Линеарна равенка: Разлика помеѓу преработките
| [проверена преработка] | [проверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
сНема опис на уредувањето |
сНема опис на уредувањето |
||
Ред 3:
Во [[математика]], '''линеарна равенка''' е [[полином| полиномна]] [[равенка]] од прв степен. Истата може да има 1, 2, 3, или повеќе [[Променлива (математика)| променливи]]. Меѓутоа, бидејќи е полином од прв степен, секој член од равенката е или [[константа]] или константа по променлива (без никакви експоненти). <ref>Clapham, Nicholson (1990) Oxford Concise Dictionary of Mathematics, pp.479</ref><ref>http://mathworld.wolfram.com/LinearEquation.html</ref><ref> http://www.purplemath.com/modules/solvelin.htm</ref>
На пример: <math>Ax=B </math> е линеарна равенка во една променлива <em>х</em>. [[Коефициент (математика)|Коефициентите]] ''А'' и ''В'' се [[константа (математика)|константи]], односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а останува само ''x'' како [[Променлива (математика)|променлива]].
Зборот ''линеарна'' се однесува на тоа дека '''степенот на полиномот е еден''', а не на графикот на множеството решенија на равенката. На пример, 3<em>x</em>=6 e линеарна равенка во една променлива со решение ''х''=2, т.е. точка на бројната оска. Множеството решенија на линеарна равенка во две променливи е [[права (геометрија)|права]] во рамнина (2-димензионален простор), а множеството решенија на линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор (3-димензионален простор). Множеството решенија на линеарна равенка во повеќе од три променливи е т.н. <em>n-1</em> димензионална хиперрамнина во <em>n</em> хиперпростор (што значи дека неможеме да го цртаме). <ref>Clapham, Nicholson (1990) Oxford Concise Dictionary of Mathematics, pp.542</ref>▼
▲Зборот ''линеарна'' се однесува на тоа дека '''степенот на полиномот е еден''', а не на графикот на множеството решенија на равенката. На пример, 3<em>x</em>=6 e линеарна равенка во една променлива со решение ''х''=2, т.е. точка на бројната оска. Множеството решенија на линеарна равенка во две променливи е [[права (геометрија)|права]] во рамнина (2-димензионален простор), а множеството решенија на линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор (3-димензионален простор). Множеството решенија на линеарна равенка во повеќе од три променливи е т.н. (<em>n
Забелешка:
▲Забелешка: '''Линеарна равенка во 2 променливи е [[Линеарна функција|линеарна функција]]''' (во стандарден облик), па поради тоа често пати доаѓа до заблуда помеѓу поимите.
{| border="1" cellpadding="5"
Ред 11 ⟶ 14:
! colspan="3" | Линеарни равенки и нивни решенија
|- align="center"
| Една променлива <em>х</em>
| Две променливи <em>х</em> и <em>у</em>
| Три променливи <em>х</em>, <em>у</em> и <em>z</em>
|- align="center"
| <math>Ax=B</math>
| <math>Ax+By=C</math>
|
|- align="center"
| 2<em>x</em>=6
Ред 33 ⟶ 36:
Множеството решенија на една линеарна равенка го дели „просторот“ на две полупростори: Во првиот пример бројот <em>х</em>=3 ја дели бројната оска на два дела (лево од х=3 и десно од х=3), во вториот пример правата -<em>x</em>+2<em>y</em>=6 ја дели рамнината на два дела (над и под правата) и во третиот пример рамнината 3<em>x</em>-2<em>y</em>+3<em>z</em>=6 го дели 3Д просторот на два дела (лево и десно од жолтата рамнина. Ова својство се користи при решавање на [[линеарни неравенки]].
Поформално, линеарнa равенкa во <em>n</em> променливи <em>x</em><sub>1</sub>, <em>x</em><sub>2</sub>, ..., <em>x</em><sub>n</sub> е имплицитна зададена функција <em>A</em><sub>1</sub><em>x</em><sub>1</sub>+<em>A</em><sub>2</sub><em>x</em><sub>2</sub>+...+<em>A</em><sub>n-1</sub><em>x</em><sub>n-1</sub>+<em>B</em><em>x</em><sub>n</sub>=C, која може на единствен начин да се пиши во експлитиен облик <em>x</em><sub>n</sub>:'''R'''<sup>n-1</sup> → '''R''' каде што <em>x</em><sub>n</sub>={{Дропка|1|B}}(C-A<sub>1</sub><em>x</em><sub>1</sub>+A<sub>2</sub><em>x</em><sub>2</sub>+...+<em>A</em><sub>n-1</sub><em>x</em><sub>n-1</sub>).
Векторски облик на линеарна равенка во <em>n</em> променливи е: <math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{X}=C</math> односно <math>[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1}}&{{A_2}}&{...}&{{A_n}]}\end{array} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1}}\\{{x_2}}\\ \vdots \\{{x_n}}\end{array}} \right] = C</math>.
Дефиницијата на линеарна равенка може да се обопштува до полето на комплексни броеви. На пример 3<em>z</em>+2i=6-i е линеарна равенка во една комплексна променлива, при што решението е комплексниот број: <em>z</em>=2-i.<ref>http://www.seethesolutions.net/practice-exams-topic/166/</ref>▼
Означување: Во зависност од дисциплината во која се работи, во ''општата'' равенка, константниот коефициент може да се појави од десната страна (како тука) или од левата страна, т.е. наместо <math>Ax+By=C</math> се пиши <math>Ax+By+C=0</math>. Ова е само формална разлика, но при работа треба да се внимава кој облик е користен при одредување на вредноста, односно знакот на константниот коефициент.
Забелешка: Решението на систем <em>n</em> линеарни равенки во <em>n</em> променливи (непознати) е секогаш точка во <em>n</em>-димензионален простор (доколку системот е [[Систем линеарни равенки | конзистентен]]), т.е. систем 1 линеарна равенка во 1 непозната е точка на бројната оска, систем 2 линеарни равенки во 2 непознати е пресек на две прави, т.е. точка во рамнина (најпознатиот случај
▲Дефиницијата на линеарна равенка може да се обопштува до полето на комплексни броеви. На пример 3<em>z</em>+2i=6-i е линеарна равенка во една комплексна променлива, при што решението е комплексниот број: <em>z</em>=2-i.<ref>http://www.seethesolutions.net/practice-exams-topic/166/</ref>
▲Забелешка: Решението на систем <em>n</em> линеарни равенки во <em>n</em> променливи (непознати) е секогаш точка во <em>n</em>-димензионален простор (доколку системот е [[Систем линеарни равенки | конзистентен]]), т.е. систем 1 линеарна равенка во 1 непозната е точка на бројната оска, систем 2 линеарни равенки во 2 непознати е пресек на две прави, т.е. точка во рамнина (најпознатиот случај!), а систем 3 линеарни равенки во 3 непознати е пресек на три раминин, т.е. точка во простор. Види:[[Систем линеарни равенки]].
| |||