Линеарна функција: Разлика помеѓу преработките

[проверена преработка][проверена преработка]
Избришана содржина Додадена содржина
Нема опис на уредувањето
Нема опис на уредувањето
Ред 5:
Постојат повеќе дефиниции за линеарна функција во светот.
 
*'''Линеарна функција''' се дефинира како [[полином| полиномна функција]] од прв степен од една [[независно променлива]] ''х''&nbsp;<ref>http://www.sparknotes.com/math/precalc/polynomialfunctions/section1.rhtml</ref><ref>http://www.unco.edu/NHS/mathsci/facstaff/Roberson/CourseDocs/MATH%20182/Activities/Linear%20Functions.pdf</ref>, од што следува дека:
 
*'''Линеарна функција''' се дефинира како [[полином| полиномна функција]] од прв степен од една [[независно променлива]] ''х'', од што следува дека:
**Во [[#Експлицитен облик|експлицитен облик]] имаме: <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>f ( x )=a x + b</math> &nbsp;<big>или</big>&nbsp; <math>y(x)=ax+b</math> &nbsp;<big>или</big>&nbsp; <math>y = a x + b</math> &nbsp;<big>каде што</big>&nbsp; <math>a \neq 0</math>.
Ред 12 ⟶ 11:
 
 
*'''Линеарна функција''' се дефинира како [[функција (математичко образование)|функција]] чиј график е [[права (математика)|права]] во [[рамнина (математика)|рамнина]]&nbsp;<ref>Clapham, Nicholson (1990) Oxford Concise Dictionary of Mathematics, pp.480</ref><ref>Gelfand, Glagoleva, Shnol (2002) '''Functions and Graphs'''</ref>, од што следува дека:
**Во [[#Експлицитен облик|експлицитен облик]] имаме: <br />
**Во оваа дефиниција се вклучени и хоризонтални прави <em>y</em>=<em>b</em>, односно константни полиноми. (Вертикални прави <em>x</em>=<em>b</em> не се [[функција (математичко образование)|функциии]].
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>f ( x )=a x + b</math> &nbsp;<big>или</big>&nbsp; <math>y(x)=ax+b</math> &nbsp;<big>или</big>&nbsp; <math>y = a x + b</math>.
**<strong>Го нема условот <em>a</em>&ne;0</strong>.
**Во оваа дефиниција се вклучени и хоризонтални прави <em>y</em>=<em>b</em>, односно константни полиноми. (Вертикални прави <em>x</em>=<em>b</em> не се [[функција (математичко образование)|функциии]]).
 
**Забележете дека дефиницијата е <strong>Го немабез условот <em>a</em>&ne;0</strong>.
 
Забелешка, долу при објаснување на облици на линеарни функции, во загради се дадени додатните услови за добивање на коси прави (исклучување на константни функции).
 
 
Ред 23 ⟶ 21:
*Потоа, во [[Линеарна алгебра|линеарна аглебра]] понекогаш се користи изразот ''линеарна функција'' за поимот ''[[Линеарна алгебра|линеарно пресликување]]''.
**Линеарно пресликување е [[пресликување]] <em>f</em> со услов дека <em>f</em>(<em>a</em><em>x</em>+<em>b</em><em>y</em>)=<em>a</em><em>f</em>(<em>x</em>)+<em>b</em><em>f</em>(<em>y</em>).
**Како комбинација на погорнитесите погорни дефиниции ие оваа дефиниција, се дефинира: линеарна функција се дефинира како функција: <strong>''у''(''x'')=''ax''</strong>, т.е. права која врви низ (0,0).<ref>http://www.unizor.com/ → Algebra, Linear FunctionsDoc/zor_math_teen_algebra_FL_function_linear.html</ref>
-----
 
Ред 30 ⟶ 28:
 
 
Забелешка: Често пати неправилно наизменично се користаат изразитетермини ''[[линеарна равенка]]'' и ''линеарна функција'', но не се исти термини. '''Линеарна функција е линеарна равенка, но обратното не важи.''' (При ''линеарна равенка'', зборот ''линеарна'' се однесува на степенот на полином кој може да има 1,2,3,... променливи така да линеарна равенка во една променлива е точка на бројната оска, ''линеарна равенка во две променливи е права во рамнина'', линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор.) Види [[линеарна равенка]].
 
 
Ред 39 ⟶ 37:
Правата која е графикот на линеарна функција е множеството на сите точки: (''x'',''y''(''x'')). Поради тоа што две точки определуваат една права, при графичко претставување на линеарна функција, доволно е да се заменува две различни вредности за ''x'' во линеарната функција, да се пресметаат двете вредности на ''y'', соодветните точки (''x''<sub>1</sub>,''y''(''x''<sub>1</sub>)) и (''x''<sub>2</sub>,''y''(''x''<sub>2</sub>)) да се внесат во рамнината и права да се црта низ нив. <ref>http://emathforall.com/wiki/RecnikT/LinearnaFunkcija</ref>
Линеарна функција има точно еден пресек со ''у''-оската во точката (0,''b'') и (доколку е коса права, ''a''&ne;0) точно еден пресек со ''х''-оската во точката ({{Дропка|-b|a}},0). Вредноста ''x''={{Дропка|-b|a}} е единствениот корен на функцијата ''y''=''ax''+''b'', т.е е решениетоединственото решение на равенката ''ax''+''b''=0.
 
Има три облици на линеарна функција: <strong>[[#Стандарден облик|стандарден облик]]</strong>, <strong>[[#Експлицитен облик|експлицитен облик]]</strong> и <strong>[[#Параметарски облик|вектор - параметарски облик]]</strong>
Ред 50 ⟶ 48:
<h2>Стандарден облик </h2>
<div style="margin-left:15px">
<p><math> Ax+By=C </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big>каде што</big> &nbsp;&nbsp; <math> B \ne 0 </math> &nbsp;&nbsp;<big>(додатен услов за коса права:</big>&nbsp; <math> A \ne 0 </math> &nbsp;<big>).</big></p>
</div>
 
Ред 60 ⟶ 58:
<h2>Експлицитен облик</h2>
<div style="margin-left:15px">
<p><math> y(x)=ax+b </math> &nbsp;<big>или</big>&nbsp; <math> y=ax+b </math>&nbsp;&nbsp; <big>(додатен услов за коса права: каде што</big> &nbsp;(&nbsp;&nbsp; <math>{ a \ne 0} </math> &nbsp;<big>).</big></p>
</div>
 
Ред 67 ⟶ 65:
Константниот коефициент ''b'' е т.н. <strong>''у''-пресек</strong>, односно точката <strong>(0,''b'')</strong> е точката каде што правата врви низ ''у''-оската. Бројот {{Дропка|-b|а}} е т.н. <strong>корен</strong> на функцијата, односно точката <big>(</big>{{Дропка|-b|а}}<big>,0)</big> е точката каде што правата врви низ ''х''-оската.
 
Коефициентот ''а'' е т.н. '''[[Градиент (математика)|градиент]]''' или ''наклон'' на правата и ја определува ''косноста'' на правата, односно колкава е брзина на промена на функцијата ''у'' во однос на променливата ''х''.
Коефициентот ''а'' е т.н. <strong>наклон</strong> на правата и е мерка на брзина на промена на функцијата ''у'' во однос на променливата ''х''. Бидејќи (во контекст каде што е дефиниран) [[извод]] на една функција ја мери брзината на промена на една променлива во однос на друга, следува дека изводот на линеарна фунцкија ''у''(''x'')=''ax''+''b'' е константната функција ''у''&#39;(''x'')=''a'' (за сите реални броеви ''х'').
* Градиентот на права е константен; градиентот на линеарна функција ''у''(''x'')=''ax''+''b'' е константна функција "градиент на ''у''"=''a''.
* Ако градиентот на една права е ''a'', тогаш за било која точка (<em>х</em>,<em>у</em>) на правата, точката (<em>х</em>+1, <em>y</em>+<em>a</em>) лежи на правата. (Види слика надесно.)
* Ако градиентот ''a''&gt0 тогаш линеарната функција монотоно расте, ако ''a''&lt0 тогаш функцијата монотоно опаѓа. Ако |''a''|&lt;1 тогаш градиентот е благ, а ако |''a''|&gt;1 тогаш градиентот е оштар.<ref>http://www.shodor.org/interactivate/activities/SlopeSlider/</ref>
 
 
Пример: ''y''(''x'')=-2''x''+4. Тука ''a'' = -2 и ''b'' = 4. Имаме (0,''b'') = (0,4) е пресекот на правата со ''у''-оската, ({{Дропка|-b|а}},0) = ({{Дропка|-4|-2}},0) = (2,0) e пресекот на правата со ''х''-оската и ''а'' = -2 е наклонот на правата, односно за секој чекор ''х''=1 надесно, ''у'' се менува за -2 (односно слегува надолу).
 
 
Во математичката дициплина [[диференцијално сметање]] (калкулус) е дефиниран поимот [[извод]], а извод на една функција ја мери брзината на промена на една променлива во однос на друга. Кај линеарна фунцкија брзината на промената на <em>у</em> во односно на <em>х</em> е константна, односно е <em>а</em> за сите (реални) вредности <em>х</em> па изводод на ''у''(''x'')=''ax''+''b'' постои секаде и е константната функција ''у''&#39;(''x'')=''a''.
 
 
Ред 76 ⟶ 81:
<h2>Параметарски облик</h2>
<div style="margin-left:15px">
<p>Параметарски: <math>\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x(t) = {b_1}+{a_1}t }\\ {y(t) = {b_2}+{a_2}t } \end{array}} \right.</math> &nbsp;&nbsp; или Векторски: <math>{{X}} = ({b_1},{b_2}) + t({a_1},{a_2})</math> &nbsp;или&nbsp; <math>r(t)= < b_1+a_1 t, \, b_1 + a_1 t > </math> &nbsp;&nbsp;<big>каде што</big> &nbsp;&nbsp; <math>{ a_1 \ne 0} </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;<big>(додатен услов за коса права:</big> &nbsp; <math>{ a_2 \ne 0} </math> &nbsp;<big>).</big><ref>http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/EqnsOfLines.aspx</ref><ref> http://cs.fit.edu/~wds/classes/cse5255/thesis/lineEqn/lineEqn.html</ref></p>
</div>
 
Ред 85 ⟶ 90:
</ul>
 
 
==Формули за равенки на линеарна фунцкија ==
За формулите за равенка на права види [[права (математика| права]].
 
 
== Литература ==
Ред 92 ⟶ 102:
==Други референци==
* http://emathforall.com/wiki/RecnikT/LinearnaFunkcija (на македонски со видео објаснување)
* http://www.shodor.org/interactivate/activities/SlopeSlider/ (на англиски со интерактивност)
* http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml (на англиски со интерактивност)