Википедија

Квадрат: Разлика помеѓу преработките

Интерактивен преглед на историјата
[проверена преработка][проверена преработка]
← Постаро уредувањеПоново уредување →
Избришана содржина Додадена содржина
НагледноВикитекст
Нема опис на уредувањето
с ситна поправка
Ред 2:
| name = Квадрат
| image = Kvadrat_std.svg
| caption = Квадрат е четириаголник со 4 еднакви страни и 4 еднакви агли (по 90°°)
| type = [[Четириаголник]]
| edges = 4
| schläfli = {4}
| coxeter = {{CDD|node_1|4|node}}
| symmetry = D<sub>4</sub>, C<sub>4</sub>
| perimeter = ''4a''
| area = ''а''&middot;''a''=a<sup>2</sup>
| angle = 90&deg;
| properties = [[конвексно множество|конвексен]]
}}
<div style="line-height:2em">
Во [[геометрија]]та, '''квадрат''' е рамна, т.е. 2-димензионална геометриска фигура со четири еднакви страни и четири [[прав агол|прави агли]].<ref name=Oxford>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics | first1=C.|last1=Clapham|first2=J.|last2=Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=744|language=англиски|accessdate=Септември 2013}} </ref><ref>{{cite web | url=http://www.mathopenref.com/square.html| title =Square | trans_title=Квадрат| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=Септември 2013}} интерактивен </ref>
* Формално, квадрат се дефинира како [[четириаголникпаралелограм]] со четиридве соседни [[складност|складни]] страни (со истата должина) и соеден четири складни агли (совнатрешен истатаправ големина)агол.
** квадрат е [[паралелограм]] бидејќиспоред дефиниција, па следува дека спротивни страни и агли се складни, а соседни агли се суплементни. (Види [[паралелограм]].)
** квадрат е [[ромб]] бидејќи две соседни складни страни значи 4-те страни се складни. (Види [[ромб]].)
** квадрат е [[правоаголник]] бидејќи еден внатрешен прав агол значи 4-те внатрешни агли се по 90°. (Види [[правоаголник]].)
 
*Квадрат има [[вртежна симетрија]] од 4-ри ред, т.е. ако го ротираме квадратот <sup>360&deg;</sup>/<sub>4</sub>=90&deg; се добива истиот паралелограм.▼
*Квадрат е [[правилен многуаголник]] бидејќи сите 4 страни се складни (рамностран) и сите 4 агли се складни (рамноаголен).
 
'''Основна регулатива: '''Квадрат е [[потполна опреленост|потполно определeн]] со должината на страна. Исто така, квадрат е потполно определен со должината на дијагонала.
</div>
 
 
== Формули и особини за квадрат==
Ред 50 ⟶ 49:
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|-
| Дијагоналите на квадрат се исти и &nbsp;&nbsp;<math>d = a \cdot \sqrt{2} </math>
|}
</div>
:'''Доказ: '''Со [[Питагорова теорема]].
::<math>a^2+a^2=d^2 \,\,\Rightarrow \,\,2a^2=d^2 \,\,\Rightarrow \,\, d=\sqrt{2a^2} \,\,\Rightarrow \,\, d = a \cdot \sqrt{2}</math>
::Следува и од формулите за [[паралелограм#|дијаголналите на паралелограм]] бидејќи &alpha;=90&deg; така да cos(&alpha;)=cos(90&deg;)=0 и ''b''=''a''.
 
 
Ред 63 ⟶ 65:
{| class="wikitable"
|-
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_def_w.svg|168п160п]]
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_diag_nor.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_diag_bis.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_diag_4kvadrat_osna.svg|135п]]
|- style="font-size:86%; line-height:1.5em"
|align="center" width="168165"|Квадрат има 4 еднакви страни <br />и 4 прави агли.
|align="center" width="145155"|Дијагоналите се сечат под прав агол.
|align="center" width="155"|Дијагоналите ги преполо- вувват аглите (на 45&deg;).
|align="center" width="155"|Дијагоналите сеи складнисредните илинии се преполовуваатоски на осна симетрија.
|-
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_diag_isti.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_diag_4.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_tangent.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_tetiven.svg|135п]]
|- style="font-size:86%; line-height:1.5em"
|align="center" width="155"|Дијагоналите се складни.
|align="center" width="155"|Дијагоналите се преполовуваат.
|align="center" width="155"|Впишана кружница на квадрат.
|align="center" width="155"|Опишана кружница на квадрат.
|}
</div>
<div style="marginline-leftheight:15px1.5em">▼
*Бидејќи секој квадрат е [[четириаголник]], збирот на внатрешните агли е 360&deg;.
*Бидејќи секој квадрат има спротивни паралелни страни, отсечките кои ги спојуваат средните точки на спротивните паралелни страни врват низ пресекот на дијагоналите.
Ред 79 ⟶ 92:
*Бидејќи секој квадрат е [[ромб]], дијагоналите се сечат под прав агол и дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли (така да се по <sup>90&deg;</sup>/<sub>2</sub>=45&deg;
*Бидејќи секој квадрат е [[правоаголник]], дијагоналите се складни (со истата должина).
</div>▼
 
 
Ред 88 ⟶ 102:
 
Потаму квадрат е:
*Паралелограм со еден прав агол и два напоредни (соседни) складни страни.
*Правоаголник со два напоредни складни страни.
*Ромб со еден прав агол.
Ред 95 ⟶ 109:
 
[[Податотека:Straight_Square_Inscribed_in_a_Circle_240px.gif|frame|Конструкција на квадрат во опишана кружница]]
==ОпишанаВпишана и впишанаопишана кружница на квадрат==
<div style="line-height:2em">
*Квадрат е '''[[тетивен четириаголник]]''', т.е. има [[опишана кружница]] таква да сите четири темиња на квадратот се точки на кружницата. ▼
:Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден [[конвексно множество|конвексен]] четириаголник да е тетивен четириаголник е да збирот на спротивни агли бидат 180&deg;. Значи квадрат е тетивен четириаголник.<ref name=Usiskin>{{citation |first1=Zalman |last1=Usiskin |first2=Jennifer |last2=Griffin |first3=David |last3=Witonsky |first4=Edwin |last4=Willmore |title=The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition |chapter=10. Cyclic quadrilaterals |chapterurl=http://books.google.com/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63 |year=2008 |publisher=IAP |isbn=978-1-59311-695-8 |pages=63–65 |series=Research in mathematics education}}</ref>▼
▲<div style="margin-left:15px">
'''Формула:''' Радиусот ''R'' на опишаната кружница е половина од дијагоналата ''d'' на квадратот, односно▼
:<math>R=\frac{d}{2}=\sqrt{2}a</math>▼
▲</div>
 
*Квадрат е '''[[тангентен четириаголник]]''', т.е. има [[впишана кружница]] таква да сите четири страни на квадратот се тангенти на кружницата.
:Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден [[конвексно множество|конвексен]] четириаголник да е тангентен четириаголник е да збирот на должините на двата парови спротивни страни е ист. Значи квадрат е тангентен четириаголници.<ref name=Andreescu>{{cite book|last1=Andreescu|first1=Titu|last2=Enescu|first2=Bogdan| title=Mathematical Olympiad Treasures| publisher=Birkhäuser|year=2006|pages=64–68|isbn=978-0817682521}}.</ref>
Ред 109 ⟶ 116:
'''Формула:''' Радиусот ''r'' на впишаната кружница е половина од страната ''а'' на квадратот, односно
:<math>r=\frac{a}{2}</math>
</div>
 
▲*Квадрат е '''[[тетивен четириаголник]]''', т.е. има [[опишана кружница]] таква да сите четири темиња на квадратот се точки на кружницата.
▲:Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден [[конвексно множество|конвексен]] четириаголник да е тетивен четириаголник е да збирот на спротивни агли бидат 180&deg;. Значи квадрат е тетивен четириаголник.<ref name=Usiskin>{{citation |first1=Zalman |last1=Usiskin |first2=Jennifer |last2=Griffin |first3=David |last3=Witonsky |first4=Edwin |last4=Willmore |title=The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition |chapter=10. Cyclic quadrilaterals |chapterurl=http://books.google.com/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63 |year=2008 |publisher=IAP |isbn=978-1-59311-695-8 |pages=63–65 |series=Research in mathematics education}}</ref>
<div style="margin-left:15px">
▲'''Формула:''' Радиусот ''R'' на опишаната кружница е половина од дијагоналата ''d'' на квадратот, односно
▲:<math>R=\frac{d}{2}=\sqrt{2}a</math>
</div>
</div>
 
*Квадрат е бицентрични четириаголник бидејќи e и тангентен и тетивен.
 
 
==Симетрија==
*Квадрат има 4 оски на [[осна симетрија]], односно двете дијагонали и двете средни линии (отсечките кои ги поврзуваат средните точки на спротивни страни).
▲*Квадрат има [[вртежна симетрија]] од 4-рити ред, т.е. ако го ротираме квадратот <sup>360&deg;</sup>/<sub>4</sub>=90&deg; се добива истиот паралелограмквадрат. <ref>{{cite web|url=http://www.purplemath.com/modules/symmetry.htm|last1=Stapel|first1= Elizabeth|title="Symmetry about an Axis"|language=англиски|accessdate=Септември 2013}} анимиран</ref>
 
 
==Други факти==
*Дијагоналите на квадрат се <math>\scriptstyle \sqrt{2}</math> (приближно 1.414) пати поголеми од страната на квадратот. Оваа вредност, т.е. квадратен корен од 2 се вика [[Питагорова константа]] и првиот број да е докажен дека е [[ирационален број|ирационален]], т.е. не е [[рационален број]].<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html|title=Pythagoras's Constant|last=Weisstein| first=Eric W.|publisher=MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=англиски|accessdate=Септември 2013}}</ref>
*Ако геометриска фигура е и правоаголник (прави агли) и ромб (4 складни страни), тогаш е квадрат.
*Плоштината на опишаната кружница <sup>&pi;</sup>/<sub>2</sub> (приближно 1.571) пати поголема од плоштината на квадратот.
Ред 149 ⟶ 168:
== Поврзани теми ==
*[[Правоаголник]], [[Ромб]], [[Паралелограм]]
*[[Четириаголник]], [[Трапез]]
*[[Четириаголник]],[[Многуаголник]]
 
 
==Надворешни линкови==
*{{cite web|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Kvadrat |last1=Стојановска|first1=Л.|title=Квадрат|year=2010|language=македонски|accessdate=Септември 2013}} интерактивен
*{{cite web|url=http://wiki.geogebra.org/mk/Правилен_многуаголник_Алатка| title=Геогебра алатка: Правилен многуаголник |author=Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод)|year=2013|language=македонски|accessdate=Септември 2013}}
*{{cite web|url=http://euler.slu.edu/escher/index.php/Introduction_to_Non-Euclidean_Geometry|title=Introduction to Non-Euclidean Geometry|publisher=EscherMath, St. Louis University|year=2011|last1=Bart|first1=Anneke|last2=Clair|first2= Bryan|language=англиски|accessdate=Септември 2013}}
Ред 159 ⟶ 179:
 
 
[[Категорија:ЧетириаголникЧетириаголници]]
[[Категорија:МногуаголникМногуаголници]]
[[Категорија: Елементарна геометрија]]
[[Категорија:Геометриски фигури]]
Преземено од „https://mk.wikipedia.org/wiki/Квадрат“