|
Во [[математика]]та, '''сурјективна функција''' е [[функција (математичко образование)|функција]] ''f'' : ''A'' → ''B'' со следната особина. За секој елемент ''b'' од [[функција (математичко образование)|кодоменот]] ''B'' постој барем еден елемент ''a'' од доменот ''А'' таков што ''f''(''a'')=''b'', т.е. кодоменот и [[функција (математичко образование)|сликата]] на ''f'' е истото множество.<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Surjection.html| last1=Weisstein|first1=Eric|title=Surjective function |publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=англиски|accessdate=January 2014}}</ref><ref>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Onto Mapping | author=C.Clapham, J.Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=568|language=English|accessdate=January 2014}}</ref>
{{Функција
|name = Линеарна функција
|image = line_gen_no_slope.svg
|caption = ''y''(''x'')=''ax''+''b'' („генерична“, т.е. без конкретни вредности за константите ''a'' и ''b'')
|heading1 = 1
|type = Елементарна
|domain = ℝ=(−∞,∞)
|codomain = ℝ=(−∞,∞)
|range = ℝ=(−∞,∞) кога ''a''≠0
|parity = нема (освен ако ''a''=0)
|period =
|heading2 = 1
|y-intercept = b
|root = <sup>-b</sup>/<sub>a</sub> кога ''a''≠0
|asymptote =
|plusinf =
|minusinf =
|fixed = ''x''=<sup>b</sup>/<sub>(1-a)</sub> кога ''a''≠1
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =
|heading3 = 1
|max = ∞ кога ''a''≠0
|min = −∞ кога ''a''≠0
|derivative = (''ax''+''b'')'''′'''=''a''
|other = [[бијективна функција|бијективна]] кога ''a''≠0
|notes = {{reflist|group=note}}
}}
Терминот сурективност и сродни термини [[инјективна функција|инјективност]] и [[бијективна функција|бијективност]] беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)<ref>{{cite web | url = http://jeff560.tripod.com/i.html | title = Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics | contribution = Injection, Surjection and Bijection | publisher = Tripod | first = Jeff|last=Miller| year=2010 |language=англиски|accessdate=February 2014}}.</ref> и група главно францускиот математичари од 20-тиот век кој напиша серија книги за презентирање на модерна напредна математика, со почеток во 1935 година. Француската префикс ''сур'' значи ''над'' или ''одозгоре'' и се однесува на фактот дека сликата на доменот на сурјективна функција целосно го покрива кодоменот на функцијата.
{{Разликување| Линеарна равенка}}
Во основна [[математика]], '''линеарна функција''' е [[функција (математичко образование)|функција]] чиј график е [[права (геометрија)|права]] во [[рамнина (геометрија)|рамнина]].<ref>{{cite book|title=Functions and Graphs|last1=Gelfand|first1=I.M.| last2=Glagoleva|first2=E.G.|last3=Shnol|first3=E.E.|year=1990|publisher=Dover Publications|ISBN=0-4863-1713-7|page=22}} {{en}}</ref> На пример ''y''=2''x''–1 е линеарна функција. Во виша математика, понекогаш се користи терминот линеарна функција за [[линеарна трансформација]].<ref>{{cite web|url=http://cfsv.synechism.org/c1/sec15.pdf|title=The Calculus of Functions of Several Variables, Linear and Affine Functions|last1=Sloughter|first1=Dan|year=2001|language=English|accessdate=February 2014}}</ref><ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/LinearFunction.html|last1=Rowland|first1=Todd|title=Linear function (mathematics)|publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=English|accessdate=January 2014}}</ref><ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/LinearTransformation.html|last1=Rowland|first1=Todd|title=Linear transformation|publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=English|accessdate=January 2014}}</ref>
==Основни своиства==
Формално, имаме
Формално, линеарна функција е функција ''f''(''x''):ℝ→'ℝ таква да [[график]]от на ''f'' e [[(геометрија)|права]]. Значи [[функција (математичко образование)|доменот]] и [[функција (математичко образование)|кодоменот]] на функцијата е множеството на реални броеви ℝ. Обично пишиме ''y''(''x'') или само ''y'' наместо ''f''(''x''). Следува дека формалната дефиниција значи:
:<math>f:A \rightarrow B</math> е сурективна функција ако <math>\forall b \in B \,\, \exists a \in A</math> таков што <math>f(a)=b \,.</math>
*се заменува (било кој) реален број ''x'' во линеарната функција,
[[Image:Surjection.svg|thumb|A surjective function from [[domain of a function|domain]] ''X'' to [[codomain]] ''Y''. The function is surjective because every point in the codomain is the value of ''f''(''x'') for at least one point ''x'' in the domain.]]
*добиената равенка се решава за ''y'' (кој одговара на замената вредност на ''x'')
*графикот на сите вака добиени точки (''x'',''y'') е права.
Трите главни облици на линеарна функција се: '''екплицитен''', '''општ''' и '''вектор-параметарски'''.
* [[функција (математичко образование)|Композиција]] на две сурективни функции е сурективна функција.
[[Image:line_explicit_ex.svg|thumb|right|Права со функцијата зададена во експицитен облик]]
===Екплицитен облик===
Експлицитен облик на линеарна функција е <math> y(x)=ax+b </math> или <math> y=ax+b </math> . Овој облик има 2 [[променлива| променливи]] ''x'' и ''у'' и 2 [[константа (математика)|константи]] ''a'' и ''b''.
*Буквите ''a'' и ''b'' се константи.<ref>{{cite book|title=Theory and Problems of Beginning Finite Mathematics|last1=Lipschutz|first1=Seymour|last2=Schiller|first2=John J.|last3=Srinivasan|first3=R.Alu|publisher=McGraw-Hill, Schaum's Outline Series|isbn=0-0713-8897-9|year=2005|page=9}} {{en}}</ref> Пред да се работи со линеарна функција треба да се заменуваа ''a'' и ''b'' со конкретни реални броеви. При работа со оваа функција, овие вредностите (на ''a'' и ''b'') не се менуваат. Затоа се викаат константи.
*Буквите ''x'' и ''y'' се променливи.<ref name=Alg2B></ref>.
**Променливата ''x'' се нарекува [[функција (математичко образование)|независно променливата или аргументот]]. Можеме да заменуваме ''x'' со било кој реален број. Останува само зависно променливата ''y'' и ја решиме равенката за неа. Соодветниот подреден пар (''x'',''y'') e точка на правата.
**Променливата ''y'' се нарекува [[функција (математичко образование)|зависно променливата]].
----
*Хоризонтални прави се линеарни функции. Права е хоризонтална ако и само ако ''a''=0. Следува дека функцијата е ''y''=''b''. Бидејќи ''b'' е број, се добива [[константна функција]]. Значи, константна функција се смета за линеарна функција.
*Вертикални прави '''не''' се линеарни функции. Вертикални прави не се функции<ref name=Alg2B>{{cite book|title=Algebra and Trigonometry|last1=Beecher|first1=Judith A.|last2=Penna|first2=Judith A. |last3=Bittinger|first3=Marvin L.|publisher=Pearson-Addison Wesley|isbn=0-3214-6620-4|year=2007|page=92}} {{en}}</ref> Вертикална права се дефинира со равенка ''x''=''b'' каде што ''b'' е број. Таа е математичка [[релација (математика)]].)
*Коси прави се линеарни функции. Права е коса ако и само ако ''a''≠0.<ref>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Linear function | first1=C.|last1=Clapham|first2=J.|last2=Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|accessdate=February 2013|page=480}} {{en}}</ref>
==Слика на функција и сурјективност==
[[Податотека:wiki_3lines.png|thumb|Три линеарни функции (црвената и кафеавата го имаат истиот [[наклон (математика)|наклон]], а црвената и зелената го имаат истиот [[пресек со y-оската|пресек со ''у''-оската]].]]
Нека ''f'' : ''A'' → ''B'' е функција и нека [[функција (математичко образование)|сликата]] на ''f'' се означува со ''C''. Според дефиниција на слика на една функција, „новата“ фунцкција ''f''<sub>n</sub> : ''A'' → ''C'' e сурјективна функција.
----
* Експлицитен облик на права е уникатна (еднозначно определена). Различна вредност за ''a'' и/или различна вредност за ''b'' определува различна права.
* Линеарна функција е [[полином|полиномна функција]] од прв или нулти степен во една променлива.
* Константниот член е ''b''. Ако замениме ''x''=0 во функцијата, се добива ''y''=''b''. Следува дека бројот ''b'' е '''[[пресек со y-оската|пресекот со y-оската]]''' и правата ја пресекува ''у''-оската во точката (0,''b'').
* Ако ''a''≠0, бројот <sup>–b</sup>/<sub>a</sub> е пресек со ''x''-оската, односно единствениот [[корен (нула)|корен]] на функцијата и (<sup>–b</sup>/<sub>a</sub>,0) е точката каде што правата ја пресекува ''х''-оската. Вредноста на функцијата е нула.
* [[Коефициент]]от ''a'' на ''x'' се нарекува '''[[наклон]]''' или ''коефициент на правец'' или ''градиент'' на правата. За секоја права, бројот ''a'' е константна вредност. Значи наклонот на секоја права е константен, односно е истиот број за целата права. Наклонот го одредува и правецот и стрмноста на правата. Правецот и стрмнина ја одредуваат т.н. [[извод|брзината на промена]].
** Знакот пред ''a'' го одредува правецот. Ако ''a''>0 линеарната функција расте; ако ''a''<0 функцијата опаѓа.
** [[Апсолутна вредност| Апсолутната вредност]] на ''a'' ја одредува стрмноста. Ако |''a''|<1 правата има блага раст или пад; ако |''a''|>1 правата има оштар раст или пад.
** Ако наклонот на една права е ''a'' и точката (''х'',''у'') лежи на правата, следува дека и точката (''х''+1, ''y''+''a'') лежи на правата.
'''Пример:''' ''y''=–2''x''+4. Наклонот ''a''= –2, а пресекот со ''y''-оската е ''b''=4 односно точката (0,4). За да се најде коренот, се заменува ''y''=0. Решавајќи за ''x'', се добива 0=–2''x''+4 или ''x''=2. Значи ''x''=2 е (единствениот) корен на оваа функција и точката (2,0) е пресекот со ''x''-оската. Поради тоа што ''a'' = –2, правата опаѓа. Поради тоа што |–2|=2>1, падот е ''релативно'' оштар. За секој промена на ''х'' за 1 (надесно), вредноста на ''у'' се менува за -2 (слегува надолу).
----
*Графикот на права се определува со '''две точки'''. Заменуваме било кои две вредности за ''x'' во линеарната функција и решаваме за соодветните ''y''-вредности и ги зашишиме соодветните две точки. Ги цртаме двете точки во рамнина. Користејќи линијар, повлечиме права низ и преку двете точки.
'''Пример:''' ''y''=–2''x''+4. Ако замениме ''x''=0 се добива ''y''=4, т.е. точката (0,4). (Ова е пресекот со ''y''-оската.) Ако замениме ''x''=1 се добива ''y''=2, т.е. точката (1,2). Ги цртаме овие две точки и со линијар ја повлечиме правата која минува низ нив.
<div style="margin-left:15px">
Забелешки:
<div style="margin-left:20px">
• Вредностите за замена ''x''=0 и ''x''=1 се наш избор. Било кои две вредности треба да ја даваат истата права.
• Поради тоа што наклонот на правата е ''a''= –2, а бидејќи ''x''-вредноста на 2-рата точка се менува за 1, односно е 1 надесно од првата точка, мора ''y''-вредноста да се менува за ''a'', односно да биде за 2 подолу од првата точка.
</div>
----
*Линеарната функција ''y''=''x'' се вика [[идентична функција]]. Секоја вредност се прeсликува во истата вредност.
*Линеарна функција која не е константна функција е [[бијективна функција]], т.е. секој реален број е излезна вредност ([[сурјективна функција]]) за точно една влезна вредност ([[инјективна функција]]).
'''Пример:''' ''y''= –''x''+2. Која е влезна вредност ''x'' за излезната вредност ''y''= –1? Заменувајќи ''y''= –1 се добива: –1= –'x''+2 или ''x''=3. Ова е единственото решение. На истиот начин се пресметува влезната вредност ''x'' за било која излезна вредност ''y''.
[[Image:line_standard_ex.svg|thumb|right|Права зададена со две еквивалентни функциии во општ облик. Единствениот експлицитен облик на оваа права е ''y''=1.5''x''–0.5]]
===Општ облик===
<math> Ax+By=C , \, B \ne 0 </math>.
*Општ облик има две променливи ''x'' и ''у'' и три константи ''A'', ''B'' и ''C''. Како секогаш пред да се работи со функцијата, константите се заменуваат со конкретни броеви, а истите не се менуваат во текот на работа со функцијата. Општиот облик се користи во [[геометрија]] и во [[Систем_линеарни_равенки|системи линеарни равенки]].
'''Пример:''' Линеарната функција 3''x''–2''y''=1 е во општ облик. Константите се ''A''=3, ''B''=–2 and ''C''=1.
*Константите ''A'', ''B'' и ''C'' '''не''' се уникатни, т.е. не се еднозначно определени. Ако се множат со фактор ''k'', коефициентите се менуваат, но правата останува истата.
'''Пример:''' Правите 3''x''-2''y''=1 и 6''x''-4''y''=2 ја претставуваат истата права. Тука факторот ''k''=2, т.е. втората равенка е првата равенка помножена со 2. Единствената (уникатна) експлицитен облик на оваа права е ''y''=1.5''x''+0.5]]
[[Image: line_parametric_ex.svg|thumb|right|Права зададена со една функција во вектор-параметарски облик. Единствениот експлицитен облик на оваа права е ''y''=1.5''x''+2.5]]
===Бектор-параметарски облик===
Параметарски: <math>\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x(t) = {x_1}+{a_1}t }\\ {y(t) = {y_1}+{a_2}t } \end{array}} \right.</math> или
Векторски: <math>{\mathbf{X}} = ({x_1},{y_1}) + t({a_1},{a_2})</math> или <math>r(t)= < x_1+a_1 t, \, y_1 + a_2 t > , \,{ a_1 \ne 0} </math> (додатен услов за коса права: <math>{ a_2 \ne 0} </math> ).<ref>http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/EqnsOfLines.aspx</ref><ref> http://cs.fit.edu/~wds/classes/cse5255/thesis/lineEqn/lineEqn.html</ref>
Вектор-параметарски облик има 1 параметар ''t'', 2 променливи ''x'' и ''у'', и 4 [[Константа (математика)| константни]], т.е. коефициенти <em>а</em><sub>1</sub>, <em>а</em><sub>2</sub>, <em>x</em><sub>1</sub>, и <em>y</em><sub>1</sub>. Константите <em>а</em><sub>1</sub>, <em>а</em><sub>2</sub>, <em>x</em><sub>1</sub>, и <em>y</em><sub>1</sub> не се уникатни (еднозначно определени). Правата врви низ точките <em>А</em>=(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>) и <em>B</em>=(<em>x</em><sub>1</sub>+<em>a</em><sub>1</sub>,<em>y</em><sub>1</sub>+<em>a</em><sub>2</sub>) така да земајќи други две точки на истата права ќе резултира во различни константни за истата права. Со вектор-параметарски облик едноставно се дефинира отсечката <math>\overline{AB}</math> ограничувајќи го параметарот <em>t</em>∈[0,1]. На ваков начин се моделира патувањето по права линија од една точка до друга во времето. Исто така едноставно овој облик се проширува за права во простор. Вообичаено е инженери да ја користат буквата ''t'' за параметарот; математичари да ја користат буквата λ.
'''Пример:''' '''X'''=(-1,1)+''t''(2,3). Тука: ''a''<sub>1</sub>=2, ''a''<sub>2</sub>=3, ''x''<sub>1</sub>=-1 и ''y''<sub>1</sub>=1. Правата врви низ точката (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>)=(-1,1) и точката (x<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>)=(1,4). Соодветниот параметарски облик на оваа права е: ''x''(''t'')=-1+2''t'', ''y''(''t'')=1+3''t''. Единствениот (уникатен) експлицитен облик на оваа права е: ''y''(''x'')=1,5''x''+2,5 (решејќи ја првата равенка по ''t'' и заменувајќи го резултатот во втората равенка).
*Вектор-параметарски облик на права има природно обопштување до прави во 3 и повеќе димензионални простори. Другите облици немаат.
'''Пример:''' '''X'''=(–1,1,2)+''t''(2,3,–1), t∈ℝ е права во 3-димензионален простор. Правата врви низ точкит (–1,1,2) и (1,4,1).
==Линеарна равенка и линеарна функција==
Често пати наизменично се користаат термини ''[[линеарна равенка]]'' и ''линеарна функција'', но не се исти термини. Двата се полиноми. При ''линеарна равенка'', зборот ''линеарна'' значи дека сите членови со променливи се од прв степен, а равенката може да има 1,2,3 или повеќе променливи. (Линеарна равенка во една променлива е точка на бројната оска, ''линеарна равенка во две променливи е права во рамнина'', линеарна равенка во три променливи е рамнина во 3-димензионален простор, ...) Значи, линеарна линеарна равенка е линеарна функција ако има точно две променливи. Види [[линеарна равенка]].
==Извод на линеарна функција==
Во математичката дициплина [[диференцијално сметање]] (калкулус) е дефиниран поимот [[извод]], а извод на една функција ја мери брзината на промена на една променлива во однос на друга во секоја точка. Кај линеарна фунцкија брзината на промената на <em>у</em> во односно на <em>х</em> е константна, т.е. иста во сите точки, односно е <em>а</em> за сите (реални) вредности <em>х</em>, и пишуваме изводот на ''у''(''x'')=''ax''+''b'' постои секаде и е константната функција ''у'''(''x'')=(''ax''+''b'')'=''a''.
Примена на линеарна функција - Пример: Брзина ''v'' како функција на време ''t'' на предмет истрелен директно нагоре со почетна брзина ''v''<sub>0</sub> се опишува со линеарната функција: ''v''(''t'')=-9,81''t''+''v''<sub>0</sub> [m/s], каде што -9,81 [m/s<sup>2</sup>] e гравитациона константа. Тука времето <em>t</em> ја игра улогата на независно променливата ''х'' (а не е параметар!), а брзината ''v'' ја игра улогата на зависно променливата ''y''. Изводот на оваа функција е ''a''=''v''′=-9,81 односно забрзувањето (гравитациона константа).
== Наводи ==
== Поврзано ==
* [[Функција (математичко образование)|Функција]]
* [[Права (геометрија)]]
* [[Инјективна функција]]
* [[Полином]]
* [[КонстантнаБијективна функција]]
* [[Квадратна функција]]
* [[Линеарна равенка]]
==Надворешни врски==
* {{cite web|url=http://www.mathsisfun.com/sets/injective-surjective-bijective.html|title=Injective, Surjective, Bijective|last1=Pierce|first1=R.|year=2013|language=англиски|accessdate=декември 2013}} интерактивен квиз
* http://emathforall.com/wiki/RecnikT/LinearnaFunkcija (на македонски со видео објаснување) {{en}}
* {{cite web|url=https://www.wolframalpha.com/examples/InjectivitySurjectivity.html|title=Injectivity, Surjectivity|publisher=Wolfram Alpha|language=англиски|accessdate=декември 2013}} интерактивно
* http://www.shodor.org/interactivate/activities/SlopeSlider/ (на англиски со интерактивност) {{en}}
[[Категорија: Математика]]
[[Категорија: Функции]]
| 