Разлика помеѓу преработките на „Херонова формула“

с
нема опис на уредувањето
(Создадена страница со: мини|200п|Триаголник со страни ''a'', ''b'', и ''c''. Во геомет...)
 
с
[[Податотека:Triangle with notations 2.svg|мини|200п|Триаголник со страни ''a'', ''b'', и ''c''.]]
Во [[геометрија|геометрија]], '''Херонова формула''' служи за пресметување на [[плоштина]]та A на триаголник за кој се познати должините на трите страни ''a'', ''b'', и ''c'' и гласи <ref>http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronova -Интерактивна страна за Херонова формула {{mk}}</ref>
<math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>
 
каде што ''s'' [[периметарПолупериметар|полупериметар]] на триаголникот:
 
<math>s=\tfrac{1}{2} (a+b+c).</math> <ref>http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronova -Интерактивна страна за Херонова формула {{mk}}</ref>
 
Забелешка: Полупериметарот[[Полупериметар]]от '''''s''''' на триаголникот е поголем од секоја од страните ''a'', ''b'' и ''c''. (Ова следува од [[неравенство на триаголник]].) Значи, сите 4 членови во Хероновата формула се позитивни.
 
 
 
'''Пример:''' Нека &Delta;ABC е триаголник со страни ''a''=3, ''b''=4 и ''c''=5.
<div style="margin-left:15px; line-height:35px"> Тогаш полупериметарот е: &nbsp; <math>s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(3+4+5)=6</math>&nbsp;, <br />а плоштината е: &nbsp;<math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}= \sqrt{6 \cdot (6-3) \cdot (6-4) \cdot (6-5)}=\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=\sqrt{36}=6</math>. <br />Ова е познат правоаголен триаголник, така да страната ''b''=''h'' е и висината ''h'' во однос на основата ''a''. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник следи <math>A = \tfrac{1}{2} a h = \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4=6</math>. </div>
 
 
 
Херонова формула може да се напише и во било која од следниве формулации:
<div style="margin-left:15px;line-height:35px">
<math>A=\tfrac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b-+c)(a-b+c-a)(c+a-+b-c)\,} </math>
 
<math>A=\tfrac{1}{4} \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\,}</math>
</div>
 
*ВоТука долунаведении доказиво доказите се користат формулите: <math>s-a=\tfrac{1}{2}(-a+b+c), \,\, s-b=\tfrac{1}{2}(a-b+c), \,\, s-c=\tfrac{1}{2}(a+b-c)</math>.
 
&nbsp;
 
== Историја ==
== Доказ ==
Оригиналниот доказ на Херон користел [[впишан четириаголник|впишани четириаголници]]. <ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/heron/heron.txt Дискусија о доказу Херонове формуле], Последен пристап 06.08.2013.</ref>.
 
*Во долунаведени докази се користат: <math>s-a=\tfrac{1}{2}(-a+b+c), \,\, s-b=\tfrac{1}{2}(a-b+c), \,\, s-c=\tfrac{1}{2}(a+b-c)</math>.
 
Следи модеран доказ на формулата кој користи [[алгебра|алгебра]] и [[тригонометрија|тригонометрија]], и потполно е поинаков од оригиналниот доказ од Херон. Нека се ''a'', ''b'' и ''c'' страните на еден триаголник, а <math> \alpha\,</math>, <math> \beta\,</math> и <math> \gamma\,</math> се соодветните [[агол|агли]] кои се најдат наспроти соодветната страна. Без загуба на општост, ќе ја сметаме страната ''a'' за основа на триаголникот. Според [[Косинусна теорема|косинусната теорема]] е:
 
 
== Поврзани теми ==
==Види исто така ==
* [[Полупериметар]]
* [[Херонов триаголник]]
* [[Херон Александриски]]
 
 
== Надворешни врскилинкови ==
* http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronova -Интерактивна страна за Херонова формула {{mk}}
* http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronovapr1 -Иинтерактивни примери за пресметување на плоштина со Херонова формула {{mk}}