Херонова формула: Разлика помеѓу преработките

Во [[геометрија|геометрија]], '''Херонова формула''' служи за пресметување на [[плоштина]]та AP на триаголник за кој се познати должините на трите страни ''a'', ''b'', и ''c'' и гласи <ref>http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronova -Интерактивна страна за Херонова формула {{mk}}</ref>

<math>AP = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>

<div style="margin-left:15px;line-height:35px"> Тогаш полупериметарот е: &nbsp; <math>s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(7+4+5)=8</math>&nbsp;, <br />а плоштината е: &nbsp;<math>AP = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}= \sqrt{8 \cdot (8-7) \cdot (8-4) \cdot (8-5)}=\sqrt{8 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3)}=\sqrt{96}=4\sqrt{6} \approx 9.8</math></div>

<div style="margin-left:15px; line-height:35px"> Тогаш полупериметарот е: &nbsp; <math>s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(3+4+5)=6</math>&nbsp;, <br />а плоштината е: &nbsp;<math>AP = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}= \sqrt{6 \cdot (6-3) \cdot (6-4) \cdot (6-5)}=\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=\sqrt{36}=6</math>. <br />Ова е познат правоаголен триаголник, така да страната ''b'' е и висината ''h'' во однос на основата ''a''. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник следи <math>AP = \tfrac{1}{2} a h = \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4=6</math>. </div>

<math>AP=\tfrac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,} </math>

<math>AP=\tfrac{1}{4} \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\,}</math>

<math>AP=\tfrac{1}{4} \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}</math>

Формулата се припиша на [[Херон Александриски|Херон]], а доказ се може најде во неговата книга „Метрика“ (''Metrica''), која е напишана 60. године н. е. <ref>[{{cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html |title=Чланак о Хероновој формули на сајту -| publisher=WolframAlpha}} {wolfram.com{en}}-], ПристапенПоследен пристапен 29. 4. 2013.</ref><ref>Clapham,{{cite Nicholsonweb (1990)| url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics | author=C.Clapham, ppJ.Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009}} стр.365 {{en}}</ref> Постој индикација да формулата ја знал [[Архимед]], а земајќи во обзир дека „Метрика“ е колекција математички знаења со кои располагал антички свет, можно е да Херон само ја забележал, а не ја открил.

:<math>AP=\frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2}</math>

Оригиналниот доказ на Херон користел [[впишантетивен четириаголник|впишанитетивни четириаголници]]. <ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/heron/heron.txt Дискусија о доказу Херонове формуле], {{en}} Последен пристап 06.08.2013. </ref>.

|<math> AP\,</math>

<math> AP=\tfrac{1}{2} c h_c =\tfrac{1}{2} c h </math> &nbsp; односно &nbsp; <math>4A4P^2=c^2h^2</math>.

<math>4A4P^2=c^2h^2=c^2 \cdot (b^2-d^2)=(cb)^2-(cd)^2</math>.

Значи, треба да се докаже дека: <math>(cb)^2-(cd)^2=4A4P^2=4s(s-a)(s-b)(s-c)</math>.

:<math> AP = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.</math>

Изразување на Херонова формула со помош на [[Детерминанта|детерминанта]]

[[Категорија:ТриаголникГеометрија]]