f''(''x''):&#8477;→&#8477; (е инјекција)
| width="230"|[[Податотека:logx.svg|220px]]<hr />СурекцијаСурјекција. ''f''(''x''):(0,+∞)→&#8477; (и инјекција)
| width="230"|[[Податотека:zisy.png|220px]]<hr /> Сурјекција. ''f''(''xz''):&#8477;&sup2;→&#8477;, ''z''=''y''. (Во сликата се показжува дека предсликата на рамнината z=2 е правата y=2.)
|}
</div>
Ред 61 ⟶ 66:
===Други примери со реални функции===
 
'''Пример:''' Инверзната функција на 10<sup>''x''</sup>, односно [[Логаритамска функција|логаритамската функција со основа 10]] {{Nowrap begin}}''f''(''x''):<nowiki>(0,+∞)</nowiki>→&#8477;{{Nowrap end}} дефиниранa со {{Nowrap begin}}''f''(''x'')=log(''x''){{Nowrap end}} односно {{Nowrap begin}}''y''=log(''x''){{Nowrap end}} е сурјективна (и инјективна).
 
*Проекцијата на [[декартов производ]] {{Nowrap|''A'' × ''B''}} на еден од неговите фактори е сурјективна функција.
Преземено од „https://mk.wikipedia.org/wiki/Сурјективна_функција“