Леонард Ојлер: Разлика помеѓу преработките

'''Леонард Паул Ојлер''' ([[Германски јазик|германски]]: ''Leonhard Paul Euler'') ([[15 април]] [[1707]] – [[18 септември]] [[1783]]) бил [[Швајцарија|швајцарски]] [[математичар]] и [[физичар]], еден од пронаоѓачите на чистата [[математика]]. Не само што открил и докажал важни теореми во предметите како [[геометрија]], [[калкулус]], [[механика]] и теоријатеоријата на броеви, туку и развил методи за решавање на проблеми во набљудувачката [[астрономија]] и демонстрирал практична примена на математикаматематиката во [[технологија]]та и во секојдневниот живот.

Основите на математиката, Ојлер ги изучил од [[Јохан Бернули]], еден од првите математичари во [[Европа]] во тоа време. Ојлер бил близок пријател со неговите синови Даниел и Николас. Во [[1727]] година се селипреселил во [[Петроград]] каде што се вклучувавклучил во Академијата на науки во [[1733]] го надминува Даниел Бернули на полето на математиката.

Леонард Ојлер е роден во [[Базел]], [[Швајцарија]], како син на Паул Ојлер, свештеник во реформиранатареформистичката црква, и на Маргарет Брукер, ќерка на свештеник. Имал две помлади сестри, Ана Марија и Марија Магдалена. Набрзо по раѓањето на Леонард, Ојлерови се селатпреселиле од Базел во градот [[Рихен]], каде што Ојлер поминуваго поминал најголем дел од своето детство. Паул Ојлер бил пријател на [[Јохан Бернули|Бернулиевото]] семејство, кој тогаш се сметал за [[Европа|европски]] водечки [[математичар]], кој веројатно најмногу влијаел на младиот Леонард. Ојлеровите први значајни школувања почнуваатзапочнале во Базел, каде што ебил испратен да живее со својата баба од мајка. На возраст од тринаесет години, Ојлер дипломирал на Универзитетот на Базел и во [[1723]] година мусе врачуваатздобил наградасо задипломата магистер по [[философија]] наза тезатезата „Споредба на философиите на [[Декарт]] и Њутн“[[Њутн]]“. Во тоа време добиваследел постојани саботни часови од Јохан Бернули, кој набрзо откриваоткрил дека неговиот ученик поседува неверојатен талент за математика.<ref name="childhood">{{цитирана книга |last= James |first= Ioan |title= Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann |publisher= Cambridge |date= 2002|pages=2 |id= ISBN 0-521-52094-0}}</ref>.

Ојлер во тоа време студирастудирал [[теологија]], [[Грчки јазик|грчки]] и [[Хебрејски јазик|хебрејски]] по налагањенаговор на неговиот татко, со цел да стане свештеник., но Јохан Бернули се вмешува и го убедуваубедил Паул Ојлер дека судбината на неговиот син е да стане математичар.

Во [[1726]] година, Ојлер ја завршувазавршил својата докторска на теза пропагандата на звукот со наслов ''De Sono''<ref>{{PDFlink|[http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e002tr.pdf Превод на Ојлеровата диплома на англиски од Иан Брус]|232&nbsp;[[Кибибајт|KiB]]}}</ref> и во [[1727]] влегувагодина восе пријавил на натпреварот на Париската академија, каде што проблемот таа година бил да се најде најпогодниот начин да се сместат јарболите на брод. ГоНа добиванатпреварот, Ојлер го освоил второто место, зад [[Пјер Бугер]], познат како „таткото на морнарската архитектурата“. Ојлер веднаш потоа ја освојуваосвоил оваа долго посакувана годишна награда, икоја ја добивал уште 12 пати подоцна во неговата кариера.<ref name="prize">{{цитирано списание| author = Calinger, Ronald | year = 1996| title = Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)| journal = Historia Mathematica| volume = 23| issue = 2| pages = 156}}</ref>.

Ојлер се смета за ненадминат математичар на [[18 век]] и еден од најдобрите на сите времиња. Тој е, исто така, еден од најпродуктивните математичари: неговите собрани дела исполнуваат 60-80 четвороделни тома. Има направено многу важни откритија во различни полиња, како што се: [[калкулус]] и графичкатаграфичка теорија. Исто така, готој воведувае творец на најголемиот дел од модерната математичка терминологија и нотација, особено во делот на [[математичка анализа|математичката анализа]], како на пример, нотацијата за [[математичка функција]].<ref name="function">{{цитирана книга| last = Dunham| first = William| title = Euler: The Master of Us All| year = 1999| publisher =The Mathematical Association of America | pages = 17}}</ref>. ПознатИсто така, Ојлер е познат и по својата работа во областа на [[механика]]та, [[оптика]]та и [[астрономија]]та.

Ојлер работел на скоро сите области во [[математика]]та: [[геометрија]], [[калкулус]], [[тригонометрија]], [[алгебра]], теорија за броевите, како и во [[физика]]та, месечевата теорија и други области од физиката. Тој е исклучително важна фигура во историјата на математиката: повеќето од неговите печатени работи се темелеле на примарните области, со што би биле заземени помеѓу 60 и 80 четвороделни тома. Името на Ојлер е поврзано со голем број на теми. Меѓу математичарите, единствено Унгарецот [[Пал Ердеш]], математичар на [[20 век]], бил слично продуктивен како Ојлер.

Ојлер претставил и популаризирал неколку нотациони конвенции низ многубројни негови распространети учебници. Најважно од сè е објавувањето на концептот на функцијата[[функција]]та,<ref name="function" />, т.е. тој бил првиот кој напишал <code>f(x)</code>, каде што f е функција на аргументот x. Тој, исто така, ја преставил модерната нотација на [[Тригонометрија|тригонометриските функции]], буквата e како база на природен [[логаритам]] (денес познат и како Ојлеров број), грчката буква Σ (сигма) за сумирање и буквата i како [[имагинарна единица]].<ref name=Boyer>{{цитирана книга|title = A History of Mathematics|last= Boyer|first=Carl B.|coauthors= Uta C. Merzbach|publisher= [[John Wiley & Sons]]|id= ISBN 0-471-54397-7|pages = 439–445}}</ref>. Употребата на грчката буква π ≈ 3,14159 (пи) која го изразува односот на должината на кружницата со нејзиниот дијаметар, исто така, била популаризирана од Ојлер, иако не потекнува од неговото творештво.<ref name="pi">{{цитирана веб страница| url = http://www.stephenwolfram.com/publications/talks/mathml/mathml2.html| title = Mathematical Notation: Past and Future| accessmonth = August| accessyear=2006| last = Wolfram| first = Stephen}}</ref>.

Во [[18 век]], математичките истражувања се темелелтемелеле на достигнувањата во областа на [[Математичка анализа|анализата]], а членовите на семејството Бернули, кои биле блиски пријатели на семејството Ојлер биле заслужни за голем број наоткритија откритијата наво ова поле. Благодарение на нивното влијание, Ојлер се фокусирал на изучување на математичката анализа. Иако некои негови [[доказ]]и според современите стандарди не биле прифатливи,<ref name="bazel">-{Gerhard Wanner, Ernst Harrier}-, -{''Analysis by its history''}-, -{Springer}-, [[2005]], стр. 62</ref> неговите идеи биле основа за многу понатамошни достигнувања.

Ојлер е познат по големиот придонес во областа на [[степенов ред|степеновите редови]], прикажувањето на [[Функција (математика)|функција]] во облик на збир на бесконечно многу зобироцисобироци, како што е:

Ојлер ја вовел и употребата на [[Експоненцијална функција|експоненцијалната функција]] и [[Логаритам|логаритмите]] во аналитилчките докази. Тој открил начин како да се изразат различни логаритамски функции со помош на степеновите редови и успешни ги дефинирал логаритмите од бегативните и [[комплексен број|комплексни броеви]], со што го проширил доменот на математичката примена на логаритмите.<ref name="Boyer"/> Тој, исто така, ја дефинирал и [[експоненцијална функција|експоненцијалната функција]] за [[комплексни броеви|комплексните броеви]] и ја открил нејзината поврзаност со [[тригонометриска функција|тригонометриските функции]]. За произволен [[реален број]] [[фи (буква)|φ]], според [[Ојлерова формула|Ојлеровата формула]] важи еднаквоста

Оваа формула во книгата на Ричард Фејнман е наречена „најзначајна математичка формула“, бидејќи во еден израз со користење на операциите собирање, множење и степенување, наведени се 5 значајни константи: 0, 1, ''e'', ''i'' и π.<ref name="Feynman">-{Richard Feynman}-, -{''The Feynman Lectures on Physics: Volume I''}-, 1970, глава 22: Алгебра </ref>

Интересно е дека меѓу прво пласиранитепрвопласираните формули на тоа гласање се нашле три кои ги открил Ојлер.<ref name=MathInt/>

Меѓу останатото, Ојлер ја разработил и теоријата на [[трансцедентална функција]], воведувајќи ја [[Гама-функција|гама-функцијата]] и нови методи за решавање на степените. Откривајќи начин за пресмнетка на определен [[интеграл]] со комплексни граници, тој го навестил развојот на [[Комплексна анализа|комплексната анализа]]. Тој работел на полето на [[Функционална анализа|функционалната анализа]] и ја дал познатата [[Ојлер-Лагранжова формула]].

Ојлер бил првиот математичар кој користел аналитички методи за решавање на проблемите од [[Теорија на броеви|теоријата на броеви]]. На тој начин, тој соединил две различни математички гранки и вовел нова област во истражувањето, - [[аналитичка теорија на броеви]].Во процесот на воведување на новото поле, Ојлер ги создал теориите на [[Хипергеометриски ред|хипергеометриски редовиа]], [[Хиперболична функција|хиперболична тригонометриска функција]] и аналитичката теорија на [[Генерализирано верижноп отстапување|верижните отстапувања]]. Ојлер докажал дека има бесконечно многу [[Прост број|прости броеви]], користејќи ја дивергентноста на [[хармониски редови|хармониските редови]] и употребувајќи аналитички методи за да дојде до одредени сознанија за начинот на кој простите броеви се распоредени во групата на природните броеви. Ојлеровите придонеси на ова поле овозможиле да се открие [[теорема за прости броеви|теоремата за прости броеви]].<ref name="analiza">-{William Dunham}-, -{''Euler: The Master of Us All''}-, -{The Mathematical Association of America}-, [[1999]], глава 3-4</ref>

Ојлеровиот интерес за [[Теорија на броеви|теоријата на броеви]] го поттикналопоттикнал [[Кристијан Голдбах]], негов пријател од Петроградската академија. Доста негови работи на ова поле биле засновани на делата на [[Пјер де Ферма]]. Ојлер развил некои негови идеи и утврдил неколку [[хипотеза|хипотези]].

Ојлер ја поврзал природата на простите броеви со идејата на математичката анализа. ДошлоТој дошол до доказдоказот дека сумата на реципрочната вредност на простипростите броеви дивергира, при што е откриена врска меѓу [[Бернхард Риман|Римановата]] [[Риманова зета-функција|зета-функција]] и пшроститепростите броеви, денес познатопозната како Ојлерова формула за РиммановатаРимановата зета-функција.

Ојлер ги докажал [[Исак Њутн|Њутновите]] [[Њутнови идентитети|идентитети]]., [[Мала Фермаова теорема|малата Фермаова теорема]], [[Фермаова теорема за збир на квадратите|Фермаовата теорема за збир на квадратите]] и дал значаен придонес во [[Лагранж]]овата [[Лагранжова теорема за четири квадрати|теорема за четири квадратиа]]. Покрај тоа, тој тој ја вовел [[Ојлерова фи функција|функција]] φ(''n''), која го дава бројот на сите позитивни цели броеви помали од цел број ''n'', кои со него се заемно прости. Со користењето на особините на оваа функција, Ојлер ја воопштил малата Фермаова теорема, а тој резултат денес е познат како [[Ојлерова теорема]]. Тој дал значаен придонес и во разбирањето на [[Совршен број|совршените броеви]], кои ги фасцинирале математичарите уште од времето на [[Евклид]], направил очигледен напредок во формулирањето на [[Теорема за прости броеви|торемата за прости броеви]] и ја поставил хипотезахипотезата која подоцна е докажана како закон на квадратни реипротитети. Денес, тие концепти се сметаат за основни за теоремата за теорија на броеви, а Ојлер со своите идеи укажал на патот по кој подоцна продолжил [[Карл Фридрих Гаус]].<ref name="numbertheory">{{цитирана книга| last = Dunham| first = William| title = Euler: The Master of Us All | year = 1999| publisher =The Mathematical Association of America | chapter = 1,4}}</ref>

Формулата, која ги поврзува бројот на темиња (''V''), рабови (''E'') и страни (''F'') на конвексен [[Полиедарполиедар]], <math>V-E+F=2</math>, исто така, е заслуга на Ојлер.<ref>-{Peter R. Cromwell}-, -{''Polyhedra''}-, -{Cambridge University Press}-, [[Кембриџ]], [[1997]] стр. 189-190</ref>

Ојлеровиот придонес во [[Аналитичка геометрија|аналитичката геометрија]] се состои во формулација на равенства кои опишуваат [[конус]], [[цилиндар]] и различни ротациони површини. Пред тоа, тој докажал дека најкраткото растојание меѓу две точки на искривена површина се претвора во [[отсечка]], доколку таа површина се претстави на [[рамнина]].Ојлербил Ојлер бил првиот математичар којшто ги проучувал сите криви заедноизаедно и темелно се занимавал со трансцедеталнататрансцеденталната функција (на пр. [[синусоида]]та).

Ојлер напишал книга за поделбата на кривите и површините. Во ''Вовед во анализата на бесконечно величини'' се наоѓа комплетна и исцрпна дискусија за [[Поларен координатен систем|поларните координати]] , кои се дадени во современ облик. Поради,Тој тоадокажал грешкатаи дуринеколку итеореми денесво општата геометрија, честомеѓу наведувакои и тврдењето дека Ојлер[[тежиште]]то, ја[[ортоцентар]]от вовели употребнатацентарот на опишаната [[кружница]] во [[триаголник]] секогаш и припаѓаат на една иста [[права (линија)|права]]. Во негова чест, таа нотацијаправа е наречена [[Ојлерова права]].

Некои од Ојлеровите значајни достигувања, вклучувајќиги го ивклучуваат: решавањето на [[реални проблеми|реалните проблеми]] со примена на аналитички методи и опишување на многубројната примена на [[Бернулиеви бројеви|Бернулиевите броеви]], [[Фуриеов ред|Фуриеовите редови]], [[Венов дијаграм|Веновите дијаграми]], [[Ојлерови бројеви|Ојлеровите броеви]], константите[[Број е|e]] и [[Пи|π]], [[Верижно расложување|верижните разложувања]] и [[интеграл]]ите. Тој направил целина од [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбницовото]] [[диференцијално сметање]] и [[Исак Њутн|Њутновите]] [[методи на флуксија]] и измислил начин, со кој била многу полесна примената на методите на анализата во решавањето на физичките проблеми. Ојлер направил и големи чекори во зголемувањето на [[Нумеричка апроксимација|нумеричката апроксимација]] на интегралите, така што ја вовел и употребил [[Ојлерова апроксимација|Ојлеровата апроксимација]]. Меѓу најзначајните методи се [[Ојлерова метода|Ојлеровата метода]] и [[Ојлер-Маклоренова формула|Ојлер-Малореновата формула]]. ЈаНајпосле, тој ја олеснил употребата на [[диференцијална равенка|диференцијалните равенки]], водени од т.н. [[Ојлер-Маскерониева константа]]:

Ојлер помогнал во развивањето на [[Ојлер-Бернулиева равенка за гредата|Ојлер-Бернулиевата равенка за гредата]], која станала сржтасрж на инженерството. Настрана одПокрај успешната примена на аналитичките алатки за проблемите во класичната математика, Ојлер, исто така, ги применувал овие техники за проблемите со небесни тела. Низ текот на неговата кариера, неговата работа во [[астрономија]]та била забележана од неколку луѓе од Париската академија. Неговите достигнувања вклучуваат дефинирање на орбитите на [[Комета|кометите]] и други небесни тела со огромна точност, а разбирајќи ја природата на кометите, тој ја пресметал паралаксата на [[Сонце]]то. Неговите пресметки, исто така, придонеле за развивање на точни табели за [[географска должина]].<ref>Youschkevitch, A P; Biography in ''Dictionary of Scientific Biography'' (New York 1970–1990).</ref>.

Покрај тоа, Ојлер направил важни придонеси и во [[оптика]]та. Не се согласувал со [[Њутн]]овата корпускуларна теорија за светлината во ''Opticks'' (Оптика), каде што тоа била главната идеја. Неговата работа од [[1740]] година во врска со оптиката му помогнала даза се осигура декатоа теоријата на бранот на светлината предложена од [[Кристијан Хејгенс]], ќеда стане доминантен начин на размислување, сѐ до развивањето на [[Квантна теорија на светлината|квантната теорија на светлината]].<ref name="optics">{{цитирано списание

| pages = 521–533}}</ref>.

Ојлер и неговиот пријател [[Даниел Бернули]] биле противници на [[Лајбниц]]овиот [[монизам]] и философијата на [[Кристијан Волф]]. Ојлер инсистирал дека знаењето е пронајдено во оној дел на основата на прецизните квантитативни права, нешто што монизмот и науката на Волф не можеле да го направат. Ојлеровите потпирања на [[религија]]та можеби, исто така, придонелепридонесле за неговата одбивност кон доктрината. ОтишолТој отишол толку далеку, што идеите на Волф да ги нарекувал „пагански и атеистички“.<ref name="wolff">{{цитирано списание| author = Calinger, Ronald | year = 1996| title = Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)| journal = Historia Mathematica| volume = 23| issue = 2| pages = 153–154}}</ref>.

Повеќето што се знае за религиските верувања на Ојлер е извлечено од Писматаписмата до една германска принцеза и неговата претходна работа ''Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister'' (Одбрана на божественото откровение против критиките на слободните мислители). Овие дела го претставуваат Ојлер како чесен [[христијанин]] исо големи познавања од [[Библија|библискита]] литературен.<ref name="theology">{{цитирано списание| last = Euler| first = Leonhard | editor = Orell-Fussli| year = 1960| title = Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister| journal = Leonhardi Euleri Opera Omnia (series 3)| volume = 12 }}</ref> Во тој поглед, постои позната анегдота, инспирирана од аргументите на Ојлер во секуларната битка на [[философија]]та и религијата, која била одржана за време на Oјлеровото второ исклучување од академијата Св. Петербург: