Сурјективна функција

Во математиката, сурјективна функција е функција f : A → B со следната особина. За секој елемент b од кодоменот B постој барем еден елемент a од доменот А таков што f(a)=b, т.е. кодоменот и сликата на f е истото множество.

Терминот сурјективност и сродни термини инјективност и бијективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki) (и група главно други француски математичари од 20-тиот век) кој напиша серија книги за презентирање на модерна напредна математика, со почеток во 1935 година. Францускиот префикс сур значи над или одозгоре и се однесува на фактот дека сликата на доменот на сурјективна функција целосно го покрива кодоменот на функцијата.

Основни своиства

Формално имаме:

$f:A\rightarrow B$  е сурјективна функција ако  $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$  таков што  $f(a)=b\,.$

Сурјекција. До секој елемент во кодоменот B има стрелка од (барем еден) елемент од доменот А.

Не е сурјекција. Постој елемент во кодоменот В без стрелка од доменот А.

Бијекција (и сурјекција и инјекција). До секој елемент во B има стрелка од точно еден елемент од А.

Примери

Елементарни функции

Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)

• Графичко толкување на сурјективност: секоја хоризонтала права треба да го пресекува графикот на сурјективна функција во (барем) една точка.
• Аналитичко толкување на сурјективност: за било кој реален број y_o постои (барем еден) реален број x_o таков што y_o=f(x_o).

Наоѓање на x_o за даден y_o е еквивалентно со прашањата:

• дали равенката f(x)-y_o=0 има решение (или не), односно
• дали функцијата f(x)-y_o има корен (или не).

Во математиката, освен за полиноми од прв, втор (и трет степен) не постојат аналитики методи за одредување на корен, туку се одредуваат нумерички.

Од сето ова следува дека формално докажување на сурјективност не е едноставно и тоа треба да се земе во обѕир во дискусиите подолу.

Пример: Линеарната функција на било која коса права е сурјективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е сурјективна (и инјективна, така да е бијективна). (Види линеарна функција.)

Доказ: Заменувајќи било кој реален број y_o во функцијата и решајќи за x, се добива x= (y_o-b)/_a така да x_o=(y_o-b)/_a. Со ова се докаже сурјективноста на функцијата y=ax+b каде што a≠0. (Бидејќи има точно едно решение за секој y_o, оваа функција е и инјективна.)

Практичен пример: y= –2x+4. Тука a=–2, a –2≠0. За кој x e y=2? Заменувајќи y=2 во функцијата се добива x=1, т.е. y(1)=2.

Пример: Функцијата f(x)=x³-3x е сурјективна.

Дискусија: Кубно полинома равенка x³-3x-y_o=0 има реални коефициенти (a₃=1, a₂=0, a₁=–3, a₀=–y_o), а секој кубна полиномна равенка има барем еден реален корен ). Меѓутоа, оваа функција не е инјективна. На пример, за y_o=2 и x=–1 и x=2 се т.н. „предслики“ и всушност за секој y, –2≤y≤2 функцијата има повеќе од еднa предслика, т.е. повеќе од еден x таков што f(x)=y.

Пример: Квадратната функција f(x) = x² не е сурјективна. Нема x таков што x² = −1. Сликата на x² e [0,+∞) , т.е. множеството на ненегативни броеви. (Оваа функција не е ниту инјективна.)

Забелешка: Се разбира дека за секоја несурјективна функција можеме да дефинираме нова сурјективна функција ограничувајќи го кодоменот на сликата. На пример „новата функција“, ''f''_N(''x''):ℝ → [0,+∞) f_N(x) = x² сега е сурјективна функција. (Ова не е исто со рестрикција на функција во која се ограничува доменот!)

Пример: Експоненцијалната функција f(x) = 10^x не е сурјективна. Сликата на 10^x е (0,+∞) ≠ ℝ. Меѓутоа, оваа функција е инјективна.

Сурјекција и инјекција, т.е. бијекција. f(x):ℝ→ℝ	Сурјекција, но не е инјекција. f(x):ℝ→ℝ	Не е сурјекција, нуту инјекција. f(x):ℝ→ℝ
Не е сурјекција, но е инјекција. f(x):ℝ→ℝ	Сурекција и инјекција, т.е. е бијекција. f(x):(0,+∞)→ℝ	Сурјекција, но не е инјекција. f(x):ℝ²→ℝ (Тука се показжува дека предсликата на рамнината z=2 е правата y=2.

Други примери со реални функции

Пример: Инверзната функција на 10^x, односно логаритамската функција со основа 10 f(x):(0,+∞)→ℝ дефиниранa со f(x)=log(''x'' односно y=log(x) е сурјективна (и инјективна).

• Проекцијата на декартов производ A × B на еден од неговите фактори е сурјективна функција.

Пример: Функцијата f((x,y)):ℝ²→ℝ дефинирана со z=y е сурјективна. Графикот е рамнина во 3-димензионален простор, а предслика на z_o е правата y=z_o во x0y рамнината.

Во 3-димензионални игри, вектори се проектираат на 2-димензионален екран со сурјективна функција.

Поврзано

• Функција
• Инјективна функција
• Бијективна функција

Надворешни врски

• Pierce, R. (2013). „Injective, Surjective, Bijective“ (англиски). Посетено на декември 2013. интерактивен квиз
• „Injectivity, Surjectivity“ (англиски). Wolfram Alpha. Посетено на декември 2013. интерактивно